实变函数笔记

一、集合与运算

1. 集合

常用的集合有： $N$ -自然数集、 $Z$ -整数集、 $Q$ -有理数集、 $R$ -实数集、 $C$ -复数集、 $\emptyset$ -空集。

常用的集合符号：

$A \subset B$ 或 $B \supset A$ 表示 $A$ 包含于 $B$ ，或者说 $B$ 包含 $A$ ，即 $A$ 是 $B$ 的子集；
$A ⊊ B$ 或 $A ⫋ B$ 表示 $A$ 真包含于 $B$ ，或者说 $B$ 真包含 $A$ ，即 $A$ 是 $B$ 的真子集，数学表示为 $A \subset B$ ，且 $\exists b \in B$ 但 $b \in / A$ ；
交集： $A \cap B = {x ∣ x \in A and x \in B}$
并集： $A \cup B = {x ∣ x \in A or x \in B}$
补集： $A^{c} = {x \in X ∣ x \in / A}$
差集： $A \ B = {x ∣ x \in A and x \in / B}$

集合运算法则：

交换律： $A \cup B = B \cup A$ ， $A \cap B = B \cap A$
结合律： $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ ， $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
分配律： $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ ， $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
对偶律（德摩根法则）： $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ ， $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

证明可分为两步：由 $(A \cup B)^{c} \subset A^{c} \cap B^{c}$ 和 $A^{c} \cap B^{c} \subset (A \cup B)^{c} \Rightarrow (A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ ；

若 $x \in (A \cup B)^{c}$ ，则 $x \in / A \cup B$ ，从而 $x \in / A$ 、 $x \in / B$ ，即 $x \in A^{c}$ 、 $x \in B^{c}$ ，故 $x \in A^{c} \cap B^{c}$ ，因此 $(A \cup B)^{c} \subset A^{c} \cap B^{c}$ ；

若 $x \in A^{c} \cap B^{c}$ ，则 $x \in A^{c}$ 、 $x \in B^{c}$ ，从而 $x \in / A$ 、 $x \in / B$ ，即 $x \in / A \cup B$ ，故 $x \in (A \cup B)^{c}$ ，因此 $A^{c} \cap B^{c} \subset (A \cup B)^{c}$ ；
$A \ B^{c} = A \cap B$
若 $A \supset B$ ，则 $A^{c} \subset B$

集合族：写作 ${A_{λ}}_{λ \in I}$ ，可以看作是集合的集合，里面的每个 $A_{λ}$ 都是一个集合，其中 $λ$ 为指标（下标）、 $I$ 为指标集。

集合族的运算符号：

$λ \in I ⋃ A_{λ} = {x ∣ \exists λ \in I, x \in A_{λ}}$
$λ \in I ⋂ A_{λ} = {x ∣ \forall λ \in I, x \in A_{λ}}$

集合族的运算法则：

分配律： $A \cap (λ \in I ⋃ B_{λ}) = λ \in I ⋃ (A \cap B_{λ})$ ， $A \cup (λ \in I ⋂ B_{λ}) = λ \in I ⋂ (A \cup B_{λ})$
对偶律（德摩根法则）： $(λ \in I ⋂ A_{λ})^{c} = λ \in I ⋃ A_{λ}^{c}$ ， $(λ \in I ⋃ A_{λ}^{c}) = λ \in I ⋂ A_{λ}^{c}$

集合列：写作 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ 。若满足 $A_{1} \subset A_{2} \subset \dots \subset A_{n} \subset \dots$ 则称为升列；若满足 $A_{1} \supset A_{2} \supset \dots \supset A_{n} \supset \dots$ 则称为降列；升列和降列合称为单调列。

比如： $A_{n} = (\frac{1}{n}, 1)$ ，即 $A_{n}$ 是从 $\frac{1}{n}$ 到 $1$ 的开区间，则 $A_{n}$ 是升列。再比如 $B_{n} = k = n ⋃ \infty A_{k}$ 是降列、 $C_{n} = k = n ⋂ \infty A_{k}$ 是升列。

集合列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ 的极限：

（1）上极限： $\overline{n \to \infty lim} A_{n} = n = 1 ⋂ \infty k = n ⋃ \infty A_{k} = n \to \infty lim k = n ⋃ \infty A_{k}$ ；

因为 $k = n ⋃ \infty A_{k}$ 是降列，它越来越小，再取交集就是取最小的那个，即 $n \to \infty$ 时的集合 $k = n ⋃ \infty A_{k}$ 。（下极限同理）

（2）下极限： $n \to \infty \underline{lim} A_{n} = n = 1 ⋃ \infty k = n ⋂ \infty A_{k} = n \to \infty lim k = n ⋂ \infty A_{k}$ ；

换句话说，

上极限就是：属于集合列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ 中无限多个集合的元素的全体组成的集合就是集合列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ 的上极限（或叫上限集）；

下极限就是：除去集合列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ 中有限多个集合外，被其余集合均包含的元素的全体组成的集合就是集合列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ 的下极限（或叫下限集）。

若上极限等于下极限，则集合收敛： $n \to \infty lim A_{n} = \overline{n \to \infty lim} A_{n} = n \to \infty \underline{lim} A_{n}$ .

2. 序列的极限

序列：记作 ${x_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ 。

序列的极限的定义： $x = n \to \infty lim x_{n} \Leftrightarrow$ 对于任意 $ϵ > 0$ ，存在一个 $N \in N$ ，对所有 $n \geq N$ ，有 $∣ x_{n} - x ∣ < ϵ$ 。

特别地，序列发散时， $n \to \infty lim x_{n} = \infty \Leftrightarrow \forall M > 0, \exists N \in N, s . t . x_{n} > M (\forall n \geq N)$ 。

聚点的定义： $x$ 是序列 ${x_{n}}$ 的一个聚点 $\Leftrightarrow$ 对于任意 $ϵ > 0$ 以及任意 $N \in N$ ，存在一个 $n \geq N$ ，使得 $∣ x_{n} - x ∣ < ϵ$ 。

该定义等价于：存在一个收敛于 $x$ 的子列 ${x_{n_{j}}}_{j = 1}^{\infty}$ ， $j \to \infty lim x_{n_{j}} = x$ .

比如： $x_{n} = (- 1)^{n}$ ，它有两个聚点 $1$ 、 $- 1$ 。

对于扩充的实数集 $R \cup \pm \infty$ ， $\pm \infty$ 也可以是序列的聚点。

对于所有实数 $x$ ，我们定义 $x + \infty = \infty$ 、 $x - \infty = - \infty$ 、 $x \cdot \infty = \infty$ （当 $x > 0$ 时）、 $x \cdot (- \infty) = - \infty$ （当 $x > 0$ 时），且设 $\infty + \infty = \infty$ 、 $- \infty - \infty = - \infty$ 、 $\infty \cdot (\pm \infty) = \pm \infty$ 、 $- \infty \cdot (\pm \infty) = \mp \infty$ ，并且约定 $0 \cdot \infty = 0$ 。

注意： $\infty - \infty$ 和 $- \infty + \infty$ 无定义。

集合的上（下）界、上（下）确界（设 $E \subset R$ ）：

上界： $\forall x \in E$ ，若有 $x \leq h$ ，则 $h$ 是 $E$ 的一个上界；
上确界：（1） $h$ 是 $E$ 的一个上界；（2）如果 $h^{'}$ 是 $E$ 的一个上界，则必有 $h \leq h^{'}$ ；满足(1)和(2)的 $h$ 称为 $E$ 的上确界（即上确界是最小上界，它是唯一的），记作 $h = sup E$ 或 $h = x \in E sup x$ ；
下界： $\forall x \in E$ ，若有 $x \geq m$ ，则 $m$ 是 $E$ 的一个下界；
下确界：（1） $m$ 是 $E$ 的一个下界；（2）如果 $m^{'}$ 是 $E$ 的一个下界，则必有 $m \geq m^{'}$ ；满足(1)和(2)的 $m$ 称为 $E$ 的下确界（即下确界是最大下界，它是唯一的），记作 $m = in f E$ 或 $m = x \in E in f x$ ；

上确界( $sup$ )与最大元( $max$ )、下确界( $in f$ )与最小元( $min$ )的区别：对于 $E = (0, 1]$ ， $E sup = E max = 1$ ， $E in f = 0$ ，但 $E min$ 没有定义。

实数集的完备性公理：每个具有上（下）界的实数集必有上（下）确界。

序列 ${x_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ 的上、下极限：

上极限： $\overline{lim} x_{n} = n in f k \geq n sup x_{k}$ ，即 $\overline{n \to \infty lim} x_{n} = n \to \infty lim k \geq n sup x_{k}$ ，简记作 $\overline{n \to \infty lim} x_{n} = n \to \infty lim sup x_{k}$ ；

等价定义1： $l = \overline{lim} x_{n} \Leftrightarrow d e f \exists {x_{n_{k}}} \subset {x_{n}}$ ，有 $n_{k} \to \infty lim x_{n_{k}} = l$ ，且对任意的收敛子列 ${x_{n_{i}}} \subset {x_{n}}$ ，有 $n_{i} \to \infty lim x_{n_{i}} = l^{'} \leq l$ ；

等价定义2：若 $l \in R$ ， $l = \overline{lim} x_{n} \Leftrightarrow d e f$ 给定 $ϵ > 0$ ， $\exists n$ 使得对所有 $k \geq n$ 都有 $x_{k} < l + ϵ$ ，且给定 $ϵ > 0$ 和 $n \in N$ ， $\exists k \geq n$ ，有 $x_{k} > l - ϵ$ ；特别地，若 $l = \infty$ ， $l = \overline{lim} x_{n} \Leftrightarrow d e f$ 给定 $M > 0$ 和 $N \in N$ ， $\exists n \geq N$ ，使得 $x_{n} > M$ ；若 $l = - \infty$ ， $l = \overline{lim} x_{n} \Leftrightarrow d e f lim x_{n} = - \infty$ 。
下极限： $\underline{lim} x_{n} = n sup k \geq n in f x_{k}$ ，即 $n \to \infty \underline{lim} x_{n} = n \to \infty lim k \geq n in f x_{k}$ ，简记作 $n \to \infty \underline{lim} x_{n} = n \to \infty lim in f x_{k}$ ；

等价定义1： $l = \underline{lim} x_{n} \Leftrightarrow d e f \exists {x_{n_{k}}} \subset {x_{n}}$ ，有 $n_{k} \to \infty lim x_{n_{k}} = l$ ，且对任意的收敛子列 ${x_{n_{i}}} \subset {x_{n}}$ ，有 $n_{i} \to \infty lim x_{n_{i}} = l^{'} \geq l$ ；

上、下极限的性质：

$- \underline{lim} x_{n} = \overline{lim} (- x_{n})$
$\underline{lim} x_{n} \leq \overline{lim} x_{n}$
$l = lim x_{n} \Leftrightarrow l = \underline{lim} x_{n} = \overline{lim} x_{n}$
若 ${x_{n}}$ 、 ${y_{n}}$ 是两个序列，则有 $\underline{lim} x_{n} + \underline{lim} y_{n} \leq \underline{lim} (x_{n} + y_{n}) \leq \overline{lim} x_{n} + \underline{lim} y_{n} \leq \overline{lim} (x_{n} + y_{n}) \leq \overline{lim} x_{n} + \overline{lim} y_{n}$ （假设不出现 $\infty - \infty$ 的情况）

集合 $A$ 的特征函数： $χ_{A} (x) = {10 x \in A x \in / A$ .

对于集合列 ${A_{n}}$ ，有（1） $\overline{lim} χ_{A_{n}} (x) = χ_{\overline{l i m} A_{n}} (x)$ ；（2） $\underline{lim} χ_{A_{n}} (x) = χ_{\underline{l i m} A_{n}} (x)$ ；

证明：设对任意 $x \in X$ ，若 $x \in \overline{n \to \infty lim} A_{n}$ ，则存在 $A_{n_{i}}$ （ $i = 1, 2, \dots$ ）使得 $x \in A_{n_{i}}$ ，故 $χ_{A_{n_{i}}} (x) = 1$ ，从而 $\overline{n \to \infty lim} χ_{A_{n}} (x) = 1 = χ_{\overline{n \to \infty l i m} A_{n}} (x)$ ；

若 $x \in / \overline{n \to \infty lim} A_{n}$ ，则 $\exists N \in N$ ，使得当 $n > N$ 时， $x \in / A_{n}$ ，故 $χ_{A_{n}} (x) = 0$ （当 $n > N$ 时），从而 $\overline{n \to \infty lim} χ_{A_{n}} (x) = 0 = χ_{n \to \infty l i m A_{n}} (x)$ .

同理可证 $\underline{lim} χ_{A_{n}} (x) = χ_{\underline{l i m} A_{n}} (x)$ .

函数在某一点附近的上、下极限：

函数的上极限： $x \to a \overline{lim} f (x) = δ \to 0 lim 0 < ∣ x - a ∣ < δ sup f (x) = δ > 0 in f 0 < ∣ x - a ∣ < δ sup f (x)$
函数的下极限： $x \to a \underline{lim} f (x) = δ \to 0 lim 0 < ∣ x - a ∣ < δ in f f (x) = δ > 0 sup 0 < ∣ x - a ∣ < δ in f f (x)$

3. 映射（函数）

映射：对于非空集合 $X, Y$ ，映射 $f : X \to Y$ 指对于任何的 $x \in X$ 存在唯一的 $f (x) \in Y$ 与之对应。

映射符号： $2^{X} = {E ∣ E \subset X}$ ，比如 $2^{{a}} = {\emptyset, {a}}$ 、 $2^{{a, b}} = {\emptyset, {a}, {b}, {a, b}}$ ，这种记法可以方便看出有多少个子集。

例1：比如 $f : N \to 2^{X}$ ，则 $f (n) = A_{n} \in 2^{X}$ ，这里 $X = \cup A_{n}$ （即 $A_{n} \subset X$ ），集合列 ${A_{n}}$ 可以看作是自然数集到 $2^{X}$ 的映射。

例2：集合 $X$ 的子集的并运算是一个 $2^{X} \times 2^{X}$ 上的函数，即 $f : 2^{X} \times 2^{X} \to 2^{X}$ ，且 $\forall A, B \in 2^{X}$ ， $(A, B) \to A \cup B$ 。（这里叉乘的含义： $A \times B = {(x, y) ∣ x \in A, y \in B}$ ，且 $A, B$ 的顺序不能调换，它是一个有序对）。

例3： $E \in 2^{N}$ 是自然数集的有限子集，定义映射 $f (E) = E$ 中元素的个数，我们把这样的映射（或称为函数）称为计数函数。

对于映射 $f : X \to Y$ ，有：

定义域 $X$ ：对于任何的 $x \in X$ ，有 $f (x) \in Y$ ；
值域： $f (X) = {f (x) \in Y ∣ x \in X} \subset Y$ ；
象：对于 $A \subset X$ ， $f (A) = {f (x) ∣ x \in A}$ 为 $A$ 在映射 $f$ 下的像；
原像： ${x \in X ∣ f (x) \in B}$ 为 $B \subset Y$ 的原像，通常记为 $f^{- 1} (B)$ ；
图（像）： $f$ 的图（像）是 $X \times Y$ 的一个子集： $G_{r} (f) = {(x, f (x)) ∣ x \in X}$ ；

一些常见的映射：

满射： $\forall y \in Y, \exists x \in X$ ， $s . t . f (x) = y$ ；（任意一个 $y$ 都至少有一个 $x$ 与之对应，也就是说一个 $x$ 可以对应多个 $y$ ）
单射：对于 $x_{1}, x_{2} \in X$ ，若 $x_{1} \neq = x_{2}$ ，则 $f (x_{1}) \neq = f (x_{2})$ ；（ $X$ 到 $Y$ 是一一映射，且 $f (X) \subset Y$ ，即不要求每个 $y$ 都有对应的 $x$ ）
双射：满射+单射，即一一对应的满映射；
逆映射： $f$ 为双射时存在逆映射 $f^{- 1} : Y \to X$ ， $y = f (x) \to x$ ；
复合映射：对于 $f : X \to Y$ 、 $g : Y \to Z$ ，有复合映射 $g \circ f : X \to Z$ ， $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ ；

命题：如果 $f$ 和 $g$ 都有逆映射，则 $g \circ f$ 也有逆映射，且 $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ .

对于映射 $f : X \to Y$ ，以及集合 $A_{λ} \subset X$ 、 $B_{λ} \subset Y$ ，有以下结论：、

（1） $f (λ \in I ⋃ A_{λ}) = λ \in I ⋃ f (A_{λ})$ ；

（2） $f (λ \in I ⋂ A_{λ}) \subset λ \in I ⋂ f (A_{λ})$ ；

（3） $f^{- 1} (λ \in I ⋃ B_{λ}) = λ \in I ⋃ f^{- 1} (B_{λ})$ ；

（4） $f^{- 1} (λ \in I ⋂ B_{λ}) = λ \in I ⋂ f^{- 1} (B_{λ})$ ；

（5）若 $B_{1} \subset B_{2}$ ，则 $f^{- 1} (B_{1}) \subset f^{- 1} (B_{2})$ ；

（6） $f^{- 1} (B^{c}) = (f^{- 1} (B))^{c}$ ；

4. 集合的势

势的定义

对等关系（等价关系）：如果存在一个从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一一满映射（又称双射），则称 $A$ 与 $B$ 对等，记作 $A \sim B$ 。

对等关系满足：

自反性： $A \sim A$
对称性：若 $A \sim B$ ，则 $B \sim A$
传递性：若 $A \sim B$ 、 $B \sim C$ ，则 $A \sim C$

满足自反性、对称性、传递性的二元关系都称为等价关系。

比如矩阵的相似、合同，都是等价关系。

再比如 $N \sim Z$ ，即自然数集和整数集也是对等的，因为存在双射 $f : N \to Z$ ， $f (n) = {k - (k - 1), n = 2 k, n = 2 k - 1$ （ $k = 1, 2, \dots$ ）.

集合的势：如果集合 $A, B$ 满足 $A \sim B$ ，就称 $A$ 与 $B$ 有相同的势（基数），记为 $∣ A ∣$ 。如果 $A$ 是一个含有 $n$ 个元素的有限集，则记 $∣ A ∣ = n$ .

如果有一个从 $A$ 到 $B$ 的一一映射（不一定要求是满射），则有 $∣ A ∣ \leq ∣ B ∣$ 。（直观上的理解就是 $A$ 的元素个数有可能会小于 $B$ ，但对于无穷集，则不可以这样理解）

如果 $∣ A ∣ \leq ∣ B ∣ \neq = ∣ A ∣$ ，则约定 $∣ A ∣ < ∣ B ∣$ .

定理：对于任意两个势 $α$ 、 $β$ ，关系式 $α < β$ 、 $α = β$ 、 $β < α$ 中有且仅有一式成立。（证明需要集合论的Zorn公理）

推论：若 $α \leq β$ 且 $α \geq β$ ，则 $α = β$ .

自然数集的势记为 $ℵ_{0}$ （阿列夫(Aleph)零），即 $∣ N ∣ = ℵ_{0}$ ；实数集的势记为 $∣ R ∣ = c$ .

自然数集的势

可列集（可数集）的定义：与自然数集对等的集合。（即可列集的势都是 $ℵ_{0}$ ）

部分教材把有限个元素构成的集合称为可数集，无限个元素构成的集合称为无限可数集；但这里我们将前者称为有限集，后者称为可列集或可数集。

若 $A$ 是一个可列集，则有一一对应关系 $f : N \to A$ ， $n \mapsto x_{n}$ ，于是 $A = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots}$ 即可按顺序排成一序列。

定理：任何无穷集合都包含一个可列子集。（因此可列集是势最小的无穷集合）

证明：设 $A$ 是一个无穷集合，任取 $x_{1} \in A$ ，则 $A \ {x_{1}}$ 仍是无穷集，再任取 $x_{2} \in A \ {x_{1}}$ ，则 $A \ {x_{1}, x_{2}}$ 仍是无穷集（ $x_{1} \neq = x_{2}$ ），依此类推，假设已取出 $n$ 个互不相同的元素 ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ ，则 $A \ {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ 仍是无穷集，从而可取 $x_{n + 1} \in A \ {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ ，由归纳法，可以从 $A$ 中取出互不相同的元素排成序列 ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots}$ 为 $A$ 的可列子集。

定理：可列集合的无穷子集仍是可列的。

证明：设 $A$ 是一个可列集合， $A_{1}$ 是 $A$ 的无穷子集，根据前一定理可知， $A_{1}$ 含有可列子集 $A_{2}$ ，于是有 $∣ A ∣ = ∣ A_{2} ∣ = ℵ_{0}$ ，且由于 $A_{2} \subset A_{1} \subset A$ ，因此 $∣ A_{2} ∣ \leq ∣ A_{1} ∣ \leq ∣ A ∣$ ，所以 $∣ A_{1} ∣ = ∣ A ∣ = ∣ A_{2} ∣ = ℵ_{0}$ ，即 $A_{1}$ 是一个可列集合。

定理：可列集与有限集（或可列集）的并集仍是可列集。

定理：可数个有限集或可列集的并仍是可列集。

比如：设 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}, \dots$ 是一列有限集或可列集，令 $A_{i} = {x_{i 1}, x_{i 2}, \dots, x_{in}, \dots}$ （可列集）或 $A_{i} = {x_{i 1}, x_{i 2}, \dots, x_{i m_{i}}}$ （有限集），则 $i = 1 ⋃ \infty A_{i}$ 中的元素可用多种不同方法排成序列，比如 $i = 1 ⋃ \infty A_{i} = {x_{11}, x_{21}, x_{12}, x_{31}, x_{22}, x_{13}, x_{41}, \dots, x_{ij}, \dots}$ ，即 $x_{ij}$ 排在第 $n = j + \sum_{k = 1}^{i + j - 2} k$ 位，这种排列方法用图表示就是

定理：有限个可列集的直积仍是可列集，即 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 是可列集 $\Rightarrow \prod_{i = 1}^{n} A_{i}$ 也是可列集。

证明：设 $A, B$ 是可列集，这里只证明 $A \times B$ 也是可列集，然后用归纳法推出任意有限个可列集的直积仍是可列集。 $A \times B = {(x, y) ∣ x \in A, y \in B} = y \in B ⋃ {(x, y) ∣ x \in A} = 记作 y \in B ⋃ C_{y}$ ，注意到 $C_{y} = {(x, y) ∣ x \in A} \sim A$ ，即 $C_{y}$ 可列，根据前一定理（有限个可列集的并集仍是可列集）可知， $A \times B$ 是可列集。（自行用归纳法推广到任意有限个的情况）

（注意到直积是一个有序对，它元素个数恰好等于原来的两个集合的元素个数相乘，由此可以得出后面直积后的势的运算公式）

例1：有理数集 $Q$ 是可列集，因为每个有理数都可以表示成分数的形式，即 $f : Z \times Z \to Q$ ， $(p, q) \mapsto p / q$ ，其中 $p, q$ 互质，这是一个满射，所以 $∣ Q ∣ \leq ∣ Z \times Z ∣ = ℵ_{0}$ （前面例题已证明 $Z \sim N$ ），又由 $N \subset Q$ （即 $ℵ_{0} \leq ∣ Q ∣$ ）可知 $ℵ_{0} = ∣ Q ∣$ .

例2：由有限个自然数构成的有序数组的全体构成的集合 $A$ 是可列的，因为 $A = {(n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}) ∣ n_{i} \in N, i = 1, 2, \dots, k, k \in N} = k = 1 ⋃ \infty N^{k}$ ，而 $N^{k} = {n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k} ∣ n_{i} \in N, i = 1, 2, \dots, k}$ 是由 $k$ 个自然数构成的有序数组的全体，所以 $∣ N^{k} ∣ = ℵ_{0}$ ，根据前面的定理知， $N^{k}$ 的并仍是可列的。

例3：有理系数多项式的全体是可列集，因为 $p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{x} x^{2} + \dots + a_{k} x^{k}$ 由 $k + 1$ 个有理系数 $(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k})$ 唯一决定，所以有理系数多项式的全体与有限个有理数构成的有序数组的全体 $k = 1 ⋃ \infty Q^{k}$ 对等，而这个有序数组和例2一样是可列集。

通过以上三个定理可以得出一些关于阿列夫零( $ℵ_{0}$ )的运算法则：

$n + ℵ_{0} = ℵ_{0}$ （有限集与可列集的并仍是可列集）
$ℵ_{0} + ℵ_{0} = ℵ_{0}$ ， $\sum_{i = 1}^{\infty} ℵ_{0} = ℵ_{0}$ （有限个或可数个可列集的并仍是可列集，这里的可数指无限可数）
$ℵ_{0} \times ℵ_{0} = ℵ_{0}$ ， $\prod_{i = 1}^{n} ℵ_{0} = ℵ_{0}$ （有限个可列集的直积仍是可列集）

势的运算（设 $∣ A ∣ = α$ 、 $∣ B ∣ = β$ ）：

$∣ A \times B ∣ = α \cdot β$
$∣ A^{n} ∣ = α^{n}$
若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $∣ A \cup B ∣ = α + β$
$∣ B^{A} ∣ = β^{α}$ （ $B^{A}$ 表示全体 $A$ 到 $B$ 的映射构成的集合，即 $B^{A} = {f : A \to B}$ ）

比如， ${0, 1}^{A}$ 指定义在 $A$ 上的一切特征函数所构成的集合，即 ${0, 1}^{A} = {χ_{E} ∣ E \subset A (or E \in 2^{A})}$ .

例如，当 $A = {a, b}$ ，则 ${0, 1}^{A} = {χ_{\emptyset}, χ_{{a}}, χ_{{b}}, χ_{A}}$ ，或者说 $2^{A} = {\emptyset, {a}, {b}, {a, b}}$ ，特征函数 $χ$ 的定义可参考前面“序列的极限”章节， $2^{X}$ 的定义在“映射”章节；比如 $χ_{\emptyset} (a) = 0$ 、 $χ_{\emptyset} (b) = 0$ 、 $χ_{{a}} (a) = 1$ 、 $χ_{{a}} (b) = 0$ 、 $χ_{{b}} (a) = 0$ 、 $χ_{{b}} (b) = 1$ 、 $χ_{A} (a) = 1$ 、 $χ_{A} (b) = 1$ .

定理：若 $A$ 是无限集， $B$ 是可数集，则 $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣$ .

定理：集合 $A$ 是无限集的充分必要条件是： $A$ 与其自身的一个真子集对等。

实数集的势

首先， $(- 1, 1) \sim R$ ，因为存在映射 $f : (- 1, 1) \to R$ ， $f (x) = tan (\frac{π x}{2})$ ，且 $f (x)$ 是一一满映射，故 $∣ (- 1, 1) ∣ = ∣ R ∣ = c$ .

其次，通过一一映射 $f (x) = \frac{1 + x}{2}$ 可知， $(- 1, 1) \sim (0, 1)$ ，故 $∣ (0, 1) ∣ = c \geq ℵ_{0}$ （直观上可以理解为自然数集是实数集的子集）。

定理：区间 $(0, 1)$ 不是可列集。

证明：用反证法，证明不存在 $N \to (0, 1)$ 的一一满映射。

不妨考虑区间 $(0, 1] = (0, 1) \cup {1}$ ，假设存在用一一满映射 $f : N \to (0, 1]$ ，则 $f (n)$ 可唯一表示为十进位小数，即 $f (n) = 0. a_{n_{1}} a_{n_{2}} \dots a_{n_{k}} \dots$ ，其中 $n = 1, 2, \dots$ ，上式可能从某位开始全为9，但不允许从某位开始全为0（否则就无法唯一表示了），比如 $1.0000 = 0.999999 \dots$ 、 $0.235000 = 02349999 \dots$ 等；根据这样的 $f (n)$ ，我们再规定，若 $a_{n_{n}} = 1$ 则取 $b_{n} = 2$ ，若 $a_{n_{n}} \neq = 1$ 则取 $b_{n} = 1$ ，于是就得到了 $x = 0. b_{1} b_{2} \dots b_{n} \dots \in (0, 1]$ ，因为这是一个一一满映射，故对这个 $x$ 存在一个 $n$ 使得 $x = f (n)$ ，即 $0. b_{1} b_{2} \dots b_{n} \dots = 0. a_{n 1} a_{n_{2}} \dots a_{n_{n}} \dots$ ，即要求 $b_{n} = a_{n_{n}}$ ，这显然与 $x$ 的构造方式矛盾，所以不存在一一满映射 $f : N \to (0, 1]$ ，故区间 $(0, 1)$ 不是可列集。

定理： $2^{N} \sim R$ ，即 $2^{ℵ_{0}} = c$ ，也就是说，自然数集的所有子集所构成的集合与 $R$ 对等。

证明：思路是先证明 $2^{ℵ_{0}} \leq c$ ，再证明 $2^{ℵ_{0}} \geq c$ ，从而得出 $2^{ℵ_{0}} = c$ .（参考前面关于势的大小的定义）

由于 $2^{N}$ 与 ${0, 1}^{N}$ 对等（因为元素个数相同），且 $(0, 1)$ 与 $R$ 也是对等的，为方便起见，取 $(0, 1] = (0, 1) \cup {1}$ 。对于任意的 $ϕ \in {0, 1}^{N}$ ，作映射 $f : {0, 1}^{N} \mapsto (0, 1]$ ，即有一一映射 $ϕ \mapsto \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ϕ ( n )}{3 ^{n}}$ ，由于 $ϕ \in {0, 1}^{N}$ 的取值只有0或1，所以这个不是满映射(比如一定无法取到1)，于是有 $∣ 2^{N} ∣ = 2^{ℵ_{0}} \leq c$ （映射左端与 $2^{N}$ 对等，右端与 $R$ 对等，但不是满映射，故中间用小于等于号）

另一方面，任意 $x \in (0, 1]$ 有唯一2进制小数表示（要求必须含有无穷多个1，否则无法唯一表示） $x = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ （其中 $a_{n} \in {0, 1}$ ，比如 $(0.5)_{10} = (0.1)_{2} = (0.0111111 \dots)_{2}$ ，因为 $0.5 = \frac{1}{2} = \sum_{i = 2}^{\infty} \frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ ），即可以构造映射 $g : x \mapsto φ \in {0, 1}^{N}$ ， $φ (n) = a_{n}$ （其中 $n = 1, 2, \dots$ ，且观察2进制的形式可知， $x$ 的小数位置恰好可以由数列 $a_{n}$ 唯一表示），即 $g : (0, 1] \to {0, 1}^{N}$ 是一个一一映射（可以进一步分析是否为满映射，但这里只需要证明 $c \leq 2^{ℵ_{0}}$ 即可，只需要一一映射的结论），于是 $c \leq 2^{ℵ_{0}}$ .

定理（无最大基数(势)定理）：若 $A$ 是非空集合，则集合 $A$ 与其幂集 $2^{A}$ 不对等。

证明：先看一个简单的情况，当 $A = {x}$ ，即只有一个元素时， $∣ A ∣ = 1$ ， $∣ 2^{A} ∣ = 2$ ，显然不存在从 $A$ 到 $2^{A}$ 的一一满映射。

用反证法证明，假设存在一一满映射 $f : A \to 2^{A}$ ，构造集合 $B = {x \in A ∣ x \in / f (x)} \subset A$ ，也就是说 $B \in 2^{A}$ ，且 $B \neq = \emptyset$ （即 $B$ 一定存在，不会为空集，反证法证明， $B = \emptyset \Leftrightarrow x \in f (x)$ （ $\forall x \in A$ ） $\Rightarrow f (x) = {x}$ ），我们将证明不存在 $y \in A$ 使得 $f (y) = B$ .

若 $y \in B$ ，由 $B$ 的定义可知， $y \in / f (y) = B$ ；若 $y \in / B = f (y)$ ，由 $B$ 的定义可知， $y \in B$ ，矛盾，所以不存在一一满映射，即 $A$ 与 $2^{A}$ 不对等。

定义： $ℵ_{k + 1} = 2^{ℵ_{k}}$ ，即 $c = ℵ_{1} = 2^{ℵ_{0}}$ ， $ℵ_{2} = 2^{ℵ_{1}}$ ，且 $0 < 1 < 2 < \dots < n < \dots < ℵ_{0} < ℵ_{1} < \dots < ℵ_{k} < ℵ_{k + 1} < \dots$ .

该定义结合前面的无最大基数定理，说明了可以这样一直构造更大的势，故不存在最大的势。

连续统假设：不存在集合 $A$ 满足 $ℵ_{k} < ∣ A ∣ < ℵ_{k + 1}$ ， $k = 0, 1, 2, \dots$ .

目前在已有的集合论公理中，既不能证明连续统假设成立，也不能证明它不成立。

该假设意味着不存在介于 $ℵ_{0}$ 与 $c$ 之间的势。

5. n维欧氏空间

定义：n维向量空间（线性空间）记作 $R^{n}$ ，它满足（设 $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in R^{n}$ 、 $y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) \in R^{n}$ ）：

加法与数乘运算： $x + λ y = (x_{1} + λ y_{1}, \dots, x_{n} + λ y_{n}) \in R^{n}$
模： $∣∣ x ∣∣ = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2})^{\frac{1}{2}}$ ，模满足：
1. 正定性： $∣∣ x ∣∣ \geq 0$ ； $∣∣ x ∣∣ = 0 \Leftrightarrow x = 0 = (0, 0, \dots, 0)$
2. 齐次性： $∣∣ λ x ∣∣ = ∣ λ ∣ ∣∣ x ∣∣$ ， $\forall λ \in R$
3. 三角不等式： $∣∣ x + y ∣∣ \leq ∣∣ x ∣∣ + ∣∣ y ∣∣$
内积： $x \cdot y = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n}$ ；特别地， $∣∣ x ∣ ∣^{2} = x \cdot x$

三角不等式的证明用到了Cauchy-Schwarz不等式： $x \cdot y \leq ∣∣ x ∣∣ ∣∣ y ∣∣$ ，该不等式证明过程如下：

定义非负函数 $f (λ) = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + λ y_{i})^{2} = ∣∣ x + λ y ∣ ∣^{2} = (x + λ y) \cdot (x + λ y) = ∣∣ y ∣ ∣^{2} λ^{2} + 2 (x \cdot y) λ + ∣∣ x ∣ ∣^{2}$ ，根据正定性可知该二次函数 $f (λ) \geq 0$ ，故根判别式 $(2 (x \cdot y))^{2} - 4∣∣ x ∣ ∣^{2} ∣∣ y ∣ ∣^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x \cdot y \leq ∣∣ x ∣∣ ∣∣ y ∣∣$ .

三角不等式的证明： $∣∣ x + y ∣ ∣^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + y_{i})^{2} = (x + y) \cdot (x + y) = ∣∣ x ∣ ∣^{2} + 2 x \cdot y + ∣∣ y ∣ ∣^{2} \leq ∣∣ x ∣ ∣^{2} + 2∣∣ x ∣∣ ∣∣ y ∣∣ + ∣∣ y ∣ ∣^{2} = (∣∣ x ∣∣ + ∣∣ y ∣∣)^{2}$ .

定义： $x$ 与 $y$ 之间的距离记作 $d (x, y) = ∣∣ x - y ∣∣$ （ $\forall x, y \in R^{n}$ ），它满足：

正定性： $d (x, y) \geq 0$ ； $d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
对称性： $d (x, y) = d (y, x)$
三角不等式： $d (x, y) \leq d (x, z) + d (y, z)$ ， $\forall x, y \in R^{n}$

定义：设 $x \in R^{n}$ 、 $r > 0$ ，定义 $B (x, r) = {y \in R^{n} ∣ d (x, y) < r}$ ，即以 $x$ 为中心，以 $r$ 为半径的球，也称作 $x$ 的球邻域，也记作 $B_{r} (x)$ 。又设 $A \subset R^{n}$ ，若存在 $R > 0$ ，使得 $A \subset B_{R} (0)$ ，则称 $A$ 是有界点集。（注意 $B_{r} (x)$ 是不含边界的， $B_{r} (x) = {y ∣ ∣∣ x - y ∣∣ < r}$ ）

定义：设 $A \subset R^{n}$ ， $x_{0} \in R^{n}$ ，则：

若存在 $ϵ > 0$ ，使 $B_{ϵ} (x_{0}) \subset A$ ，则称 $x_{0}$ 是 $A$ 的内点， $A$ 的所有内点构成的集合记为 $A^{\circ}$
若对任意的 $ϵ > 0$ ，有 $B_{ϵ} (x_{0}) \cap A \neq = \emptyset$ ， $B_{ϵ} (x_{0}) \cap A^{c} \neq = \emptyset$ ，则称 $x_{0}$ 是 $A$ 的边界点， $A$ 的所有边界点构成的集合记为 $\partial A$
若对任意的 $ϵ > 0$ ，有 $B_{ϵ} (x_{0}) \cap (A \ {x_{0}}) \neq = \emptyset$ ，则称 $x_{0}$ 是 $A$ 的聚点（极限点）， $A$ 的全体聚点记为 $A^{'}$ ，称为 $A$ 的导集
称 $\overline{A} = A \cup A^{'}$ 为 $A$ 的闭包，等价定义 $\overline{A} = A^{\circ} \cup \partial A$
$A \ A^{'}$ 为 $A$ 的孤立点集合
若 $\overline{A} = E$ ，就称集合 $A$ 在 $E$ 中稠密

根据以上定义，有如下结论：①内点都是聚点，即 $A^{\circ} \subset A^{'}$ ；② $\partial A = \overline{A} \ A^{\circ}$ ；③ $(A^{c})^{\circ} = R^{n} \ \overline{A}$ 其中的点称为 $A$ 的外点。

$Q^{\circ} = \emptyset$ ， $Q^{'} = \overline{Q} = R \supset Q$ ， $\partial Q = R$ .

简单地说，Ⅰ.孤立点就是散落在外面的点，比如 $A = {0} \cup [1, 2]$ ，那么 $0$ 就是 $A$ 的孤立点；Ⅱ. $聚点 {内点边界点 (去除孤立点)$ .

并有如下运算：

$A \subset B \Rightarrow A^{'} \subset B^{'}$
$(A \cup B)^{'} = A^{'} \cup B^{'}$
$x \in A \ A^{'} \Leftrightarrow \exists r > 0, B_{r} (x) \cap A = {x}$ ，这也是孤立点的一种定义

定理： $A \subset R^{n}$ ， $x \in R^{n}$ ， $x \in A^{'} \Leftrightarrow \exists {x_{k}} \subset A \ {x} s . t . k \to \infty lim x_{k} = x$

6. 开集和闭集、集合的代数

定义：开集用 $O$ 来表示， $O \subset R$ 是开集 $\Leftrightarrow d e f \forall x \in O, \exists δ > 0, s . t . B_{δ} (x) \subset O \Leftrightarrow d e f O = O^{\circ}$ （即开集每个点都是内点）

开区间是开集，我们规定空集和实数集既是开集也是闭集。

命题：若 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 是开集，那么 $O_{1} \cap O_{2}$ 也是开集。

证明：思路是对任意的 $x \in O_{1} \cap O_{2}$ ，证明存在一个 $x$ 的球邻域包含于 $O_{1} \cap O_{2}$ 。 $x \in O_{1} \Leftrightarrow \exists δ_{1} s . t . B_{δ_{1}} (x) \subset O_{1}$ ， $x \in O_{2} \Leftrightarrow \exists δ_{2} s . t . B_{δ_{2}} (x) \subset O_{2}$ ，令 $δ = min (δ_{1}, δ_{2})$ ，则 $B_{δ} (x) \subset B_{δ_{1}} (x) \subset O_{1}$ 、 $B_{δ} (x) \subset B_{δ_{2}} (x) \subset O_{2}$ ， $i . e . B_{δ} (x) \subset O_{1} \cap O_{2}$ .

命题：任意有限个开集的交是开集。

但是无限个开集的交不一定是开集，比如 $O_{n} = (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})$ ，则 $n = 1 ⋂ \infty O_{n} = {0}$ .

命题：任意开集族的并是开集。

证明： $U = λ \in I ⋃ O_{λ}$ ，其中 $\forall λ \in I$ ， $O_{λ}$ 是开集， $\forall x \in U$ ， $\exists λ \in I s . t . x \in O_{λ} \Rightarrow \exists δ > 0 s . t . B_{δ} (x) \subset O_{λ} \subset U$ .

定义：闭集用 $F$ 来表示， $F \subset R$ 是闭集 $\Leftrightarrow d e f F = \overline{F} \Leftrightarrow F \supset F^{'}$ .

闭区间是闭集，闭球 ${y \in R^{n} ∣ ∣∣ y - x ∣∣ \leq r}$ 是闭集；若 $O$ 是开集，则 $O^{c}$ 是闭集；若 $F$ 是闭集，则 $F^{c}$ 是开集。

命题：任意有限闭集的并集是闭集。任意多个（包括有限个、可数个）闭集的交集还是闭集。

第一部分的证明：设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是两个闭集，由 $\overline{F_{1} \cup F_{2}} = \overline{F_{1}} \cup \overline{F_{2}} = F_{1} \cup F_{2}$ 可知 $F_{1} \cup F_{2}$ 是闭集，利用归纳法可得任意有限个闭集的并仍是闭集。

第二部分的证明：设 ${F_{α}}_{α \in I}$ 是一个闭集族，记 $F = α \in I ⋂ F_{α}$ ， $\forall α \in I : F \subset F_{α} \Rightarrow \overline{F} \subset \overline{F}_{α} = F_{α}$ ，由此可得 $\overline{F} \subset α \in I ⋂ F_{α} = F$ ，又有 $F \subset \overline{F}$ ，故 $F = \overline{F}$ .

无限个闭集的并不一定是闭集，比如 $F_{n} = [\frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n}]$ ，则 $n = 2 ⋃ \infty F_{n} = (0, 1)$ .

定义：由 $X$ 的子集构成的集合族 $A$ （即 $A \subset 2^{X}$ ）若满足以下三个条件：

（1）若 $A, B \in A$ ，则 $A \cup B \in A$

（2）若 $A \in A$ ，则 $A^{c} \in A$

（3）若 $A, B \in A$ ，则 $A \cap B \in A$

则称 $A$ 为一个集合的代数或布尔代数。（实际上利用德摩根法则可以由1、2推出3，或者由2、3推出1）

命题：给定 $X$ 子集的任何集合族 $C$ ，存在包含 $C$ 的最小代数 $A$ ；即存在一个代数 $A$ 包含 $C$ 且对每一个包含 $C$ 的代数 $B$ ，都有 $B$ 包含 $A$ 。包含 $C$ 的最小代数称为由 $C$ 生成的代数。

比如，设 $X = {0, 1, 2}$ ， $C = {{0}}$ ，则由 $C$ 生成的代数为 $A = {{0}, {1, 2}, \emptyset, {0, 1, 2}}$ ，因为对 $C$ 作补集是 ${1, 2}$ ，根据条件二要对补集运算封闭，生成的代数必须包含 $C$ 和 ${1, 2}$ ，根据条件一和条件三 $C$ 和 ${0, 1}$ 并集和交集也要包含在这个代数内，这时再验证生成的代数中的4个元素就都满足前面三个条件了。

命题：令 $A$ 为 $X$ 的子集的代数，且 ${A_{i}}_{i = 1}^{\infty}$ 为 $A$ 中的一个集合序列，那么存在 $A$ 中的集合序列 ${B_{i}}_{i = 1}^{\infty}$ ，满足 $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ （ $i \neq = j$ ）， $n = 1 ⋃ \infty B_{i} = n = 1 ⋃ \infty A_{i}$ .

证明提示：令 $B_{1} = A_{1}$ ， $B_{n} = A_{n} \ (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n - 1})$ .

定义：若集合代数 $A$ 中的每个可数集合族的并集仍属于 $A$ （数学表示为，若 ${A_{i}} \subset A$ ，则 $i = 1 ⋃ \infty A_{i} \in A$ ），则称 $A$ 为 $σ$ 代数或博雷尔(Borel)域。根据德摩根法则，每个可数集合族的交集仍属于 $A$ .

$σ$ 代数与普通代数的区别在于它可以作可数次运算。 $σ$ 代数关于可数集合族的交并，以及集合列的上下极限都是封闭的。

命题：给定 $X$ 子集的任何集合族 $C$ ，存在包含 $C$ 的最小 $σ$ 代数；即存在一个 $σ$ 代数 $A$ 包含 $C$ 且对每一个包含 $C$ 的 $σ$ 代数 $B$ ，都有 $B \supset A$ 。包含 $C$ 的最小 $σ$ 代数称为由 $C$ 生成的 $σ$ 代数。

$X$ 的 $σ$ 代数总是存在的，比如 $2^{X}$ （最大的 $σ$ 代数）， ${\emptyset, X}$ （最小的 $σ$ 代数），这两个代数称为平凡 $σ$ 代数。

定义：可数个闭集的并集记作 $F_{σ}$ (型)集；可数个开集的交集记作 $G_{σ}$ (型)集。

$F_{σ}$ 集的补集是 $G_{σ}$ 集， $G_{σ}$ 集的补集是 $F_{σ}$ 集。

定义：由 $R^{n}$ 中一切开集构成的开集族所生成的 $σ$ 代数称为 $R^{n}$ 的Borel $σ$ 代数，记为 $B^{n}$ ， $B^{n}$ 中的元素称为Borel集。

开集、闭集、 $F_{σ}$ 集、 $G_{σ}$ 集都是Borel集。Borel集合族的可列交、可列并、上下极限构成的集合也是Borel集。

由于开集的补集是闭集，Borel $σ$ 代数包含了一切开集也就同时包含了所有闭集（因为代数要求对补集运算封闭），其他同理。

7. 开集的结构、连续性定理

定理（实数集开集的结构）：实数集的每个开集都是可数个不交开区间的并集。（这里的可数包括有限个的可数和无限个的可数）

证明：设 $O$ 是 $R$ 中的一个非空开集，对任意的 $x \in O$ ， $x$ 是 $O$ 的内点，所以必有 $(y, z) \subset O$ 使 $x \in (y, z)$ ，这样就找到 $O$ 中一个包含 $x$ 的开区间，我们要让这个开区间尽可能大，即，令 $b = sup {z ∣ (x, z) \subset O}$ 、 $a = in f {y : (y, x) \subset O}$ ，取 $z$ 的上确界 $b$ 、 $y$ 的下确界 $a$ ，这样我们就找到 $O$ 中包含 $x$ 的最大开区间 $(a, b)$ .

令 $I_{x} = (a, b)$ ，我们有 $I_{x} \subset O \Leftarrow \forall w \in I_{x} (w < b), \exists z > w s . t . w \in (x, z) \subset O$ ； $b \in / O \Leftarrow$ 假设 $b \in O, \exists δ > 0 s . t . (b - δ, b + δ) \subset O, i . e . (x, b + δ) \subset O$ ，这时 $b$ 显然不是上确界，假设不成立； $a \in / O$ 的证明同理。也就是说如果找到一个包含 $x$ 的最大开区间，那么这个开区间的端点一定 $\in / O$ .

再考虑开区间族 ${I_{x}}_{x \in O}$ ， $I_{x} \subset O (\forall x) \Rightarrow x \in O ⋃ I_{x} \subset O$ ； $\forall x \in O, x \in I_{x} \Rightarrow x \in O ⋃ I_{x} \supset O$ ， $∴ O = x \in O ⋃ I_{x}$ ，也就是说， $O$ 可以被表示成开区间族的并集。再证明该开区间族的开区间两两不交：假设 $(a, b), (c, d) \in {I_{x}}$ 有公共点，则必须有 $a < d$ 、 $c < b$ ， ${c \in / O \Rightarrow c \in / (a, b) \Rightarrow c \leq a a \in / O \Rightarrow a \in / (c, d) \Rightarrow a \leq c \Rightarrow a = c$ ，用同样的方法可以证明 $b = d$ ，也即 $(a, b) = (c, d)$ ，所以 ${I_{x}}$ 中不同的开区间不交。最后再证明该开区间可数：因为该开区间族两两不交，每个开区间都包含一个有理数（阿基米德公理，可由完备性公理推出），我们可以建立该开区间族与有理数的一个子集的一一对应，所以它是一个可数集合族。

开集的例子： ${(x, y) \in R^{2} ∣ y < x^{2}}$ 、 ${x \in R^{n} ∣ ∣∣ x - y ∣∣ < r, \forall y \in A} = y \in A ⋃ B_{r} (y)$

闭集的例子： ${(x, y) \in R^{2} ∣ y \leq x^{2}}$ 、 ${x \in R^{n} ∣ ∣∣ x - y ∣∣ \leq r, \forall y \in A} = y \in A ⋃ (B_{r} (y) \cup \partial B_{r} (y))$

推论：闭集 $F ⫋ R$ 是从 $R$ 中挖去至多可数个互不相交的开区间的集合。若 $F$ 是有界闭集，则 $F$ 是从一个闭区间中挖去至多可数个互不相交的开区间后所得的集合。

Cantor集：将区间 $[0, 1]$ 三等分，并移去之间的那个开区间 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ ，存留部分记为 $F_{1}$ ，即 $F_{1} = [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1]$ ，这是2个长度为 $\frac{1}{3}$ 的区间，再将 $F_{1}$ 中的区间都三等分，并都移去中间的那个开区间，存留部分记为 $F_{2}$ ，即 $F_{2} = [0, \frac{1}{9}], \cup [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1]$ ，这是4个长度为 $\frac{1}{9}$ 的区间，依此类推， $F_{n}$ 是 $2^{n}$ 个长度为 $\frac{1}{3 ^{n}}$ 的互不相交的闭区间的并集，将每个闭区间三等分并移去中间的开区间，剩余的部分记为 $F_{n + 1}$ ，那么Cantor集 $C = n = 1 ⋂ \infty F_{n}$ ，如下表：

	Cantor集	挖去的开区间
	$[0, 1]$	$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$
$F_{1}$	$[0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1]$	$(\frac{1}{3 ^{2}}, \frac{2}{3 ^{2}}) \cup (\frac{7}{3 ^{2}}, \frac{8}{3 ^{2}})$
$F_{2}$	$[0, \frac{1}{3 ^{2}}], \cup [\frac{2}{3 ^{2}}, \frac{3}{3 ^{2}}] \cup [\frac{6}{3 ^{2}}, \frac{7}{3 ^{2}}] \cup [\frac{8}{3 ^{2}}, 1]$	$(\frac{1}{3 ^{3}}, \frac{2}{3 ^{3}}) \cup (\frac{7}{3 ^{3}}, \frac{8}{3 ^{3}}) \cup (\frac{19}{3 ^{3}}, \frac{20}{3 ^{3}}) \cup (\frac{25}{3 ^{3}}, \frac{26}{3 ^{3}})$
	$⋮$	$⋮$
$F_{n}$	$2^{n}$ 个长度为 $\frac{1}{3 ^{n}}$ 的闭区间的并集，总长度为 $(\frac{2}{3})^{n} \to 0$	共挖去 $2^{n - 1}$ 个长度为 $\frac{1}{3 ^{n}}$ 的开区间，共挖去总长度为 $\sum_{i = 0}^{n} \frac{2 ^{i}}{3 ^{i + 1}} = 1 - \frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n + 1}} \to 1$

Cantor集的性质：

Cantor集 $C$ 是非空有界闭集
$C = C^{'}$
$C \sim 2^{N}$ ，即 $∣ C ∣ = 2^{ℵ_{0}}$ ，因为可证 $C$ 的端点可以表示为3进制小数，即 $C = {x = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a _{i}}{3 ^{i}} ∣ a_{i} \in {0, 2}}$

比如： $0 = (0.000 \dots)_{3}$ ， $\frac{1}{3} = (0.1)_{3} = (0.0222 \dots)_{3}$ ， $\frac{2}{3} = (0.2000 \dots)_{3}$ ， $1 = (0.2222 \dots)_{3}$ ， $\frac{7}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3 ^{2}} = (0.2100 \dots)_{3} = (0.20222 \dots)_{3}$ ， $\frac{8}{9} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 ^{2}} = (0.22000 \dots)_{3}$ ，但是 $\frac{4}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = (0.11000 \dots)_{3} \in / C$ .
$C \sim [0, 1]$

定理： $R^{n}$ 中任意非空开集 $O$ 可表示为至多可数个互不相交的 $n$ 维半开矩体的并集。

半开矩体： $[a_{1}, b_{1}) \times [a_{2}, b_{2}) \times \dots \times [a_{n}, b_{n})$ ，各边长为 $b_{i} - a_{i}$ ，比如二维的情况下就是一个矩形区域，且有两条边是开的。

定义（开集与函数的连续性）：设 $f$ 是定义在 $R^{n}$ 上的实值函数， $a \in R^{n}$ ，则 $f$ 在 $a$ 连续 $\Leftrightarrow d e f \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, s . t . ∣ f (x) - f (a) ∣ < ϵ$ （ $\forall x \in B_{δ} (a)$ ）。若 $f$ 在 $R^{n}$ 上每一点都连续，则称 $f$ 在 $R^{n}$ 上连续。

定理：设 $f$ 是 $R^{n}$ 上的实值函数，则以下条件互相等价：

（1） $f$ 在 $R^{n}$ 上连续；

（2） $\forall λ \in R$ ， ${x ∣ f (x) < λ}$ 与 ${x ∣ f (x) > λ}$ 是开集；

（3） $\forall λ \in R$ ， ${x ∣ f (x) \leq λ}$ 与 ${x ∣ f (x) \geq λ}$ 是闭集；

证明：显然(2)与(3)是等价的，这里只证明(1)与(2)等价。

$(1) \Rightarrow (2) :$ 已知 $f$ 在 $R^{n}$ 上连续，设 $λ \in R$ ，我们要证明 ${x ∣ f (x) < λ}$ 是开集（ $>$ 的情况同理）。对任意的 $x \in {x ∣ f (x) < λ}$ ， $\exists δ > 0, s . t . f (x) \leq λ - 2 δ$ （因为 $x$ 在 $f (x_{λ}) = λ$ 时的 $x_{λ}$ 的左边且取不到 $x_{λ}$ ，就是说 $x$ 与 $x_{λ}$ 有一定距离，设 $2 δ \leq$ 这个距离），对于给定的 $δ > 0$ ，因为 $f$ 在 $x$ 连续，所以 $\exists ϵ > 0, s . t . ∣ f (y) - f (x) ∣ < δ$ （ $\forall y \in B_{ϵ} (x)$ ） $\Rightarrow \forall y \in B_{ϵ} (x)$ ， $f (y) \leq f (x) + ∣ f (y) - f (x) ∣ < f (x) + δ \leq λ - δ < λ$ ，也就是说，存在 $ϵ > 0$ ，使得当 $y \in B_{ϵ} (x)$ ，有 $f (y) < λ$ ，即 $B_{ϵ} (x) \subset {x ∣ f (x) < λ}$ ，故 ${x ∣ f (x) < λ}$ 的每一点都是内点，从而它是开集。（这里的用的符号与前面连续的定义不同，但意思是一样的， $f$ 在 $a$ 连续 $\Leftrightarrow$ 给定 $δ > 0, \exists ϵ > 0, s . t . ∣ f (x) - f (y) ∣ < δ$ （ $\forall y \in B_{ϵ} (x)$ ），证明开集是思路是找球邻域）

$(2) \Leftarrow (1) :$ 已知 $\forall λ \in R$ ， ${x ∣ f (x) < λ}$ 、 ${x ∣ f (x) > λ}$ 是开集，对于任意的 $a \in R^{n}$ ，我们要证明 $f$ 在 $a$ 连续。对任意的 $ϵ > 0$ ， $O = {x ∣ ∣ f (x) - f (a) ∣ < ϵ} = {x ∣ f (a) - ϵ < f (x) < f (a) + ϵ} = {x ∣ f (x) > f (a) - ϵ} \cap {x ∣ f (x) < f (a) + ϵ}$ 是开集（因为两个开集的交集仍是开集，这两个是开集是因为条件），且 $a \in O$ ，故存在 $δ > 0$ ，使得 $B_{δ} (a) \subset O$ ， $i . e . f (x) - ϵ < f (y) < f (x) - ϵ$ （ $\forall y \in B_{δ} (a)$ ），也即 $∣ f (y) - f (x) ∣ < ϵ$ （ $\forall y \in B_{δ} (a)$ ），所以 $f$ 在 $a$ 连续。

命题： $f$ 是 $R^{n}$ 上的连续函数 $\Leftrightarrow$ 对每个开集 $O \subset R$ ，集合 $f^{- 1} (O)$ 是开的。（ $f^{- 1}$ 指逆像）

证明：必要性（ $\Rightarrow$ ）：设 $f (x) \in C (R^{n})$ （即设 $f (x)$ 是连续函数），根据定义有 $\forall x \in R^{n}$ ， $\forall ϵ > 0, \exists δ_{ϵ, x} > 0$ （指 $δ$ 与 $ϵ$ 、 $x$ 无关）， $s . t . ∣ f (\overline{x}) - f (x) ∣ < ϵ$ （ $\forall \overline{x} \in B (x, δ_{ϵ, x})$ ，即以 $x$ 为中心以 $δ_{ϵ, x}$ 为半径的球邻域），对于任意一个开集 $O \subset R$ ， $\forall x \in f^{- 1} (O), i . e . f (x) \in O, \exists ϵ_{1} > 0$ ， $s . t . B (f (x), ϵ_{1}) = {y \in R ∣ ∣ f (x) - y ∣ < ϵ_{1}} \subset O$ ，令 $ϵ = \frac{ϵ _{1}}{2}$ ，则 $\forall \overline{x} \in B (x, δ_{\frac{ϵ _{1}}{2}, x})$ ， $∣ f (\overline{x}) - f (x) ∣ < \frac{ϵ _{1}}{2} < ϵ_{1}$ ，即 $f (\overline{x}) \in B (f (x), ϵ) \Rightarrow \overline{x} \in f^{- 1} (O)$ （对任意 $x \in f^{- 1} (O)$ ，存在 $x$ 的一个球邻域 $B (x, δ_{\frac{ϵ _{1}}{2}, x}) \subset f^{- 1} (O)$ ，所以 $f^{- 1} (O)$ 是开集）

充分性（ $\Leftarrow$ ）： $\forall x \in R^{n}$ ， $O = (f (x) - ϵ, f (x) + ϵ) \subset R$ 是一个开集，因为 $f^{- 1} (O)$ 是开集，且 $x \in f^{- 1} (O)$ ，则存在一个球邻域 $B (x, δ_{x, ϵ}) \subset f^{- 1} (O)$ ，即 $\forall y \in B (x, δ_{x, ϵ})$ ， $f (y) \in O$ ，也即 $∣ f (x) - f (y) ∣ < ϵ$ ，故 $f$ 在 $x$ 连续，由 $x$ 的任意性知 $f \in C (R^{n})$ .

定义：设 $E \subset R^{n}$ 、 $f : E \to R$ 、 $a \in E$ ，若对于任意的 $ϵ > 0$ ，总存在 $δ > 0$ ，使得当 $x \in E \cap B_{δ} (a)$ ，有 $∣ f (x) - f (a) ∣ < ϵ$ ，就称 $f$ 在点 $a$ 连续， $a$ 是 $f$ 的连续点。 $f$ 在 $E$ 处处连续，就称 $f$ 在 $E$ 上连续。全体 $E$ 上连续函数的集合记为 $C (E)$ .

定义：设 $A \subset E \subset R^{n}$ ，如果存在开集（闭集） $B \subset R^{n}$ ，使得 $A = E \cap B$ ，则称 $A$ 相对于 $E$ 是开集（闭集）。

比如，区间 $[0, 1)$ 相对于 $[0, 2)$ 是开集，因为 $[0, 1) = [0, 2) \cap (- 1, 1)$ ； $[0, 1)$ 相对于 $[- 1, 1)$ 是闭集，因为 $[0, 1) = [- 1, 1) \cap [0, 1]$

命题：设 $E (f < λ) := {x \in E ∣ f (x) < λ}$ ，则：

（1） $f \in C (E) \Leftrightarrow \forall λ \in R, E (f < λ)$ 和 $E (f > λ)$ 均相对于 $E$ 是开集

（2） $f \in C (E) \Leftrightarrow \forall λ \in R, E (f \leq λ)$ 和 $E (f \geq λ)$ 均相对于 $E$ 是闭集

柯西收敛定理（n维点集连续性的基本定理）：序列 ${x_{n}} \subset R^{n}$ 收敛的充要条件是 $k, l \to \infty lim ∣∣ x_{k} - x_{l} ∣∣ = 0$ .

证明：由 $∣∣ x_{k} - x_{l} ∣∣ = (\sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{k, i} - x_{l, x} ∣^{2})^{\frac{1}{2}}$ 可知， $C 1 \leq i \leq n max ∣ x_{k, i} - x_{l, i} ∣ \leq ∣∣ x_{k} - x_{l} ∣∣ \leq C^{'} 1 \leq i \leq n max ∣ x_{k, i} - x_{l, i} ∣$ （其中 $C$ 、 $C^{'}$ 是常数），故 $k, l \to 0 lim ∣∣ x_{k} - x_{l} ∣∣ = 0 \Leftrightarrow k, l \to 0 lim ∣ x_{k, i} - x_{l, i} ∣ = 0$ ，因此 $n$ 维的柯西收敛定理就等价于一维的柯西收敛定理，根据一维的柯西收敛定理 $\Rightarrow x_{k, i} \to \tilde{x}_{i} \in R$ （ $k \to \infty, 1 \leq i \leq n$ ） $\Rightarrow x_{k} \to x = (\tilde{x}_{1}, \dots, \tilde{x}_{n}) \in R^{n}$ （ $k \to \infty$ ）

定义：设 $A \subset R^{n}$ ， $F$ 是 $R^{n}$ 的子集族，若 $A \subset ⋃_{B \in F} B$ ，则称 $F$ 是集 $A$ 的一个覆盖；当 $F$ 是开集族时，称 $F$ 是集 $A$ 的开覆盖；当 $F$ 是有限族时，称 $F$ 是集 $A$ 的有限覆盖；若 $F^{'}$ 也是 $R^{n}$ 的子集族（ $F^{'}$ 是另外一个子集族，与 $F$ 无关）， $F^{'} \subset F$ ，当 $F^{'}$ 也是集合 $A$ 的覆盖时，称 $F^{'}$ 是 $F$ 的子覆盖。

有限覆盖定理：若 $F$ 是有界闭集 $F$ 的开覆盖，则可以从 $F$ 中取出有限子覆盖。

证明：

考虑 $R^{2}$ 时的情况，如上图，用反证法。设不存在有限子覆盖，因为 $F$ 有界，则存在一个方体 $C_{0} = \prod_{i = 1} [a_{i}, b_{i}]$ ，使得 $F \subset C_{0}$ ，将 $C_{0}$ 等分成 $2^{n}$ 个边长减半的小方体，那么其中必有一个小方体（记作 $C_{1}$ ）满足 $C_{1} \cap F$ 不被 $F$ 中有限个集所覆盖；再将 $C_{1}$ 等分成 $2^{n}$ 个边长减半的小方体，其中也必有一个（记作 $C_{2}$ ）满足 $C_{2} \cap F$ 不被 $F$ 中有限个集所覆盖，依此类推，可以得到一个方体的降列 ${C_{k}}$ ，使得每个 $C_{k} \cap F$ 不被 $F$ 中有限个集所覆盖，因此我们有 $diam C_{k} \to 0$ （ $k \to \infty$ ，这里的 $diam A = x, y \in A sup ∣∣ x - y ∣∣$ 表示集合 $A$ 的直径），任取 $x_{k} \in C_{k} \cap F$ （ $k = 1, 2, \dots$ ），则当 $l \geq k$ 时， $∣∣ x_{k} - x_{l} ∣∣ \leq diam C_{k} \to 0$ ，即 ${x_{k}}$ 为柯西列，根据前面的柯西收敛定理及 $F$ 是闭集，有 $x_{k} \to x \in F$ ；存在 $U \in F$ ，使 $x \in U$ ，因为 $U$ 是开集，所以存在 $r > 0$ ，使得 $B_{r} (x) \subset U$ ，又因为 $x_{k} \in C_{k}$ 、 $diam C_{k} \to 0$ ，故当 $k$ 充分大时， $F \cap C_{k} \subset C_{k} \subset B_{r} (x) \subset U$ （因为球邻域的半径是固定的，一定比一个直径趋于零的区域大），这与 $C_{k} \cap F$ 不被 $F$ 中有限个集覆盖矛盾，证毕。

闭区间套定理：设 ${F_{k}}$ 是 $R^{n}$ 中的非空有界闭集列，满足 $F_{1} \supset F_{2} \supset \dots \supset F_{k} \supset \dots$ ，则 $i = 1 ⋂ \infty F_{k} \neq = \emptyset$ .

证明：用反证法。假设 $i = 1 ⋂ \infty F_{k} = \emptyset$ ，由德摩根律知 $i = 1 ⋃ \infty F_{k}^{c} = R^{n}$ ，从而 ${F_{k}^{c}}$ 是有界闭集 $F_{1}$ 的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在一个有限子覆盖 ${F_{k_{j}}^{c}}_{j = 1}^{s}$ （注意这里取了补集），使得 $F_{1} \subset j = 1 ⋃ s F_{k_{j}}^{c} = (j = 1 ⋂ s F_{k_{j}})^{c} = F_{k_{s}}^{c}$ （因为 ${F_{k_{j}}}_{j = 1}^{s}$ 是降列，详见有限覆盖定理的证明部分），这与 $F_{1} \supset F_{k_{s}}$ 矛盾，因此有 $i = 1 ⋂ \infty F_{k} \neq = \emptyset$ .

波尔查诺-威尔斯特拉斯极限点定理： $R^{n}$ 中任意有界无限点集 $A$ 必有一个聚点，即 $A^{'} \neq = \emptyset$ 。该定理也可以等价表述为， $R^{n}$ 中有界无限序列必有收敛子列。

证明：用反证法。取 $A$ 中的一个无限可列子集 ${x_{k}}$ ，令 $F_{k} = {x_{j} ∣ j \geq k}$ （ $j = 1, 2, \dots$ ），显然 $F_{1} \supset F_{2} \supset \dots$ ，假设 $A^{'} = \emptyset$ ，则有 $F_{k}^{'} = \emptyset$ （ $\forall k$ ），所以 $F_{k}$ 是有界闭集，由闭区间套定理可知， $i = 1 ⋂ \infty F_{k} \neq = \emptyset$ ，显然矛盾，所以 $A^{'} \neq = \emptyset$ .

以上四个定理再加上用来证明柯西收敛定理的一维柯西收敛定理是相互等价的，可以相互证明，比如用波尔查诺-威尔斯特拉斯极限点定理来证明柯西列收敛：设 ${x_{k}}$ 是柯西列，则 $\forall ϵ > 0, \exists N > 0$ ， $s . t .$ 对任意 $k, l \geq N$ ，有 $∣∣ x_{k} - x_{l} ∣∣ < ϵ$ ，显然 ${x_{k}}$ 有界，则由定理知，它必有一收敛子列，当 $j$ 充分大时，有 $∣∣ x_{k} - x_{k_{j}} ∣∣ \leq ϵ$ ，令 $j \to \infty$ ，有 $∣∣ x_{k} - x ∣∣ \leq ϵ$ ，即得 $x_{k} \to x$ （ $k \to \infty$ ）

定义：若集合 $E \subset R^{n}$ 的任意一个开覆盖均包含有限子覆盖，就称 $E$ 为紧集。

定理：设 $E \subset R^{n}$ ，若 $E$ 的任一开覆盖都包含有限子覆盖，则 $E$ 是有界闭集。（即， $R^{n}$ 中的紧集=有界闭集）

证明：设 $z \in E^{c}$ ， $\forall x \in E, \exists δ_{x} > 0, s . t . B (x, δ_{x}) \cap B (z, δ_{x}) = \emptyset$ （其中 $δ_{x}$ 指 $δ$ 与 $x$ 无关）， ${B (x, δ_{x}) ∣ x \in E}$ 是 $E$ 的一个开覆盖，由题设，存在一个有限子覆盖 $B (x, δ_{x_{1}}), B (x_{2}, δ_{2}), \dots, B (x, δ_{x_{n}})$ ，即 $i = 1 ⋃ n B (x_{i}, δ_{x_{i}}) \supset E \Rightarrow E$ 有界。另外，记 $δ = min {δ_{x_{1}}, \dots, δ_{x_{n}}}$ ，我们有 $B (z, δ) \cap E = \emptyset$ ， $i . e .$ ， $z \in / E^{'}$ ，这说明 $E \supset E^{'}$ ，即 $E$ 是闭集。

8. 补充：关于度量空间的一些话题

本节讨论如果定义一个新的度量空间，以及相关的距离、球邻域、内点、外点、聚点、开集、闭集、完备性、紧致性、有界性等如何得出。

前面所说的空间需要对加法和数乘封闭，但是一般意义上的空间是指，由某种特定的对象全体所构成的集合。

例如：由所有 $n$ 维向量构成的线性空间 $R^{n}$ 、由所有 $n \times n$ 的矩阵构成的矩阵空间等。

本节讨论的是度量空间。

对于空间，可以定义距离函数 $d (x, y) : X \times X \to R$ ，且 $\forall x, y, z \in X$ ，满足如下性质：

（1）正定性： $d (x, y) \geq 0$ ； $d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$

（2）对称性： $d (x, y) = d (y, x)$

（3）三角不等式： $d (x, y) \leq d (x, z) + d (y, z)$

我们称 $(X, d)$ 为度量空间。

只要满足以上三个条件都可以称为距离。

常见的几种度量：

当 $X = R^{n}$ 时，欧氏距离为 $d_{l^{2}} (x, y) = (\sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} - y_{i} ∣^{2})^{\frac{1}{2}}$ ，我们称其为 $l^{2}$ 度量，记作欧氏空间 $(X, d_{l^{2}})$ ，我们可以定义它的球邻域 $B_{r} (x) = {y \in R^{n} ∣ d_{l^{2}} (x, y) < r}$ ，比如当 $n = 2$ 时， $B_{r} (0) = {x \in R^{2} ∣ (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{\frac{1}{2}} < r}$
当 $X = R^{n}$ 时，可以定义距离 $d_{l^{1}} (x, y) = \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} - y_{i} ∣$ ，称为 $l^{1}$ 度量，记作度量空间 $(X, d_{l^{1}})$ ，当 $n = 2$ 时， $B_{r} (0) = {x \in R^{2} ∣ ∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣ < r}$
当 $X = R^{n}$ ，可以定义距离 $d_{l^{\infty}} (x, y) = i = 1, 2, \dots, n max ∣ x_{i} - y_{i} ∣$ ，称为 $l^{\infty}$ 度量，记作度量空间 $X, d_{l^{\infty}}$ ，当 $n = 2$ 时， $B_{r} (0) = {x \in R^{2} ∣ ∣ x_{1} ∣ < r, ∣ x_{2} ∣ < r}$
离散(discrete)度量 $d_{disc} (x, y) = {01, x = y, x \neq = y$ ，记作度量空间 $(X, d_{disc})$

定义（依度量 $d$ 收敛）： ${x_{n}} \subset X$ ， $x_{n} \to x \in X$ （ $n \to \infty$ ） $\Leftrightarrow d e f d (x_{n}, x) \to 0$ （ $n \to \infty$ ）.

因此， $(X, d)$ 的内点、外点、聚点、开集、闭集等都与度量有关。

是否为开集依赖于选取的度量，比如， ${1} \subset R$ ， ${1}$ 在度量空间 $(R, d_{l^{2}})$ 上不是开集，因为 $B_{d_{l^{2}}} (1, ϵ) = {x ∣ ∣ x - 1∣ < ϵ} ⊈ {1}$ ；但是 ${1}$ 在度量空间 $(R, d_{disc})$ 上是开集，因为 $B_{d_{disc}} (1, \frac{1}{2}) = {x ∣ d_{disc} (1, x) < \frac{1}{2}} = {1}$

是否为开集也依赖于环绕空间，比如， $X = {(x, 0) ∣ x \in R} \subset R^{2}$ ， $E = {(x, 0) ∣ x \in (- 1, 1)} \subset X$ ， $E$ 在（相对于）度量空间 $(R^{2}, d_{l^{2}})$ 不是开集（画图后可知， $X$ 是 $x$ 轴，而 $E$ 是 $x$ 轴上 $(- 1, 1)$ 这一段， $E$ 内任意取一点画球邻域，球邻域内都会有部分点在 $X$ 外面，故不是开集）；但是在度量空间 $(X, d_{l^{2}})$ 是开集（因为空间被限制在 $X$ ，也就是 $x$ 轴上了，在 $E$ 上以任意点为中心作开区间是开集）。

定义：度量空间 $(X, d)$ 是完备的，当且仅当 $(X, d)$ 中的每一个柯西列在 $(X, d)$ 中都是收敛的。（也就是说， $X$ 完备，则 $X$ 是闭集）

比如， $(Q^{n}, d_{l^{2}})$ 不是完备的（因为柯西列有可能会收敛到一个无理数），而 $(R^{n}, d_{l^{2}})$ 是完备的。

定义：度量空间 $(X, d)$ 是紧（致）的，当且仅当 $(X, d)$ 中的每一个序列都有收敛子列。（也就是说， $X$ 紧致，则 $X$ 是一个紧集）

比如， $(R, d_{l^{2}})$ 不是紧致的，因为 $R \subset R$ 无收敛子列。

这里的”每一个序列都有收敛子列“与紧集的定义” $X$ 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖“在度量空间中是等价的（在拓扑空间中则未必等价）

在部分度量中，比如 $d_{l^{1}}$ 、 $d_{l^{2}}$ 、 $d_{l^{\infty}}$ 、 $\dots$ 中，紧集 $\Leftrightarrow$ 有界闭集，但是在一些度量中则未必，只能得出紧集 $\Rightarrow$ 有界闭集。

完备性、紧致性、有界性与度量有关，但是与环绕空间无关。

9. 补充：关于自然数、整数、有理数和实数的一些话题

本节讨论自然数、整数、有理数和实数是如何构造出来的。

构造自然数集合需要：增量运算 $+ +$ （即编程中自增运算）、皮亚诺公理。

公理1：0是一个自然数。

公理2：如果 $n$ 是一个自然数，那么 $n + +$ 也是一个自然数。

引入记号： $1 := 0 + +$ 、 $2 := (0 + +) + +$ 、 $\dots$ ，这样就可以证明3是一个自然数。

公理3：0不紧跟在任何自然数之后。（防止绕回0，且这样就可以证明4不等于0）

公理4：若 $m$ 和 $n$ 是两个不同的自然数，则 $m + + \neq = n + +$ .（①防止绕回之前的某个自然数；②防止有”天花板“；这样就可以证明6不等于3）

公理5（数学归纳法原理）：令 $P (n)$ 表示自然数 $n$ 的任意一个性质，如果 $P (0)$ 为真且 $P (n)$ 为真时，必有 $P (n + 1)$ 为真，那么对所有的 $n$ 有 $P (n)$ 为真。

因为像集合 $N = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, \dots}$ 也满足公理1-4，所以需要公理5.

由增量运算可定义（自然数）的加法+：对 $m \in N$ 定义 $0 + m := m$ ，归纳的假设已定义 $n + m$ ，那么我们定义 $(n + +) + m := (n + m) + +$ .

这种定义方式称递归的定义方式。

由加法可引入序的概念：（1） $n, m \in N, n \geq m$ （或 $m \leq n$ ） $\Leftrightarrow d e f \exists a \in N, s . t . n = m + a$ ；（2） $n, m \in N, n > m$ （或 $m < n$ ） $\Leftrightarrow d e f n \geq m, n \neq = m$

由加法可定义乘法×：对 $m \in N$ 定义 $o \times m := 0$ ，归纳的假设已定义 $n \times m$ ，那么我们定义 $(n + +) \times m = (n \times m) + m$

由乘法可定义指数：对 $m \in N$ 定义 $m^{0} = 1$ （ $0^{0} = 1$ ），归纳的假设已定义 $m^{n}$ ，那么我们定义 $m^{n ++} := m^{n} \times m$

利用自然数集合定义整数集合 $Z$ ：要用两个自然数去定义一个整数， $m, n \in N$ ，则整数表示为 $m - n$ （这里的 $-$ 不能称为减法，因为我们还没有定义减法，这只是一种表示方式），这样定义要满足 $m - n = a - b \Leftrightarrow m + b = a + n$ ，然后我们就可以定义整数的加法、减法、负数、绝对值、减法等。

利用整数集合定义有理数集合 $Q$ ：用两个整数去定义一个有理数， $a, b \in Z$ （ $b \neq = 0$ ），则有理数表示为 $a // b$ ，这样定义要满足 $a // b = c // d \Leftrightarrow a d = c b$ ，然后我们可以定义有理数的加法、乘法、减法、除法、倒数等。

有理数集合是有”间隙“的，比如 $x^{2} = 2$ 的解不是有理数，可以用反证法证明：假设解 $x = 2$ 是有理数，根据高数中有理数的定义， $x$ 可以表示为 $x = \frac{p}{q}$ （ $p, q$ 互质），则 $x^{2} = 2 = \frac{p ^{2}}{q ^{2}} \Rightarrow p^{2} = 2 q^{2} \Rightarrow$ 设 $p = 2 k$ （ $p^{2}$ 是偶数那么 $p$ 也是偶数），则 $4 k^{2} = 2 q^{2} \Rightarrow q^{2} = 2 k^{2} \Rightarrow$ 即 $q$ 是一个偶数，可以写成 $q = 2 k^{'}$ ，那么 $p, q$ 都是偶数，与互质的条件矛盾。

如何计算 $2$ ：设 $x^{2} - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 + ϵ_{1}$ ，其中 $ϵ_{1}$ 是一个小量， $(1 + ϵ_{1})^{2} = 1 + 2 ϵ_{1} + ϵ_{1}^{2} = 2 \Rightarrow 1 + 2 ϵ_{1} \approx 2 \Rightarrow ϵ_{1} \approx \frac{1}{2}$ ，再设 $ϵ_{1} = \frac{1}{2} + ϵ_{2}$ ，即 $x = 1 + \frac{1}{2} + ϵ_{2}$ ，则 $(1 + \frac{1}{2} + ϵ_{2})^{2} = \frac{9}{4} + 3 ϵ_{2} + ϵ_{2}^{2} = 2 \Rightarrow \frac{9}{4} + 3 ϵ_{2} \approx 2 \Rightarrow ϵ_{2} \approx - \frac{1}{12}$ ，再设 $ϵ_{2} = - \frac{1}{12} + ϵ_{3}$ ，即 $x = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{12} + ϵ_{3}$ ，依此类推。（或者用数值计算中的Newton法： $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{2} - 1}{2 x _{n}} = \frac{1}{2 x _{n}} - \frac{x _{n}}{2}$ ）

利用有理数集合定义实数集合 $R$ ：用有理数柯西列去定义一个实数， $x \in R \leftrightarrow d e f \exists {a_{n}} \subset Q$ （其中 ${a_{n}}$ 是有理数的柯西列），且 $x = n \to \infty lim a_{n}$

10. 补充：有序集与Zorn公理，势的序关系

对于集合 $X$ ，我们引入一个（序）关系 $⪯$ ，即对任意 $x, y \in X$ ， $x ⪯ y$ 要么为真，要么为假（即使为假，也不代表有 $y ⪯ x$ ）。序关系 $⪯$ 是一个二元关系，它满足：

（1）自反性： $\forall x \in X, x ⪯ x$

（2）反对称性：若 $x ⪯ y$ 且 $y ⪯ x$ ，则 $x = y$

（3）传递性：若 $x ⪯ y$ 且 $y ⪯ z$ ，则 $x ⪯ z$

为了方便表示，再引入如下记号：若 $x ⪯ y$ ，且 $x \neq = y$ ，则 $x ≺ y$ ； $x ⪯ y \Leftrightarrow y ⪰ x$

定义：我们称 ${X, ⪯}$ 为（偏）序空间，若 $X$ 被赋予了关系 $⪯$ ，则称 $X$ 是一个偏序集。

比如， ${2^{X}, \subset}$ 是一个偏序空间，它满足前面的三个性质（1）对所有 $E \in 2^{X}$ （如 $E \subset X$ ），有 $E \subset E$ ；（2）对 $A, B \in 2^{X}$ ，若 $A \subset B$ 、 $B \subset A$ ，则 $A = B$ ；（3）对于 $A, B, C \in 2^{X}$ ，若 $A \subset B$ 、 $B \subset C$ ，则 $A \subset C$

再比如， ${R, \leq}$ 、 ${N, ∣}$ （对于 $a, b \in N, a ∣ b \Leftrightarrow d e f \exists c \in N, s . t . a c = b$ ，也就是说如果 $a$ 是 $b$ 的因子，那么 $a$ 要排在 $b$ 前面）都是偏序空间。

定义：设 ${X, ⪯}$ 是一个偏序空间，如果对任意 $a, b \in X$ ，我们有 $a ⪯ b$ 或 $b ⪯ a$ ，则称 ${X, ⪯}$ 是全序空间， $X$ 是全序集。

偏序集的“偏”是指有部分元素不能进行比较，而全序集全部元素都可以进行比较。

比如， ${N, \leq}$ 、 ${Q, \leq}$ 、 ${R, \leq}$ 都是全序空间。

定义：如果 ${X, ⪯}$ 是一个偏序空间，则称 $X$ 的任意一个子集 $B$ 为有序子集，如果 ${B, ⪯}$ 是全序空间，则称 $B$ 是全序子集；如果 $X$ 中不存在真包含 $B$ 的全序子集，则称 $B$ 是 $X$ 的一个最大全序子集。

比如， ${2^{n} : n = 0, 1, 2, \dots}$ 是 ${N, ∣}$ 的一个最大全序子集； ${3^{n} : n = 0, 1, 2, \dots}$ 也是 ${N, ∣}$ 的一个最大全序子集；而 ${4^{n} : n = 0, 1, 2, \dots}$ 是 ${N, ∣}$ 是 ${N, ∣}$ 的全序子集，但并非最大，因为 ${4^{n} : n = 0, 1, 2, \dots} ⫋ {2^{n} : n = 0, 1, 2, \dots}$ 。

Zorn公理：每个偏序集都有最大全序子集。

定义：设 $X$ 是偏序集， $B \subset X$ 是全序子集：（1）若 $a \in X$ 满足 $x ⪯ a$ （ $\forall x \in B$ ），则称 $a$ 为 $B$ 的一个上界；（2）若 $b \in B$ 满足 $x ⪯ b$ （ $\forall x \in B$ ），则称 $b$ 为 $B$ 的最大元；（3）若 $a \in X$ 对所有 $X$ 中能与 $a$ 比较顺序的元 $x$ 都有 $x ⪯ a$ ，则称 $a$ 为 $X$ 的一个极大元。

比如， $X = {\emptyset, {0}, {1}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {1, 3}, {0, 1, 2}, {1, 2, 3}}$ ，则 ${X, \subset}$ 是一个偏序空间，而 $B = {\emptyset, {0}, {0, 1}}$ 是 $X$ 的一个全序子集， ${0, 1}$ 是 $B$ 的一个上界，同时也是 $B$ 的最大元，但 $X$ 没有最大元， ${0, 1, 2}$ 也是 $B$ 的一个上界，同时也是 $X$ 的一个极大元， ${1, 2, 3}$ 也是 $X$ 的一个极大元。

Zorn引理：设 $X$ 是一个非空偏序集，若 $X$ 的每个全序子集在 $X$ 中都有界，则 $X$ 必有极大元。

证明：由Zorn公理， $X$ 有一个最大全序子集 $B$ ，根据假设， $B$ 有上界 $a \in X$ ，现证明 $a$ 是 $X$ 的极大元（用反证法）：若 $a$ 不是 $X$ 的极大元，则存在 $b \in X$ 使得 $a ⪯ b$ ，于是 $B \cup {b}$ 是 $X$ 的一个全序子集且真包含 $B$ ，与 $B$ 是最大全序子集矛盾，证毕。

选择公理：设 $I$ 是一个集合（指标集），且对每个 $α \in I$ ，集合 $X_{α}$ 非空，则集合 $\prod_{α \in I} X_{α}$ 也非空。换而言之，存在一个选择函数，对每一个 $α \in I$ 都指定了一个元素 $x_{α} \in X_{α}$

选择公理与Zorn公理等价，可以相互推出，Zorn引理也可以由选择公理推出。（证明略）

定义：设 $X$ 是一个集合，若 $f : 2^{X} \to 2^{X}$ 满足当 $A \subset B \subset X$ 时，都有 $f (A) \subset f (B)$ ，则称 $f$ 是 $2^{X}$ 上单调映射。

引理： $2^{X}$ 上的单调映射有不动点。

不动点即 $a = f (a)$ ，其中 $a$ 是集合中的一个元素， $f$ 是一个映射。

证明：令 $F = {A \in 2^{X} ∣ A \subset f (A)}$ 、 $E = A \in F ⋃ A$ ，现证明 $E = f (A)$ 。 $\forall A \subset E, A \subset f (A) \subset f (E) \Rightarrow 两边同时作并集 E \subset f (E)$ ， $\Rightarrow f 是单调映射 f (E) \subset f (f (E)) \Rightarrow f (E) \subset E$ ，则 $E \subset f (E) f (E) \subset E} \Rightarrow E = f (E)$

定义：设 $A_{1} \subset A_{2} \subset X$ ， $f : A_{1} \to Y$ 、 $g : A_{2} \to Y$ 是一一映射，若 $\forall x \in A_{1}$ 有 $f (x) = g (x)$ （即在 $A_{1}$ 上 $g$ 和 $f$ 是相同的映射，且 $g$ 的定义域和值域都 $\geq f$ ），则称 $g$ 是 $f$ 在 $A_{2}$ 上的延拓， $f$ 是 $g$ 在 $A_{1}$ 上的限制。（如下图）

势的序关系： $∣ X ∣ < ∣ Y ∣$ 、 $∣ X ∣ > ∣ Y ∣$ 、 $∣ X ∣ = ∣ Y ∣$ 中有且仅有一个成立。

势是通过一一满映射定义的，要比较两个集合 $X, Y$ 的势，就要找到一个 $X$ 到 $Y$ 的一一满映射，但是这个一一满映射不一定存在，我们考虑以下情况：

存在从 $X$ 的一个子集 $M$ 到 $Y$ 上的一一映射，即 $∣ M ∣ = ∣ Y ∣ M \subset X \Rightarrow ∣ M ∣ \leq ∣ X ∣} \Rightarrow ∣ Y ∣ \leq ∣ X ∣$ （这里的 $\leq$ 是指由映射定义的序关系，而不是实数之间比大小；这里是从 $M$ 到 $Y$ 的一一映射，不要求是满映射）

存在 $X$ 到 $Y$ 的一个子集 $N$ 上的一一映射，即 $∣ X ∣ = ∣ N ∣ N \subset Y \Rightarrow ∣ N ∣ \leq ∣ Y ∣} \Rightarrow ∣ X ∣ \leq ∣ Y ∣$

证明思路：我们要做的是，对任意 $M \subset X$ 、 $N \subset Y$ ，考虑所有从 $M$ 到 $N$ 的一一映射，一直扩大 $M$ 或 $N$ ，直至从中找出满足 $M = X$ 或 $N = Y$ 时的一一映射，这样就可以证明 $∣ X ∣ \leq ∣ Y ∣$ 或 $∣ X ∣ \geq ∣ Y ∣$ 中必有一个成立，再由 $∣ X ∣ \leq ∣ Y ∣$ 且 $∣ X ∣ \geq ∣ Y ∣ \Rightarrow ∣ X ∣ = ∣ Y ∣$ ，得出 $∣ X ∣ < ∣ Y ∣$ 、 $∣ X ∣ > ∣ Y ∣$ 、 $∣ X ∣ = ∣ Y ∣$ 中有且仅有一个成立。（见下面两个定理的证明，顺序有调换）

定理： $X, Y$ 是两个集合，若 $∣ X ∣ \leq ∣ Y ∣$ 且 $∣ Y ∣ \leq ∣ X ∣$ ，则有 $∣ Y ∣ = ∣ X ∣$

证明： $∣ X ∣ \leq ∣ Y ∣ \Rightarrow \exists f : X \to Y$ 是一一映射（不一定满）， $∣ Y ∣ \leq ∣ X ∣ \Rightarrow \exists g : Y \to X$ 是一一映射（不一定满），我们的目的是找一个 $h : X \to Y$ 的一一满映射。

利用 $f$ 和 $g$ 构造 $h$ 的思路是，将 $X$ 分成 $X \ E$ 和 $E$ 两部分，其中 $X \ E$ 可以通过 $g^{- 1}$ 映射到 $Y \ f (E)$ ，而 $E$ 可以通过 $f$ 映射到 $f (E)$ ，如上图。我们要找 $E \subset X$ 满足 $X \ E = g (Y \ f (E))$ ，即 $E = X \ g (Y \ f (E))$ ，定义 $ψ : 2^{X} \to 2^{X}$ ， $ψ (A) := X \ g (Y \ f (A))$ ，如下图

则， $A \subset B \Rightarrow f (A) \subset f (B) \Rightarrow Y \ f (A) \supset Y \ f (B) \Rightarrow g (Y \ f (A)) \supset g (Y \ f (B)) \Rightarrow X \ g (Y \ f (A)) \subset X \ g (Y \ f (B))$ ，即 $ψ (A) \subset ψ (B)$ ，也就是说 $ψ$ 是单调映射，因此 $\exists E \subset X$ （ $i . e . E \in 2^{X}$ ）， $s . t . E = ψ (E) = X \ g (Y \ f (E))$ （即存在一个不动点集 $E$ ），故 $f : E \to f (E)$ 是一一满映射， $g : Y \ f (E) \to g (Y \ f (E)) = X \ E$ 是一一满映射，故 $g^{- 1} : X \ E \to Y \ f (E)$ 也是一一满映射， $h (x) = {f (x) g^{- 1} (x) x \in E x \in X \ E$

定理：设 $∣ X ∣ = α$ 、 $∣ Y ∣ = β$ ，则 $α < β$ 、 $α = β$ 、 $β < α$ 必有且仅有一个成立。

证明：只需证明 $β \leq α$ 与 $α \leq β$ 中至少有一个成立即可（见前面的证明思路）。考虑集合族 $F = {f : A \to B ∣ f 是一一满映射, A \subset X, B \subset Y}$ ，我们要找一个定义域尽量大或者值域尽量大的 $f$ ，即 $A = X$ 或 $B = Y$ 。先证明 $F$ 不是开集：对 $a \in X, b \in Y$ ，令 $f (a) = b$ ，取 $A = {a}$ 、 $B = {b}$ ，则有 $f \in F$ 。对 $f, g \in F$ ，若 $g$ 是 $f$ 的延拓，则称 $f ⪯ g$ ， ${F, ⪯}$ 是一个偏序空间，对于任意的一个 $F$ 的全序子集 $F_{I}$ ， $F_{I} = {f_{i} : A_{i} \to B_{i} ∣ f_{i} : 一一满映射, f_{i} \in F, i \in I}$ ，如下图

像这样一直扩大 $A_{i}$ 和 $B_{i}$ ，然后可以通过并集构造极大组， $f : i \in I ⋃ A_{i} \to i \in I ⋃ B_{i}$ ，对任意 $x \in i \in I ⋃ A_{i}$ ， $\exists i \in I$ ， $s . t . x \in A_{i}$ ，令 $f (x) = f_{i} (x)$ ，显然， $f$ 是每个 $f_{i}$ 在 $i \in I ⋃ A_{i}$ 上的延拓， $f \in F$ ，且 $f$ 是 $F_{I}$ 是上界，由Zorn引理可知， $F$ 有极大元 $g$ ，且 $g : M \to N$ 是一一满映射（因为 $F$ 的定义），其中 $M \subset X, N \subset Y$ ，故 $∣ M ∣ = ∣ N ∣$ 。现证明 $M \neq = X$ 、 $N \neq = Y$ 不能同时成立，用反证法，若有 $a \in X \ M$ 、 $b \in Y \ N$ ，则令 $h (x) = {g (x) b, x \in M, x = a$ ，即 $h : M \cup {a} \to N \cup {b}$ 的一一满映射， $h \in F$ ， $g ≺ h$ ，与 $g$ 是一个极大元矛盾，所以有两种可能： $M = X \Rightarrow ∣ X ∣ = ∣ M ∣ = ∣ N ∣ \leq ∣ Y ∣$ （ $N \subset Y$ ），或 $N = Y \Rightarrow$ （ $X \supset M$ ） $∣ X ∣ \geq ∣ M ∣ = ∣ N ∣ = ∣ Y ∣$

二、勒贝格(Lebesgue)测度

1. Lebesgue外测度

我们希望对于一个 $Ω \subset R^{n}$ 可以指定一个非负实数 $m (Ω) \geq 0$ ，即，对于 $Ω \subset R^{n}$ ， $Ω$ 的长度/面积/体积等，统称为测度。比如： $m ([0, 1]^{2}) = 1 \times 1 = 1$ 、 $m ((0, \infty)^{2}) = \infty$ 、 $m (B (o, r)) = π r^{2}$ .

我们希望这样的测度 $m : 2^{R^{n}} \to R_{+} \cup {\infty}$ （其中 $R_{+}$ 是指非负实数）可以满足如下条件：

（1）对于矩体 $I = \prod_{i = 1}^{n} [a_{i}, b_{i}]$ ， $m (I) = (b_{1} - a_{1}) \times (b_{2} - a_{2}) \times \dots \times (b_{n} - a_{n})$ ；

（2）可列可加性：若 ${E_{n}}$ 是互不相交集合列，则有 $m (\cup E_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} m (E_{n})$ ；

（3）平移不变性： $y + E = {x + y ∣ x \in E}$ ， $m (y + E) = m (E)$ ；

其中 $y + E$ 在部分教材中写作 ${y} + E$ ，在二维平面中就是区域 $E$ 沿着向量 $y$ 的方向和长度作平移，比如 $[a, b] + x = [a + x, b + x]$ 、 $B (0, r) + y = B (y, r)$ .

这些都是在平面或三维空间中对图形的一些基本要求，但是这样的测度并不能对每一个 $E \subset R^{n}$ 都存在，如果想对每个 $E \subset R^{n}$ 都有测度，可以适当地降低前面的要求，比如说把（2）改为 $m (\cup E_{n}) \leq \sum_{n = 1}^{\infty} m (E_{n})$ ，这样就可以得出其他的测度，但是如果这样改，以后就无法定义类似积分的东西了（因为黎曼和要求每个小区域面积累加后等于总区域面积，但这样定义的测度不满足）。

本章讨论的Lebesgue外测度不具备可列可加性，但是添加了条件的Lebesgue测度可以具有可列可加性。

定义：对 $R^{n}$ 中的开矩体 $I = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) ∣ a_{i} < x < b_{i}, i = 1, 2, \dots, n} = \prod_{i = 1}^{n} (a_{i}, b_{i})$ ，定义这个开矩体的体积为 $∣ I ∣ = \prod_{i = 1}^{n} (b_{i} - a_{i})$ .（ $b_{i} - a_{i}$ 是边长，所以体积非负）

定义：设 $E \subset R^{n}$ ，若 ${I_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ 是 $R^{n}$ 中一列开矩体，且是 $E$ 的一个覆盖，那么它确定了一个非负实数（可以是 $\infty$ ） $u = \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ I_{k} ∣$ ，则 $m^{*} (E) = in f {u ∣ u = \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ I_{k} ∣, I_{k} 是开矩体}$ ，称 $m^{*} (E)$ 为集合 $E$ 的Lebesgue外测度，简称外测度。

定理： $R^{n}$ 中的点集的外测度具有以下性质：

（1）非负性： $m^{*} (E) \geq 0$ ， $m^{*} (\emptyset) = 0$ ；

（2）单调性：若 $E_{1} \subset E_{2}$ ，则 $m^{*} (E_{1}) \leq m^{*} (E_{2})$ ；

（3）次可加性： $m^{*} (k = 1 ⋃ \infty E_{k}) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (E_{k})$ ；（ $E_{k}$ 可以相交）

（4）平移不变性： $m^{*} (E + y) = m^{*} (E)$ （ $\forall y \in R^{n}$ ），其中 $E + y = {x + y ∣ x \in E}$ ；

证明：(1)可由定义直接得出。(2)的证明：当 $E_{1} \subset E_{2}$ 时， $E_{2}$ 的任一开矩列覆盖也是 $E_{1}$ 的一个覆盖，由外测度的定义可得(2)。

(3)的证明：不妨设 $\sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (E_{k}) < \infty$ ，对于任意的 $ϵ > 0$ ， $k \in N$ ，存在 $E_{k}$ 的一个开矩列覆盖 ${I_{k, j}}_{j = 1}^{\infty}$ ，使得 $E_{k} \subset j = 1 ⋃ \infty I_{k, j}$ ，且 $\sum_{j = 1}^{\infty} ∣ I_{k, j} ∣ \leq m^{*} (E_{k}) + \frac{ϵ}{2 ^{k}}$ （即 $m^{*} (E_{k})$ 只需加一个任意小的数就能比 $\sum_{j = 1}^{\infty} ∣ I_{k, j} ∣$ 大，也就是说 $\sum_{j = 1}^{\infty} ∣ I_{k, j} ∣$ 只比 $m^{*} (E_{k})$ 大一点点），由此可见 $k = 1 ⋃ \infty E_{k} \subset k, j = 1 ⋃ \infty I_{k, j}$ ， $\sum_{k, j = 1}^{\infty} ∣ I_{k, j} ∣ \leq \sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (E_{k}) + ϵ$ ，也就是说 ${I_{k, j}}_{k, j = 1}^{\infty}$ 是 $k = 1 ⋃ \infty E_{k}$ 的一个开覆盖，故 $m^{*} (k = 1 ⋃ \infty E_{k}) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (E_{k}) + ϵ$ ，由 $ϵ$ 的任意性可得(3)。

(4)的证明：因为矩体在平移下体积不变，故对任意的矩体 $I$ ，有 $∣ I + x ∣ = ∣ I ∣$ ，于是对 $E$ 的任意覆盖 ${I_{k}}$ ，经平移后 ${I_{k} + x}$ 是 $E + x$ 的一个覆盖，从而 $m^{*} (E + x) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ I_{k} + x ∣ \leq \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ I_{k} ∣$ ，根据 $E$ 的外测度定义得， $m^{*} (E + x) \leq m^{*} (E)$ ；反之，考虑将集合 $E + x$ 作平移 $- x$ ，可得点集 $E$ ，因而有 $m^{*} (E) \leq m^{*} (E + x)$ ；故 $m^{*} (E + x) = m^{*} (E)$ ，得证。

例1：单点集和可数点集的外测度为0，即 $m^{*} ({x}) = 0$ ， $m^{*} ({x_{k}}_{k = 1}^{\infty}) = 0$ .（比如有理数集是可列集，所以外测度是 $0$ ）

例2：考虑 $n - 1$ 维超平面矩体 $E = {x = (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{i - 1}, t, ξ_{i + 1}, \dots, ξ_{n}) ∣ a_{j} \leq ξ_{j} \leq b_{j}, j \neq = i}$ ，则有 $m^{*} (E) = 0$ 。比如在 $R^{2}$ ， $x$ 轴上的 $(0, 1)$ 区间这条线段，若用一个矩形覆盖，那么由于矩形高度趋于零，所以矩形面积也趋于零。

例3： $[0, 1]$ 中的Cantor集 $C$ 的外测度是零，因为 $C = n = 1 ⋂ \infty F_{n}$ ，其中 $F_{n}$ 是 $2^{n}$ 个长度为 $3^{- n}$ 的闭区间的并集，所以 $m^{*} (C) \leq m^{*} (F_{n}) \leq 2^{n} 3^{- n}$ ，令 $n \to \infty$ ，则 $m^{*} (C) = 0$ .

注意：外测度没有（有限）可加性，也没有可列可加性。若有（有限）可加性（对任意互不相交的点集 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ ，有 $m^{*} (j = 1 ⋃ n E_{j}) = \sum_{j = 1}^{n} m^{*} (E_{j})$ ），则可以推出可列可加性（ $m^{*} (j = 1 ⋃ \infty E_{j}) = \sum_{j = 1}^{\infty} m^{*} (E_{j})$ ），推导过程： $∵ m^{*} (j = 1 ⋃ \infty E_{j}) \geq m^{*} (j = 1 ⋃ n E_{j}) = 可加性 \sum_{j = 1}^{n} m^{*} (E_{j}) \to n \to \infty \sum_{j = 1}^{\infty} m^{*} (E_{j})$ ，又 $∵ m^{*} (j = 1 ⋃ \infty E_{j}) \leq \sum_{j = 1}^{\infty} m^{*} (E_{j})$ （次可加性）， $∴ m^{*} (j = 1 ⋃ \infty E_{j}) = \sum_{j = 1}^{\infty} m^{*} (E_{j})$ ，然而外测度不具备（可列）可加性，下面通过举例说明：

对任意的 $x \in (0, 1)$ ，定义 $L_{x} = {ξ \in (0, 1) ∣ ξ - x \in Q} = (x + Q) \cap (0, 1)$ ，易知 $x \in L_{x}$ ， $L_{x} \neq = \emptyset$ ，且有 $L_{x} \cap L_{y} \neq = \emptyset \Leftrightarrow \exists ξ \in L_{x} \cap L_{y} \Leftrightarrow \exists q_{1}, q_{2} \in Q, s . t . ξ = x + q_{1} = y + q_{2} \Leftrightarrow x - y = q_{2} - q_{1} \in Q$ （有理数的差仍是有理数） $\Leftrightarrow L_{x} = L_{y}$ ，也就是说 $L_{x}, L_{y}$ 要么不相交，要么相等（如 $L_{2} \neq = L_{3}$ ， $L_{0} = Q = L_{1.2}$ ），这样就可以把 $(0, 1)$ 分解成一些互不相交的 $L_{x}$ 的并集，根据选择公理，可以对每一个 $L_{x}$ 从中任意选取一个点构成一个集合 $S$ ，则 $S \subset (0, 1)$ ，另外再定义一个集合 ${r_{i}}_{i = 1}^{\infty}$ 是 $(- 1, 1)$ 中的有理数全体（即 ${r_{i}}_{i = 1}^{\infty} = (- 1, 1) \cap Q$ ），根据这两个集合可以定义 $S_{k} := {x + r_{k} ∣ x \in S} = S + r_{k}$ ，它是 $S$ 的平移，因此有 $S_{k} \subset (- 1, 2)$ ，易知，若 $k \neq = j$ 则 $S_{k} \cap S_{j} = \emptyset$ （反证法，假设 $\exists ξ \in S_{k} \cap S_{j}$ ，则 $\exists x, y \in S, s . t . ξ = x + r_{k} = y + r_{j}$ ，即 $x - y = r_{j} - r_{k} \in Q$ ，也就是说 $L_{x} = L_{y}$ ，由于 $x, y \in S$ 是由互不相交的点构成的，所以 $L_{x}$ 不可能等于 $L_{y}$ ，矛盾），同时又可以验证 $(0, 1) \subset n = 1 ⋃ \infty S_{n}$ （证明： $\forall x \in (0, 1)$ 有 $x \in L_{x}$ ，令 ${y} = L_{x} \cap S$ ，存在一个 $q \in Q$ 使得 $y = x + q$ ，且 $q = y - x \in (- 1, 1) \cap Q$ ，也就是说存在一个 $r_{n}$ 使得 $q = r_{n}$ ，代入得 $y = x + r_{n} \in S_{n} \Rightarrow (0, 1) \subset \cup S_{n}$ ），于是我们有 $(0, 1) \subset n = 1 ⋃ \infty S_{n} \subset (- 1, 2)$ ，且 $S_{1}, S_{2}, \dots$ 互不相交，且都是 $S$ 的平移，如果外测度有可列可加性，则 $1 = m^{*} ((0, 1)) \leq m^{*} (n = 1 ⋃ \infty S_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} m^{*} (S_{n}) \leq m^{*} (- 1, 2) = 3$ ，且 $m^{*} (S_{n}) = m^{*} (S)$ （ $\forall n$ ，因为是平移），也就是说 $\sum_{n = 1}^{\infty} m^{*} (S) = \infty \cdot m^{*} (S)$ 显然不可能小于等于 $3$ 。类似的，可证外测度无有限可加性。

命题：对于任意的开矩体 $I$ ，总有 $m^{*} (\overline{I}) = m^{*} (I) = ∣ I ∣$ 。（ $\overline{I}$ 指 $I$ 的闭包，即把边界也计算进去）

很显然，但严格证明要用有限覆盖定理。

2. Lebesgue可测集

定义：对于某些集合，外测度不具备可加性，我们把这些集合排除在外，称为不可测集，剩下的集合称为可测集。用数学语言描述就是，设 $E \subset R^{n}$ ，若 $\forall T \subset R^{n}$ ，有 $m^{*} (T) = m^{*} (T \cap E) + m^{*} (T \cap E^{c})$ ，则称 $E$ 是Lebesgue可测集，简称可测集。可测集的全体记为 $M$ ，称为 $R^{n}$ 的可测类。当 $E \in M$ 时， $m^{*} (E)$ 称为 $E$ 的测度，简记为 $m (E)$ .

可测集的定义中，任意的 $T$ 不好选取，因此有与之等价的定义：对任意的矩体 $I$ 有 $m^{*} (I) = m^{*} (I \cap E) + m^{*} (I \cap E^{c})$ ，虽然这个等价定义简化了，但是实际上依然无法操作，一般只用作证明。

可测集等价定义的证明：对任意的 $ϵ > 0$ ，存在可列矩体列 ${I_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ ，使得 $k = 1 ⋃ \infty I_{k} \supset T$ ， $m^{*} (T) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ I_{k} ∣ \leq m^{*} (T) + ϵ$ ，则 $(k = 1 ⋃ \infty I_{k}) \cap E \supset (T \cap E)$ ， $(k = 1 ⋃ \infty I_{k}) \cap E^{c} \supset (T \cap E^{c})$ ，即

$m^{*} (T \cap E) + m^{*} (T \cap E^{c}) \leq m^{*} ((k = 1 ⋃ \infty I_{k}) \cap E) + m^{*} ((k = 1 ⋃ \infty I_{k}) \cap E^{c}) = m^{*} (k = 1 ⋃ \infty (I_{k} \cap E)) + m^{*} (k = 1 ⋃ \infty (I_{k} \cap E^{c})) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} (m^{*} (I_{k} \cap E) + m^{*} (I_{k} \cap E^{c})) = \sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (I_{k}) = \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ I_{k} ∣ < m^{*} (T) + ϵ （这是条件 m^{*} (I) = m^{*} (I \cap E) + m^{*} (I \cap E^{c}) ）$

，令 $ϵ \to 0$ ，得 $m^{*} (T \cap E) + m^{*} (T \cap E^{c}) \leq m^{*} (T)$ ，又因为 $T$ 可以写成 $T = (T \cap E) \cup (T \cap E^{c})$ ， $m^{*} (T) \leq m^{*} (T \cap E) + m^{*} (T \cap E^{c})$ ，故 $m^{*} (T) = m^{*} (T \cap E) + m^{*} (T \cap E^{c})$ .

定理：若 $m^{*} (E) = 0$ ，则 $E \in M$ ，即外测度是 $0$ 的集合是可测集。

证明：由 $T \cap E \subset E$ ， $T \cap E^{c} \subset T$ 可得 $m^{*} (T \cap E) + m^{*} (T \cap E^{c}) \leq m^{*} (E) + m^{*} (T) = m^{*} (T)$ .

定理： $R^{n}$ 中的开矩体 $I \in M$ ， $m (I) = ∣ I ∣$ .（开矩体是可测集）（实际上半开半闭矩体也是可测集，但这里没有证明）

证明：只需验证对于每一个开矩体 $J$ ， $m^{*} (J) = m^{*} (J \cap I) + m^{*} (J \cap I^{c})$ 。由于 $J \cap I$ 仍是开矩体，于是有 $m^{*} (J \cap I) = ∣ I \cap J ∣$ （前面的命题已说明），而对于 $J \cap I^{c} = J \ (J \cap I)$ ，有 $m^{*} (J \cap I^{c}) = ∣ J ∣ - ∣ J \cap I ∣$ （ $J \cap I^{c}$ 是一个半开半闭的矩体，结论和前面的命题相同，严格的证明自行查书），所以 $m^{*} (J) = ∣ J ∣ = ∣ J \cap I ∣ + (∣ J ∣ - ∣ J \cap I ∣) = m^{*} (J \cap I) + m^{*} (J \cap I^{c}) \Rightarrow I \in M$ .

定理：可测集的性质：

（1） $\emptyset \in M$ ， $m (\emptyset) = 0$ ；

（2）若 $E \in M$ ，则 $E^{c} \in M$ ；

（3）若 $E, F \in M$ ，则 $E \cup F$ 、 $E \cap F$ 、 $E \ F$ 都 $\in M$ ；

（4）可列可加性，若 $E_{j} \in M$ ， $j = 1, 2, \dots$ ，则 $n = 1 ⋃ \infty E_{j} \in M$ ；若还有 $E_{i} \cap E_{j} = \emptyset$ （ $i \neq = j$ ），则 $m (j = 1 ⋃ \infty E_{j}) = \sum_{j = 1}^{\infty} m (E_{j})$ ,

这个定理告诉我们，可测集类关于（可列）交、（可列）并和补的运算是封闭的，即 $M$ 是一个 $σ$ 代数，根据前面的定理（ $R^{n}$ 中任意非空开集 $O$ 可表示为至多可数个互不相交的 $n$ 维半开矩体的并集，开矩体是可测集、半开半闭矩体也是可测集、可测集性质）知，由开集生成的Borel $σ$ 代数 $B \subset M$ ，即Borel集是Lebesgue可测集。

(1)(2)显然成立，现证明(3)。只需证明 $E \cup F$ 是可测集，其他两个可以由德摩根法则和 $E \ F = E \cap F^{c}$ 得出。对任意的点集 $T$ ，

$m^{*} (T) \leq m^{*} (T \cap (E \cup F)) + m^{*} (T \cap (E \cup F)^{c}) = m^{*} (T \cap (E \cup F)) + m^{*} (T \cap E^{c} \cap F^{c}) \leq m^{*} (T \cap (E \cup F)) + m^{*} ((T \cap E^{c}) \cap F^{c}) \leq m^{*} ((T \cap E) \cap F) + m^{*} ((T \cap E) \cap F^{c}) + m^{*} ((T \cap E^{c}) \cap F) + m^{*} ((T \cap E^{c}) \cap F^{c}) = m^{*} (T \cap E) + m^{*} (T \cap E^{c}) = E 是可测集 m^{*} (T)$

，故 $\forall T$ 有 $m^{*} (T) = m^{*} (T \cap (E \cup F)) + m^{*} (T \cap (E \cup F)^{c}) \Rightarrow E \cup F \in M$ .（实际上可列个的情况下性质(3)也成立）

(4)的证明：设集合 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{k}, \dots$ 是一列互不相交的可测集，由 $E_{1}$ 的可测性，对任意点集 $T$ ，有

$m^{*} (T \cap (E_{1} \cup E_{2})) = m^{*} (T \cap (E_{1} \cup E_{2}) \cap E_{1}) + m^{*} (T \cap (E_{1} \cup E_{2}) \cap E_{1}^{c}) \Rightarrow m^{*} (T \cap (E_{1} \cup E_{2})) = E_{1} \cap E_{2} = \emptyset m^{*} (T \cap E_{1}) + m^{*} (T \cap E_{2}) \Rightarrow 数学归纳法 m^{*} (T \cap (j = 1 ⋃ k E_{j})) = \sum_{j = 1}^{k} m^{*} (T \cap E_{j})$

再引入记号 $S := j = 1 ⋃ \infty E_{j}$ 、 $S_{k} := j = 1 ⋃ k E_{j}$ ， $k = 1, 2, \dots$ ，则根据前面的结论可知 $S_{k} \in M$ ，

$m^{*} (T) = m^{*} (T \cap S_{k}) + m^{*} (T \cap S_{k}^{c}) = 可加性 \sum_{j = 1}^{k} m^{*} (T \cap E_{j}) + m^{*} (T \cap S_{k}^{c}) \geq \sum_{j = 1}^{k} m^{*} (T \cap E_{j}) + m^{*} (T \cap S^{c}) \geq \sum_{j = 1}^{\infty} m^{*} (T \cap E_{j}) + m^{*} (T \cap S^{c}) \geq m^{*} (T \cap S) + m^{*} (T \cap S^{c}) \Rightarrow S \in M (∵ S_{k} \subset S, T \cap S_{k}^{c} \supset T \cap S^{c}) (当 k \to \infty 时) (次可加性)$

$m^{*} (T) \geq \sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (T \cap E_{k}) + m^{*} (T \cap S^{c}) \Rightarrow m^{*} (T \cap S) \geq \sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (T \cap S \cap E_{k}) + m^{*} (T \cap S \cap S^{c}) \Rightarrow m^{*} (T \cap S) \geq \sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (T \cap E_{j}) (前面结论) (用 T \cap S 替换 T) (∵ m^{*} (T \cap S \cap S^{c}) = 0, 且 \forall j 有 E_{j} \subset S)$

结合次可加性，所以 $m^{*} (T \cap S) = \sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (T \cap E_{j})$ ，再令 $T = R^{n}$ ，得 $m^{*} (S) = \sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (E_{j})$ .

前面假设 $E_{j}$ 之间互不相交有性质4，而我们可以通过如下方法构造一组互不相交的集合：对于一般的可测集 ${E_{i}}$ ，令 $F_{1} = E_{1}$ ， $F_{k} = E_{k} \ (i = 1 ⋃ k - 1 E_{i})$ （ $k = 2, 3, \dots$ ），这样构造出来的 ${F_{k}}$ 就是互不相交的，且 $⋃ E_{k} = ⋃ F_{k} \in M$ ，所以即使是相交的可测集，它们的并仍是可测集。

推论：若 $E_{j} \in M$ ， $j = 1, 2, \dots$ ，则 $k = 1 ⋂ \infty E_{k} \in M$ .

性质（4）通过德摩根法则可直接得出。

定理：若有递增可测集列 $E_{1} \subset E_{2} \subset \dots \subset E_{k} \subset \dots$ ，则 $k \to \infty lim E_{k} \in M$ ，且 $m (k \to \infty lim E_{k}) = k \to \infty lim m (E_{k})$ .

证明： $k \to \infty lim E_{k} = k = 1 ⋃ \infty E_{k} \in M$ ，我们有 $k = 1 ⋃ \infty E_{k} = k = 1 ⋃ \infty (E_{k} \ E_{k - 1})$ （规定 $E_{0} = \emptyset$ ）， ${E_{k} \ E_{k - 1}}_{k = 1}^{\infty}$ 是互不相交的可测集列，由于 $E_{k - 1}$ 与 $E_{k} \ E_{k - 1}$ 互不相交， $m (E_{k - 1}) + m (E_{k} \ E_{k - 1}) = m (E_{k - 1} \cup (E_{k} \ E_{k - 1})) = m (E_{k})$ ，故 $m (E_{k} \ E_{k - 1}) = m (E_{k}) - m (E_{k - 1})$ ，由测度的可列可加性， $m (k \to \infty lim E_{k}) = m (k = 1 ⋃ \infty (E_{k} \ E_{k - 1})) = \sum_{k = 1}^{\infty} m (E_{k} \ E_{k - 1}) = \sum_{k = 1}^{\infty} (m (E_{k}) - m (E_{k - 1})) = k \to \infty lim m (E_{k})$ .

推论：若 $E_{1} \supset E_{2} \supset \dots \supset E_{k} \supset \dots$ 是递减可测集列，且 $m (E_{1}) < \infty$ ，则 $m (k \to \infty lim E_{k}) = k \to \infty lim m (E_{k})$ .

证明：令 $F_{k} = E_{1} \ E_{k}$ ，则 $F_{k} \subset F_{k + 1}$ 是一列递增的可测集列，由前面的定理知 $k \to \infty lim F_{k} \in M$ ，且 $m (k \to \infty lim F_{k}) = k \to \infty lim m (F_{k})$ ，因此 $k \to \infty lim (E_{1} \ E_{k}) = E_{1} \ k \to \infty lim E_{k} \in M \Rightarrow k \to \infty lim E_{k} \in M$ ， $m (k \to \infty lim F_{k}) = m (E_{1} \ k \to \infty lim E_{k}) = m (E_{1}) - m (k \to \infty lim E_{k}) k \to \infty lim m (F_{k}) = k \to \infty lim (m (E_{1}) - m (E_{k})) = m (E_{1}) - k \to \infty lim m (E_{k}) m (k \to \infty lim F_{k}) = k \to \infty lim m (F_{k}) ⎭ ⎬ ⎫ \Rightarrow m (E_{1}) < \infty m (k \to \infty lim E_{k}) = k \to \infty lim m (E_{k})$ ，其中要求 $m (E_{1}) < \infty$ 是为了避免出现 $\infty - \infty$ 的情况。

定理：若 $E \in M$ ，则 $E + x \in M$ ， $\forall x \in R^{n}$ .

证明：易知 $(E + x)^{c} = E^{c} + x$ ，且对任意 $T \subset R^{n}$ ，易知 $T \cap (E + x) = ((T - x) \cap E) + x$ ，因此

$m^{*} (T \cap (E + x)) + m^{*} (T \cap (E + x)^{c}) = m^{*} (((T - x) \cap E) + x) + m^{*} (((T - x) \cap E^{c}) + x) = m^{*} ((T - x) \cap E) + m^{*} ((T - x) \cap E^{c}) = m^{*} (T - x) = m^{*} (T) (外测度的平移不变性)$

因此 $E + x \in M$ .

定理：对任意的 $E \in M$ ，存在Borel集 $F$ 、 $G$ ，使得 $F \subset E \subset G$ ， $m (F) = m (E) = m (G)$ .

证明：首先设 $m (E) < \infty$ ，则对任意的 $k \in N$ ，存在开矩体列 ${I_{j}^{(k)}}_{j = 1}^{\infty}$ （其中 $k = 1, 2, \dots$ ），满足 $j = 1 ⋃ \infty I_{j}^{(k)} \supset E$ ， $\sum_{j = 1}^{\infty} ∣ I_{j}^{(k)} ∣ - \frac{1}{k} \leq m (E) \leq \sum_{j = 1}^{\infty} ∣ I_{j}^{(k)} ∣$ （其中 $\frac{1}{k}$ 是一个很小的量，表示开矩体列的测度无限接近 $m (E)$ ），令 $G_{k} = j = 1 ⋃ \infty I_{j}^{(k)}$ ，则 $G_{k}$ 是开集，且 $G_{k} \supset E$ ，考虑到 $I_{j}^{(k)}$ 之间有可能相交，于是有 $m (G_{k}) - \frac{1}{k} \leq \sum_{j = 1}^{\infty} ∣ I_{j}^{(k)} ∣ - \frac{1}{k} \leq m (E) \leq m (G_{k})$ ，故 $m (G_{k} \ E) = m (G_{k}) - m (E) \leq \frac{1}{k}$ ，令 $G = k = 1 ⋂ \infty G_{k}$ ，则 $G$ 是 $G_{δ}$ 型Borel集，且 $E \subset G$ （因为 $G_{k} \supset E$ ，即每个 $G_{k}$ 都包含 $E$ ，取交集后仍包含 $E$ ），由 $m (G \ E) \leq m (G_{k} \ E) \leq \frac{1}{k}$ ，可知 $m (G \ E) = 0$ ，即 $m (G) = m (E)$ ，这样就找到了 $G$ ，接下来找 $F$ 。如果 $E$ 有界，则存在闭矩体 $J \supset E$ ，记 $S = J \ E$ ， $m (S) = ∣ J ∣ - m (E)$ ，由前面证明可知，存在 $G_{δ}$ 型集 $G \supset S$ ，满足 $m (G) = m (S)$ ，令 $F = J \cap G^{c}$ ，则 $F$ 是 $F_{σ}$ 型Borel集，且 $F \subset E$ （画图就知道了），故 $m (F) \leq m (E)$ ，又有 $m (F) = m (J \ G) \geq ∣ J ∣ - m (G) = ∣ J ∣ - m (S) = m (E)$ ，即得 $m (F) = m (E)$ .

前面只证明了 $E$ 有界的情况，如果 $E$ 无界，则存在递增开矩体列 ${I_{k}}$ ，使得 $R^{n} = k = 1 ⋃ \infty I_{k} \supset E$ ，令 $E_{k} = E \cap I_{k}$ ，因为 $I_{k}$ 递增，所以 ${E_{k}}$ 是递增可测集列，且由于每个 $I_{k}$ 都有界，所以 $E_{k}$ 也有界，于是 $E = E \cap k = 1 ⋃ \infty I_{k} = k = 1 ⋃ \infty E_{k}$ ，对任意的 $E_{k}$ ，存在Borel集 $G_{k}$ 、 $F_{k}$ ，使得 $F_{k} \subset E_{k} \subset G_{k}$ ， $m (F_{k}) = m (E_{k}) = m (G_{k})$ ，令 $F = k = 1 ⋃ \infty F_{k}$ 、 $G = k = 1 ⋃ \infty G_{k}$ ，则 $F$ 和 $G$ 都是Borel集，且 $F \subset E \subset G$ ，因为 $G \ E \subset k = 1 ⋃ \infty (G_{k} \ E_{k})$ 、 $E \ F \subset k = 1 ⋃ \infty (E_{k} \ F_{k})$ ，而 $m (G_{k} \ E_{k}) = m (E_{k} \ F_{k}) = 0$ （前面已证明过 $m (G_{k} \ E) = 0$ ，这里类似）， $m (G \ E) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} m (G_{k} \ E_{k}) = 0$ ，同理 $m (E \ F) = 0$ （也就是说可测集和Borel集相差一个零测集），所以 $m (F) = m (E) = m (G)$ .

3. 测度空间

前面通过开矩体的覆盖定义了外测度，然后通过外测度定义了测度，但是对于一般的空间也有测度，而且可以不通过开矩体来定义，这里用前面可测集的性质为基本假设来引入抽象的测度。

定义：设 $X$ 为非空集， $F \subset 2^{X}$ ，即 $F$ 是 $X$ 的一个 $σ$ 代数，我们称 $(X, F)$ 为一个可测空间，每个集合 $A \in F$ 称为 $F$ 可测集。若集函数 $μ : F \to [0, \infty]$ 具有以下性质：

（1） $μ (\emptyset) = 0$ ；

（2）若 $A_{n} \in F$ （其中 $n = 1, 2, \dots$ ），且 $A_{n}$ 互不相交，有 $μ (n ⋃ A_{n}) = \sum_{n} μ (A_{n})$ ；（可加性）

则称 $μ$ 为 $(X, F)$ 上的一个测度，称三元组 $(X, F, μ)$ 为测度空间。若测度 $μ$ 还满足：若 $B \subset A \in F$ ， $μ (A) = 0$ ，则 $B \in F$ ，则称 $μ$ 是完备测度， $(X, F, μ)$ 是完备测度空间。

一些常见的名词：设 $(X, F, μ)$ 是测度空间：

若 $μ (X) < \infty$ ，则称为有限测度
若 $μ (X) = 1$ ，则称为概率测度，同时 $(X, F, μ)$ 被称为概率测度空间
对 $A \in F$ ， $\exists A \in F$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），使得 $A = n ⋃ A_{n}$ ，且 $μ (A_{n}) < \infty$ ，则称 $A$ 具有 $σ$ 有限测度

例1： $(R^{n}, M, m)$ 就是Lebesgue测度空间

例2： $(R^{n}, M, p)$ 是概率测度空间，其中 $p (A) = \frac{1}{( 2 π ) ^{\frac{n}{2}}} \int_{A} e^{- \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{n} x_{j}^{2}} d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n}$

例3：对于 $(X, 2^{X}, μ)$ ，其中 $μ$ 为计数测度，若 $μ (A) = ∣ A ∣$ 则称 $A$ 是有限集，若 $μ (A) = \infty$ 则称 $A$ 是无限集，由于 $μ (A) = 0 \Leftrightarrow A = \emptyset$ ，所以 $μ$ 是 $X$ 上的完备测度，当且仅当 $X$ 是可列集时 $μ$ 是 $σ$ 有限测度

例4： $(X, 2^{X}, ν)$ ，其中 $ν (A) = χ_{A} (x)$ （ $\forall A \subset X$ ， $χ_{A} (x)$ 是特征函数，且 $x$ 是一个常数），则 $ν$ 是 $X$ 上的完备测度，称它为元 $x$ 处的Dirac测度，记作 $δ_{x}$ .（ $ν (A) = χ_{A} (x)$ 的含义就是，固定一个 $x$ ，对于不同的 $A$ ，如果 $A$ 不包含 $x$ ，则测度为0，如果 $A$ 包含 $x$ ，则测度为1）

例5：若 $(X, F, μ)$ 是测度空间， $f : X \to Y$ 是一一满映射，令 $G = {f (A) ∣ A \in F}$ ， $ν (B) = μ (f^{- 1} (B))$ （ $\forall B \in G$ ），则 $(Y, G, ν)$ 是一个测度空间.（就是通过 $f$ 将 $A$ 映射到 $B$ ， $A \in F$ ， $B \in G$ ，规定 $B$ 在 $G$ 里的测度 $ν (B)$ 等于 $A$ 在 $F$ 里的测度 $μ (A) = B = f (A) μ (f^{- 1} (B))$ ，这样就可以通过一个测度空间得到另一个新的测度空间了）

定理：设 $(X, F, μ)$ 是测度空间，则测度 $μ$ 具有以下性质：

（1）单调性：若 $A_{1} \subset A_{2}$ ，则 $μ (A_{1}) \leq μ (A_{2})$ ；

（2）次可加性： $μ (k = 1 ⋃ \infty A_{k}) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} μ (A_{k})$ ；

（3）上连续性：若 ${A_{k}} \subset F$ 是一升列，则 $μ (k = 1 ⋃ \infty A_{k}) = n \to \infty lim μ (A_{n})$ ；

（4）下连续性：若 ${A_{k}} \subset F$ 是一降列，且 $μ (A_{1}) < \infty$ ，则 $μ (k = 1 ⋂ \infty A_{k}) = n \to \infty lim μ (A_{n})$ ；

证明和可测集中对应的性质类似，略。

4. Lebesgue可测函数

之前我们一直希望测度具有可加性，为的是可以定义一种新的积分。因为以前的黎曼积分有很多限制，比如：

有些函数不是黎曼可积，如 $f (x) = {10, x \in R \ Q, x \in Q$ ；连续函数的极限不一定是连续函数，如 $f_{n} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{x}{n} 1, x < 0, 0 \leq x \leq \frac{1}{n}, x > \frac{1}{n}$

由于可测函数类比黎曼可积函数类大得多，且可测函数类在极限运算下是封闭的，我们考虑对可测函数定义积分，但首先我们要先了解可测函数。

定义：设 $E \subset R^{n}$ ， $E \in M$ ， $f : E \to \overline{R}$ （其中 $\overline{R} = R \cup {\pm \infty}$ ， $f$ 是广义实值函数），若 $\forall t \in R$ ， $E (f > t) := {x \in E ∣ f (x) > t}$ 是可测的，则称 $f$ 是 $E$ 上的Lebesgue可测函数，简称为 $E$ 上的可测函数，也说 $f$ 在 $E$ 上是可测的，并将 $E$ 上的可测函数的全体记作 $M (E)$ .

比如，常数函数 $f (x) \equiv c$ 是可测函数， $∵ E (f > t) = {E \emptyset, t < c, t \geq c$ （因为如果 $c > t$ 那就全部都能取到，如果 $c < t$ 就全都不能取到），而 $E$ 是可测集（定义给出）， $\emptyset$ 也是可测集， $∴ f (x)$ 是可测函数.

再比如， $A \subset E$ ， $f (x) = χ_{A} (x)$ ，则 $E (f > t) = ⎩ ⎨ ⎧ E A \emptyset, t < 0, 0 \leq t < 1, t \geq 1$ （特征函数最小值是0，如果 $t$ 小于零则 $f > t$ 一定能全部取到，同理 $t \geq 1$ 时不可能取到， $0 \leq t \leq 1$ 时，只有 $A$ 的部分是大于 $t$ 的，以一维下的情况举例，见下图），故 $A \in M \Leftrightarrow f \in M (E)$ ，也就是说 $f$ 是否为可测函数取决于 $A$ 是否为可测集.

定理：设 $E \subset R^{n}$ ， $E \in M$ ， $f : E \to \overline{R}$ 。则（1）的右端与后面的条件等价：

（1） $f \in M (E) \Leftrightarrow d e f E (f > t) \in M$ （ $\forall t \in R$ ）；

（2） $E (f \geq t) \in M$ （ $\forall t \in R$ ）；

（3） $E (f < t) \in M$ （ $\forall t \in R$ ）；

（4） $E (f \leq t) \in M$ （ $\forall t \in R$ ）；

也就是说可以把定义中 $E (f > t)$ 的符号换成 $\geq$ 、 $<$ 、 $\leq$ .

证明：比如(2)， $E (f \geq t) = k = 1 ⋂ \infty E (f > t - \frac{1}{k})$ ，根据 $E (f > t)$ 是可测集，所以 $E (f > t - \frac{1}{k})$ 也是可测集（ $t - \frac{1}{k}$ 无限逼近 $t$ ），根据可测集的可列交仍是可测集，故右端是可测集，所以 $E (f \geq t)$ 也是可测集。而 $E (f < t) = E \ E (f \geq t)$ ，根据可测集性质3知 $E (f < t)$ 也是可测集， $E (f \leq t) = k = 1 ⋂ \infty E (f > t + \frac{1}{k})$ 、 $E (f > t) = E \ E (f \leq t)$ 同理。

由 $E (f = \infty) = n = 1 ⋂ \infty E (f > n)$ 、 $E (f = - \infty) = n = 1 ⋂ \infty E (f < - n)$ 可知， $E (f = \infty) \in M$ 、 $E (f = - \infty) \in M$ ，同理，易证 $E (f < \infty) \in M$ 、 $E (f > - \infty) \in M$ 、 $E (f = t) \in M$ .

定义：设 $E \subset R^{n}$ ， $E \in M$ ， $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{m}$ 是 $E$ 的互不相交的可测子集，且有 $j = 1 ⋃ m E_{j} = E$ ，设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m} \in R$ ，则我们称 $ϕ (x) = \sum_{i = 1}^{m} α_{i} χ_{E_{i}} (x)$ 是简单函数，若 $E_{j}$ 是矩体，则 $ϕ$ 是阶梯函数。

定理：设 $E \subset R^{n}$ ， $E \in M$ ，则 $E$ 上的简单函数是可测的。

证明：对于简单函数 $ϕ (x) = \sum_{i = 1}^{m} α_{i} χ_{E_{i}} (x)$ ，不妨设 $α_{1} < α_{2} < \dots < α_{m}$ ，则 $E (ϕ > t) = ⎩ ⎨ ⎧ E j = i + 1 ⋃ m E_{j} \emptyset, t < α_{1}, α_{i} \leq t < α_{i + 1}, t \geq α_{m}$ ，因为 $E$ 、 $E_{j}$ 、 $\emptyset$ 都可测，故 $ϕ (x)$ 可测。

定理：设 $E \subset R^{n}$ ， $E \in M$ ， $f \geq 0$ 是非负函数，则 $f \in M (E) \Leftrightarrow$ 存在非负函数简单函数列 ${ϕ_{k} (x)}_{k = 1}^{\infty}$ ，使得 $0 \leq ϕ_{1} (x) \leq ϕ_{2} (x) \leq \dots \leq ϕ_{k} (x) \leq \dots$ ，且 $k \to \infty lim ϕ_{k} (x) = f (x)$ （ $\forall x \in E$ ）.

就是可以用简单函数来近似一个非负可测函数。

证明：必要性 $\Rightarrow$ ：设 $f \in M (E)$ ， $\forall k \in N$ ， $j = 0, 1, \dots, k 2^{k} - 1$ ，令 $E_{k, j} = E (\frac{j}{2 ^{k}} \leq f < \frac{j + 1}{2 ^{k}})$ 、 $E_{k, k 2^{k}} = E (f \geq k)$ ，则 ${E_{k, j}}_{j = 1}^{k 2^{k}}$ 互不相交，且 $\forall j$ 有 $E_{k, j} \in M$ ， $E = j = 0 ⋃ k 2^{k} E_{k, j}$ ，设 $ϕ_{k} (x) = \sum_{k = 0}^{k 2^{k}} \frac{j}{2 ^{k}} χ_{E_{k, j}} (x)$ ，则有 $ϕ_{k} (x) \leq ϕ_{k + 1} (x) \leq f (x)$ （见下图， $f (x)$ 下面的一段段横线（阶梯函数）就是 $ϕ_{k} (x)$ ，且随着 $j$ 增大， $ϕ_{x} (k)$ 的函数值也会越来越大（即阶梯越来越高），如果 $k$ 增大（即绿色的线），由于更细分，阶梯函数也会更往上接近 $f (x)$ ）

接下来用数学语言来证明 $k \to \infty lim ϕ_{k} (x) = f (x)$ （ $\forall x \in E$ ）：若 $x_{0} \in E$ 且 $f (x_{0}) = \infty$ ，则 $x_{0} \in E_{k, k 2^{k}}$ （即上图最右边的区间上）， $ϕ_{k} (x_{0}) = k \to \infty = f (x_{0})$ ；若 $f (x_{0}) < \infty$ ， $\exists k_{0} > f (x_{0})$ ，当 $k \geq k_{0}$ 时， $∣ f (x_{0}) - ϕ_{k} (x_{0}) ∣ = f (x_{0}) - ϕ_{k} (x_{0}) < \frac{1}{2 ^{k}} \to 0$ （ $k \to \infty$ ）（见上图，如果取右端点（即相差最大的情况）， $f (x)$ 与 $ϕ_{k} (x)$ 的差就是分割的小区间的长度（比如 $y$ 轴上蓝色、黄色等部分），即 $\frac{j + 1}{2 ^{k}} - \frac{j}{2 ^{k}} = \frac{1}{2 ^{k}}$ ），所以 $k \to \infty lim ϕ_{k} (x_{0}) = f (x_{0})$ ，再根据 $x_{0}$ 的任意性，得证。

充分性 $\Leftarrow$ ：设 ${ϕ_{k}}$ 是非负的简单函数升列，且 $k \to \infty lim ϕ_{k} = f$ ，由于 $\forall t \in R$ 有 $E (ϕ_{k} > t) \in M$ ，且 $E (f > t) = k = 1 ⋃ \infty E (ϕ_{k} > t)$ ，所以 $E (f > t) \in M$ ， $i . e .$ ， $f \in M (E)$ .

定理：若 $f, g \in M (E)$ ，则 $c f$ 、 $f + g$ 、 $f g$ 、 $f / g$ （其中 $c \in R$ ）是其有定义的集合上的可测函数。

可以理解为，除非没有定义或特殊情况（比如 $\infty - \infty$ ），否则可测函数是对加减乘除封闭的。

证明：对于 $c f$ ，若 $c = 0$ ，则 $c f = 0 \in M (E)$ ；若 $c > 0$ ，则 $\forall t \in R$ ， $E (c f > t) = E (f > \frac{t}{c}) \in M$ ；若 $c < 0$ ，则 $\forall t \in R$ ， $E (c f > t) = E (f < \frac{t}{c}) \in M$ ， $∴ c f \in M (E)$ .

对于 $f + g$ ， $\forall t \in R$ ， $E (f + g > t) = r \in Q ⋃ E (f > r) \cap E (g > t - r) \in M$ ， $∴ f + g \in M (E)$ .

对于 $f g$ ，先考虑 $f^{2}$ ， $\forall t \in R$ ， $E (f^{2} > t) = {E \in M E (f > t) \cup E (f < - t) \in M, t < 0, t \geq 0$ ， $∴ f^{2} \in M (E)$ ；又由于 $f g = \frac{1}{4} [(f + g)^{2} - (f - g)^{2}] \in M (E)$ .

对于 $f / g$ ， $\forall t \in R$ ， $E (\frac{1}{g} > t) = ⎩ ⎨ ⎧ E (g > 0) \ E (g = \infty) \in M E (g < \frac{1}{t}) \cap E (g > 0) \in M E (g < \frac{1}{t}) \cap E (g > 0) \in M, t = 0, t > 0, t < 0$ ，所以 $\frac{1}{g} \in M (E)$ ， $\Rightarrow f / g \in M (E)$ .

注意： $f + g$ 在集合 $A := (E (f = \infty) \cap E (g = - \infty)) \cup (E (f = - \infty) \cap E (g = \infty)) \in M$ 上没有定义； $f / g$ 在 $E (g = 0) \in M$ 上没有定义。我们只考虑 $f + g : E \cap A^{c} \to \overline{R}$ ，以及 $f / g : E \cap E (g \neq = 0) \to \overline{R}$ 时的情况，但是为了方便起见，我们简单地假设为 $f + g$ 和 $f / g$ 在 $E$ 上都有定义。

推论：设 $E \in R^{n}$ ， $E \in M$ ，则 $C (E) \subset M (E)$ ，即可测集上的连续函数都是可测函数。

因为对于连续函数 $f \in C (E)$ ，开集有一个等价条件： $\forall λ \in R$ ， ${x ∣ f (x) < λ}$ 与 ${x ∣ f (x) > λ}$ 是开集（见第一章）；根据可测集的定义知，开集是可测集（把前面 $λ$ 改为 $t$ 就是可测集定义，且可数个可测集的并仍是可测集），再根据前面 $f \in M (E) \Leftrightarrow d e f E (f > t) \in M$ 的几个等价定义知， $f$ 是可测函数。

定理：设 $E \subset R^{n}$ ， $E \in M$ ， ${f_{k} (x)}_{k = 1}^{\infty} \subset M (E)$ ，则① $k \geq 1 sup {f_{k} (x)}$ ；② $k \geq 1 in f {f_{k} (x)}$ ；③ $k \to \infty \overline{lim} f_{k} (x)$ ；④ $k \to \infty \underline{lim} f_{k} (x)$ 都是可测函数。

证明： $\forall t \in R$ ， $E (k \geq 1 sup {f_{k} (x)} > t) = k = 1 ⋃ \infty E (f_{k} > t) \in M \Rightarrow (1)$ ， $k \geq 1 in f {f_{k} (x)} = - k \geq 1 sup {- f_{k} (x)} \Rightarrow (2)$ ， $k \to \infty \overline{lim} f_{k} (x) = j \geq 1 in f k \geq j sup {f_{k} (x)} \Rightarrow (3)$ ， $k \to \infty \underline{lim} f_{k} (x) = - k \to \infty \overline{lim} (- f_{k} (x)) \Rightarrow (4)$ .

推论：设 $E \subset R^{n}$ ， $E \in M$ ， ${f_{k} (x)}_{k = 1}^{\infty} \subset M (E)$ ， $k \to \infty lim f_{k} (x) = f (x) \Rightarrow f (x) \in M (E)$ .

前面说过，可以用简单函数来近似一个非负可测函数，如果函数有正有负，可将正、负部分分开。正部 $f^{+} (x) = max (f (x), 0)$ ，负部 $f^{-} (x) = - min (f (x), 0) = max (- f (x), 0)$ ，则 $f = f^{+} - f^{-}$ ， $∣ f ∣ = f^{+} + f^{-}$ ，且有以下结论：

$f \in M (E) \Leftrightarrow f^{+}, f^{-} \in M (E)$ （右边推左边可以利用前面的加法封闭性质，左边推右边自行证明）

$f \in M (E) \Leftrightarrow f$ 是某一简单函数列的极限（这个结论的证明要用本推论，自行证明）。

定理： $f \in M (E) \Leftrightarrow f^{+}, f^{-} \in M (E)$ ； $f \in M (E) \Rightarrow ∣ f ∣ \in M (E)$ .

命题（开集与可测函数的关系）： $f \in M (E) \Leftrightarrow$ 对任意的开集 $O \in R$ ， $f^{- 1} (O) \in M$ .

证明：由于一维开集可以表示为可数个互不相交开区间 $I_{k}$ 的并，故 $O = k = 1 ⋃ \infty I_{k}$ ，设 $I_{k} = [a_{k}, b_{k})$ ，则 $f^{- 1} (O) = k = 1 ⋃ \infty E (a_{k} < f < b_{k}) = k = 1 ⋃ \infty E (f > a_{k}) \cap E (f < b_{k}) \in M$ ；

而 $\Leftarrow$ 的证明可设 $O = (t, \infty)$ ，则 $f^{- 1} (O) = E (f > t) \in M$ .

定理：设 $f \in C (R), g \in M (E) \Rightarrow h = f \circ g = f (g (x)) \in M (E)$ .

证明：对任意的开集 $O$ ， $h^{- 1} (O) = g^{- 1} (f^{- 1} (O))$ ，因为 $f \in C (R)$ 且 $O$ 是开集所以 $f^{- 1} (O)$ 是开集（见第一章开集结构部分的命题），因为 $g \in M$ 所以 $g^{- 1} (f^{- 1} (O)) \in M$ （前一命题）.

定理：设 $E \subset R^{n}$ ， $E \in M$ ， $f, g : E \to \overline{R}$ ，若 $f$ 与 $g$ 在 $E$ 上几乎处处相等，即存在一个零测集 $E_{o} \subset E$ （其中 $m (E_{0}) = 0$ ），使得在 $E \ E_{0}$ 内 $f = g$ ，则当其中一个在 $E$ 上可测时，另一个在 $E$ 上也可测。（函数的可测性与其在零测集的取值无关）

证明：假设 $f \in M (E)$ ，即 $\forall t \in R$ ， $E (f > t) \in M$ ，而 $E (f \neq = g) \subset E_{0}$ 是零测集，则 $E (g > t) = (E (f > t) \cap E (f = g)) \cup (E (g > t) \cap E (f \neq = g))$ ，因为其 $m (E (f \neq = g)) = 0$ 是零测集，故 $m (E (g > t) \cap E (f \neq = g)) = 0$ ，而左边 $f$ 是可测函数，利用前面可测函数的等价定义知，左半部分是可测的， $∴ E (g > t) \in M$ （ $\forall t$ ），即 $g \in M (E)$ .

例如，根据常数函数是可测函数 $D \equiv 1 \in M (E)$ 可知，狄利克雷函数 $D (x) = {01, x \in Q, x \in R \ Q \in M (E)$ （因为有理数集是零测集，而在 $R \ Q$ 上两个函数几乎处处相等）

定义：设 $E \subset R^{n}$ ，若对于除了 $E$ 中一个零测集以外的每个 $x$ ，命题 $S (x)$ 皆为真，则称命题 $S (x)$ 在 $E$ 上几乎处处成立（为真），并简记为 $S (x), a . e . [E]$ （有时可以不写 $[E]$ ），当 $E = R^{n}$ 时简记为 $S (x), a . e .$ （ $a . e .$ 的意思是almostly everywhere）.

比如， $f = g a . e .$ 表示几乎处处相等， $f \geq 0 a . e .$ 表示几乎处处非负， $∣ f ∣ < \infty a . e .$ 表示几乎处处有界。

5. 测度空间上的可测函数和性质

定义：设 $(X, F, μ)$ 是测度空间， $f : X \to \overline{R}$ ，若 $\forall t \in R$ ， $X (f > t)$ 是 $F$ 可测的，则称 $f$ 为 $X$ 的 $F$ 可测函数，简称可测函数。我们把 $(X, F)$ 上的 $μ$ 可测函数的全体记作 $M (X, F)$ ，简记为 $M (X)$ .

定理：设 $X \in M$ ， $f : X \to \overline{R}$ ，则以下条件等价：

（1） $f \in M (X)$ ；

（2） $\forall t \in R$ ， $X (f \geq t) \in M$ ；

（3） $\forall t \in R$ ， $X (f < t) \in M$ ；

（4） $\forall t \in R$ ， $X (f \leq t) \in M$ ；

（5）对于任意开集 $G \subset R$ ， $f^{- 1} (G), X (f = \infty) \in M$ ；

（6）对于任意闭集 $F \subset R$ ， $f^{- 1} (F), X (f = \infty) \in M$ ；

（7） $f^{+}, f^{-} \in M (X)$ ；

定义： $X$ 上的简单函数为 $ϕ (x) = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} χ_{A_{i}} (x)$ ，其中 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} \in R$ ， $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \in F$ 互不相交。

定理：设 $f \geq 0$ ，则 $f \in M (X) \Leftrightarrow$ 存在简单函数列 ${ϕ_{k} (x)}_{k = 1}^{\infty}$ ，使得 $k \to \infty lim ϕ_{k} (x) = f$ .

定理： $f, g \in M (X) \Rightarrow c f$ 、 $f g \in M (X)$ （其中 $c \in R$ ）， $f + g$ 、 $f / g$ 是其在有定义的集合上的可测函数。

定理： ${f_{k}}_{k = 1}^{\infty} \subset M (X) \Rightarrow k \geq 1 sup {f_{k} (x)}$ 、 $k \geq 1 in f {f_{k} (x)}$ 、 $k \to \infty \overline{lim} f_{k} (x)$ 、 $k \to \infty \underline{lim} f_{k} (x) \in M (X)$ .

推论：设 ${f_{k} (x)}_{k = 1}^{\infty} \subset M (X)$ ，若 $k \to \infty lim f_{k} (x) = f (x)$ ，则 $f \in M (X)$ .

定义：对于拓扑空间， $f : X \to \overline{R}$ ， $f$ 在 $a \in X$ 连续 $\Leftrightarrow d e f \forall ϵ > 0, \exists$ 开集 $G$ ，使得 $a \in G, \forall x \in G, ∣ f (x) - f (a) ∣ < ϵ$ （Or $\Leftrightarrow d e f$ 对任一收敛于 $a$ 的点列 ${x_{k}}$ 有 $k \to \infty lim f (x_{k}) = f (a)$ ）。 $f \in C (X) \Leftrightarrow d e f \forall x \in X$ ， $f$ 在 $x$ 连续，

对于无法定义距离的空间，也就无法定义球邻域等，我们将这样的空间称为拓扑空间，这时我们可以规定一些集合是开集，这样也可以生成 $σ$ 代数。对于拓扑空间，连续的定义就从之前的球邻域变为开集了。

比如 $(X, F, μ)$ 是测度空间，其中 $X$ 是拓扑空间， $F$ 是由全体开集生成的 $σ$ 代数。

定义：若除了 $X$ 中的一个零测集以外的每一个 $x$ ，命题 $S (x)$ 都为真，则称命题 $S (x)$ 在 $(X, F, μ)$ 几乎处处成立，并简记为 $S (x) a . e .$ （或 $S (x) μ a . e .$ ）.

6. Lebesgue可测函数列的收敛性

收敛分为（按收敛从强到弱排序）：一致收敛（符号 $f_{k} ⟶ u f$ 或 $f_{k} ⟹ f$ ，对每个 $x$ 收敛的速度都是一样的）、几乎一致收敛（符号 $f_{k} ⟶ a . u . f$ ，在去掉一个测度很小的集合后是一致收敛的）、几乎处处收敛（符号 $f_{k} ⟶ a . e . f$ ，去掉一个零测集后是逐点收敛的）、依测度收敛。

几乎一致收敛可以直接推出几乎处处收敛（反过来见Egorov定理）、几乎处处收敛在几乎处处有界以及测度有限的条件下可以推出依测度收敛（反过来见Riezz定理）。

另外还有逐点收敛，它和几乎处处收敛的收敛强度是差不多的，但它是数学分析中的内容，这里不再详细讨论。

定义：设 $f (x), f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{k} (x), \dots$ 是定义在点集 $E$ 上的实值函数，若 $\forall ϵ > 0, \exists K \in N, s . t . \forall k \geq K, \forall x \in E$ ，有 $∣ f_{k} (x) - f (x) ∣ < ϵ$ ，则称 ${f_{k} (x)}$ 在 $E$ 上一致收敛到 $f$ ，记作 $f_{k} ⟹ f$ 或 $f_{k} ⟶ u f$ （u表示uniform，一致）

也就是说，一致收敛指对每个 $x$ 收敛的速度都是一样的。

例1： $f_{k} (x) = x^{2} + \frac{1}{k} : (- 1, 1) \to R$ ， $k = 1, 2, \dots$ ， $f_{k} ⟹ f (x) = ∣ x ∣$ ，是一致收敛。

例2： $f_{k} (x) = \frac{k}{k x + 1} : (0, 1) \to R$ ， $k = 1, 2, \dots$ ， $f_{k} ⟶ f (x) = x^{- 1}$ ，画图可知，当 $x$ 在零附近时 $f_{k}$ 与 $f (x)$ 偏差非常大，而当 $x$ 增大时偏差会减小，也就是说收敛速度对不同的 $x$ 不一样，因此不是一致收敛（自行严格证明），但它是逐点收敛的。

例3： $f_{k} (x) = {1 n x, x \geq \frac{1}{n}, 0 < x < \frac{1}{n}$ ， $k = 1, 2, \dots$ ， $f_{k} ⟶ f (x) \equiv 1$ ，在0到1之间偏差特别大，其他位置偏差非常小，所以不是一致收敛，但它是逐点收敛的。

定义：若 $f_{k} ⟹ f$ ，则 $f_{k} (x) ⟶ f (x)$ （ $\forall x \in E$ ）称为逐点收敛（也称点点收敛，或处处收敛）。若 $f_{k} \in M (E)$ （ $\forall k$ ），且 $f_{k}$ 逐点收敛，则 $f \in M (E)$ .

定义：设 $E$ 是可测集，若 $\forall δ > 0, \exists E_{δ} \subset E, s . t . m (E \ E_{δ}) < δ$ ，且在 $E_{δ}$ 上有 $f_{k} ⟹ f$ ，则称 ${f_{k} (x)}$ 在 $E$ 上几乎一致收敛到 $f$ ，记作 $f_{k} ⟶ a . u . f$ （a.u.表示almostly uniform）.

比如前面的例2、例3都是几乎一致收敛的，因为只需去掉零附近的一个小区间就可以一致收敛。

定义：设 $E \subset R^{n}$ ， $f (x), f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{k} (x), \dots : E \to \overline{R}$ ，若存在 $Z \subset E$ ， $m (Z) = 0$ ，使得 $k \to \infty lim f_{k} (x) = f (x)$ （ $\forall x \in E \ Z$ ），则称 ${f_{k} (x)}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛到 $f$ ，记作 $f_{k} ⟶ f, a . e . [E]$ 或 $f_{k} ⟶ a . e . f$ .

同理，对于几乎处处收敛也有，若 $f_{k} \in M (E)$ （ $\forall k$ ），且 $f_{k} ⟶ a . e . f$ ，则 $f \in M (E)$ .

容易由 $f_{k} ⟶ a . u . f$ 推出 $f_{k} ⟶ a . e . f$ ，在添加了某些条件后（比如叶戈罗夫定理，需要几乎处处有界以及有限测度的条件），也可以由弱的几乎处处收敛（ $a . e .$ ）推出强的几乎一致收敛（ $a . u .$ ）

定理（叶戈罗夫(Egorov)定理）：设 $E \in M$ ， $f (x), f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{k} (x), \dots : E \to \overline{R}$ ， $∣ f ∣, ∣ f_{i} ∣ < \infty a . e . [E]$ （几乎处处有界）， $m (E) < \infty$ ，若 $f_{k} ⟶ f, a . e . [E]$ ，则 $f_{k} ⟶ a . u . f$ .

证明：对于某个 $x \in E$ ， $k \to \infty lim f_{k} (x) = f (x) \Leftrightarrow \forall k \in N, \exists J \in N, s . t . \forall j \geq J, ∣ f_{j} (x) - f (x) ∣ < \frac{1}{k}$ ， $x \in {x \in E ∣ k \to \infty lim f_{k} (x) = f (x)} \Leftrightarrow x \in k = 1 ⋂ \infty J = 1 ⋃ \infty j = J ⋂ \infty {x \in E ∣ ∣ f_{j} (x) - f (x) ∣ < \frac{1}{k}}$ （前面的要求中遇到 $\forall$ 用 $\cap$ ，遇到 $\exists$ 用 $\cup$ ），

$∴ {x \in E ∣ f_{k} ⟶ f} = k = 1 ⋂ \infty j \to \infty \underline{lim} E (∣ f_{j} - f ∣ < \frac{1}{k})$ （利用下极限定义 $n \to \infty \underline{lim} A_{n} = n = 1 ⋃ \infty k = n ⋂ \infty A_{k}$ 化简上一步），

$∴ {x \in E ∣ f_{k} ↛ f} = E \ k = 1 ⋂ \infty j \to \infty \underline{lim} E (∣ f_{j} - f ∣ < \frac{1}{k}) = k = 1 ⋃ \infty j \to \infty \overline{lim} E (∣ f_{j} - f ∣ \geq \frac{1}{k})$ （德摩根法则，看不出来的话可以把下极限恢复成交并再取补集后再用德摩根法则 $(\cap \cup \cap E (\dots < \dots))^{c} = \cup \cap \cup E (\dots \geq \dots)$ ，其中因为我们只考虑 $x \in E$ 所以取补集后一定在 $E$ 内，故 $E \$ 可以去掉，然后用上极限定义得到右式），

简记 $E (f_{k} ⟶ f) = {x \in E ∣ f_{k} (x) ⟶ f (x)}$ ， $E (f_{k} ↛ f) = E \ E (f_{k} ⟶ f)$ ，由 $f_{k} ⟶ f, a . e . [E]$ 可知 $m (E (f_{k} ↛ f)) = 0$ （几乎处处收敛的定义，去掉一个零测集后逐点收敛，因此不收敛部分的测度是零），

令 $A_{J} := j \geq J ⋃ E (∣ f_{j} - f ∣ \geq \frac{1}{k})$ ，则 ${A_{J}}_{J = 1}^{\infty}$ 是降列，且 $m (A_{1}) \leq m (E) < \infty$ ，由前面推论可得（在可测集章节，有推论： $E_{k}$ 是递减可测集列，且 $m (E_{1}) < \infty$ ，则 $m (k \to \infty lim E_{k}) = k \to \infty lim m (E_{k})$ ）， $J \to \infty lim m (A_{J}) = m (J \to \infty lim A_{J}) = m (J = 1 ⋂ \infty A_{J})$ ，

故 $\forall k, J \to \infty lim m (j = J ⋃ \infty E (∣ f_{j} - f ∣) \geq \frac{1}{k}) = m (j \to \infty \overline{lim} E (∣ f_{j} - f ∣ \geq \frac{1}{k})) = m (E (f_{k} ↛ f)) = 0$ （先把 $A_{J}$ 展开写，然后用上式变为先求测度再求 $\cap A_{J}$ ，然后用上极限定义把 $\cap \cup$ 改写为上极限，然后发现恰好等于前面那个不收敛部分的集合，因此测度为零），

给定 $δ > 0$ ，可依次取出 $J_{1} < J_{2} < \dots$ ， $s . t . m (j = J_{k} ⋃ E (∣ f_{j} - f ∣ \geq \frac{1}{k})) < \frac{δ}{2 ^{k}}$ （ $\forall k$ ）（因为上一步证明了当 $J \to \infty$ 时该式 $\to 0$ ，因此对一系列 $J_{k}$ ，代入该式每个都会小于一个很小的数，比如 $\frac{δ}{2 ^{k}}$ ，选这个数是为了方便后面级数求和），

令 $E_{δ} = k = 1 ⋂ \infty j = J_{k} ⋂ \infty E (∣ f_{j} - f ∣ < \frac{1}{k})$ ，则 $E \ E_{δ} = k = 1 ⋃ \infty j = J_{k} ⋃ \infty E (∣ f_{j} - f ∣ \geq \frac{1}{k})$ ， $m (E \ E_{δ}) < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{δ}{2 ^{k}} \leq δ$ ，得证。

并且由 $E_{δ}$ 定义知， $\forall x \in E_{δ}, \forall j \geq J_{k}$ ， $∣ f_{j} (x) - f (x) ∣ < \frac{1}{k}$ ， $k = 1, 2, \dots$ ，即，在 $E_{δ}$ 上有 $f_{k} ⟹ f$ ， $∴$ 在 $E$ 中有 $f_{k} ⟶ a . u . f$ .

在介绍依测度收敛前，先看一道例题。

例：设 $E = [0, 1)$ ，对于 $k \in N$ ，存在唯一的 $i, j \in N$ 使得 $k = 2^{i} + j$ ，其中 $0 \leq j < 2^{i}$ ，则 $f_{k} (x) : E \to R$ 定义为 $f_{k} (x) = χ_{[\frac{j}{2 ^{i}}, \frac{j + 1}{2 ^{i}})} (x)$ ， $k = 1, 2, \dots, x \in E$ ，那么如果给定一个固定的 $x_{0} \in [0, 1)$ ，则对任意的 $i \in N$ ，存在唯一的 $j \in N$ ，使得 $x_{0} \in [\frac{j}{2 ^{i}}, \frac{j + 1}{2 ^{i}})$ ，即令 $x_{0}$ 落在这个由 $i, j$ 唯一确定的区间内，因此 ${f_{k} (x_{0})}$ 会有无穷多项为1，亦有无穷多项为零， ${f_{k} (x_{0})}$ 在 $E$ 上点点不收敛，但是当 $k$ 越大， $f_{k} (x_{0}) \equiv 1$ 出现的频率越小（因为虽然 $x_{0}$ 只会落在由 $i, j$ 唯一确定的区间上一次，但是由于要求 $k = 2^{i} + j$ ，所以对于不同的 $k$ ，即使 $x_{0}$ 固定，这个区间也是不一样的，即对于 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{k} (x)$ 来说有很多个这样的区间，而当 $k \to \infty$ 时，由于越来越细分区间也越来越小，因此这样的区间所占的比例也会越来越小，数学证明如下： $\forall0 < ϵ \leq 1$ ， ${x \in E ∣ ∣ f_{k} (x) - 0∣ \geq ϵ} = {x \in E ∣ f_{k} (x) \equiv 1} = [\frac{j}{2 ^{i}}, \frac{j + 1}{2 ^{i}})$ ，当 $k \to \infty$ 时， $i \to \infty$ ，故 $m ({x \in E ∣ ∣ f_{k} (x) - 0∣ \geq ϵ}) = \frac{1}{2 ^{i}} \to 0$ ）。于是我们有， $\forall δ > 0, \exists k_{0} = 2^{i_{0}} + j_{0}$ （其中 $0 \leq j_{0} < 2^{i_{0}}$ ），使得 $\forall k > k_{0}, m ({x \in E ∣ ∣ f_{k} (x) - 0∣ < ϵ}) > 1 - δ$ （其中 $δ > 2^{- i_{0}}$ ，由前面 $\geq$ 情况下的测度 $\frac{1}{2 ^{i}}$ 得来）

我们称 ${f_{k} (x)}$ 在 $E$ 上依测度收敛于零函数。

定义：设 $E \in M$ ， $f (x), f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{k} (x), \dots : E \to \overline{R}$ ， $∣ f ∣, ∣ f_{i} ∣ < \infty a . e . [E]$ （几乎处处有界），若 $\forall ϵ > 0$ ， $k \to \infty lim m (E (∣ f_{k} - f ∣ > ϵ)) = 0$ ，则称 ${f_{k} (x)}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f$ ，简记为 $f_{k} ⟶ m f$ （m表示measure，测度）.

定理：若 ${f_{k} (x)}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f (x)$ 、 $g (x)$ ，则 $f = g a . e . [E]$ ，即在几乎处处相等的意义下，依测度收敛的极限是唯一的。

证明：由 $∣ f (x) - g (x) ∣ \leq ∣ f (x) - f_{k} (x) ∣ + ∣ f_{k} (x) - g (x) ∣, a . e . [E]$ ，可得 $\forall ϵ > 0$ ， $E (∣ f - g ∣ > ϵ) \subset E (∣ f - f_{k} ∣ > \frac{ϵ}{2}) \cup E (∣ g - f_{k} ∣ > \frac{ϵ}{2})$ ， $∴ m (E (∣ f - g ∣ > ϵ)) \leq m (E (∣ f - f_{k} ∣ > \frac{ϵ}{2})) + m (E (∣ g - f_{k} ∣ > \frac{ϵ}{2})) \to 0$ （ $k \to \infty$ ，根据依测度收敛的定义可得右边趋于0），由 $ϵ$ 的任意性可知， $m (E (f \neq = g)) = 0$ ， $i . e .$ ， $f = g a . e . [E]$ （不相等的地方是一个零测集，故几乎处处相等）.

定理：设 $E \in M$ ， ${f_{k} (x)} \subset M (E)$ ， $\forall k$ ， $∣ f_{k} ∣ < \infty a . e . [E]$ ， $m (E) < \infty$ ，则 $f_{k} ⟶ a . e . f \Rightarrow f_{k} ⟶ m f$ .

证明：由Erogov定理知， $f_{k} ⟶ a . u . f$ ，下面证明几乎一致必有依测度收敛。 $\forall δ > 0, \exists E_{δ} \subset E, m (E \ E_{δ}) < δ, f_{k} ⟹ f in E_{δ}$ ，于是对于任意的 $ϵ > 0$ ， $\exists K \in N$ ，使得 $\forall k > K, \forall x \in E_{δ}$ ，有 $∣ f_{k} (x) - f (x) ∣ < ϵ$ ，所以 $E (∣ f_{k} (x) - f (x) ∣ \geq ϵ) \subset E \ E_{δ}$ ，即 $m (E (∣ f_{k} (x) - f ∣ \geq ϵ)) < δ$ ，故 $0 \leq k \to \infty \overline{lim} m (E (∣ f - f_{k} ∣ \geq ϵ)) \leq δ$ ，令 $δ \to 0$ 得 $k \to \infty lim m (E (∣ f - f_{k} ∣ \geq ϵ)) = 0$ .

定理（Riezz定理）：设 $f, {f_{k} (x)}$ 是可测集 $E$ 上几乎处处有界的可测函数列，若 ${f_{k} (x)}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f (x)$ ，则存在子列 ${f_{k_{i}} (x)}$ ，使得 $i \to \infty lim f_{k_{i}} (x) = f (x) a . e . [E]$ .

虽然依测度收敛不能推出几乎处处收敛，但是可以存在子列几乎处处收敛。

证明：由 $f_{k} ⟶ m f$ 可知 $\forall i \in N, \exists k_{i} \in N, s . t . \forall j \geq k_{i}, m (E (∣ f_{j} - f ∣ \geq \frac{1}{2 ^{i}})) < \frac{1}{2 ^{i}}$ ，记 $E_{i} = E (∣ f_{k_{i}} - f ∣ \geq \frac{1}{2 ^{i}})$ ，则有 $m (E_{i}) < \frac{1}{2 ^{i}}$ ，令 $S = j = 1 ⋂ \infty i = j ⋃ \infty E_{i}$ （即 $S$ 是 $E_{i}$ 的上极限），则有 $m (S) = 0$ ，以下证明 ${f_{k_{i}} (x)}$ 在 $E \ S$ 上点点收敛。 $\forall x \in E \ S$ ， $\exists j \in N, s . t . x \in E \ i = j ⋃ \infty E_{i} = E \cap (i = j ⋃ \infty E_{i})^{c} = i = j ⋂ \infty E_{i}^{c}$ ，（把 $\cap$ 翻译成 $\forall$ ， $E_{i}$ 原来的 $\geq$ 取补集之后变成 $<$ ）于是 $\forall i \geq j$ ， $∣ f_{k_{i}} (x) - f (x) ∣ < \frac{1}{2 ^{i}}$ ，因此有 ${f_{k_{i}} (x)}$ 在 $E \ S$ 上点点收敛，即 $i \to \infty lim f_{k_{i}} (x) = f (x) a . e . [E]$ .

定义：设 ${f_{k} (x)} \subset M (E)$ ， $∣ f_{k} ∣ < \infty a . e . [E]$ ，若 $\forall ϵ > 0$ ，有 $k, j \to \infty lim m (E (∣ f_{j} - f_{k} ∣) > ϵ) = 0$ ，则称 ${f_{k} (x)}$ 是 $E$ 上的依测度基本列。

该定义和数学分析中的柯西列类似，而且后面的定理说明了一个函数列依测度收敛的充要条件是它是一个依测度基本列。

定理：设 ${f_{k} (x)} \subset M (E)$ ， $∣ f_{k} ∣ < \infty a . e . [E]$ ，则 $f_{k} ⟶ m f \Leftrightarrow {f_{k} (x)}$ 是 $E$ 上的依测度基本列。

证明：必要性 $\Rightarrow$ ：设 $f_{k} ⟶ m f$ ，由 $E (∣ f_{k} - f_{l} ∣ \geq ϵ) \subset E (∣ f_{k} - f ∣ \geq \frac{ϵ}{2}) \cup E (∣ f_{l} - f ∣ \geq \frac{ϵ}{2})$ （三角不等式）可知， $m (E (∣ f_{k} - f_{l} ∣ \geq ϵ)) \leq m (E (∣ f_{k} - f ∣ \geq \frac{ϵ}{2})) + m (E (∣ f_{l} - f ∣ \geq \frac{ϵ}{2}))$ ，当 $k, l \to \infty$ 时， $m (E (∣ f_{k} - f_{l} ∣ \geq ϵ)) \to 0 + 0$ .

充分性 $\Leftarrow$ ：设 ${f_{k} (x)}$ 是 $E$ 上的依测度基本列， $\forall i \in N, \exists k_{i} \in N, s . t . \forall l, k \geq k_{i}$ ， $m (E (∣ f_{k} - f_{l} ∣ \geq \frac{1}{2 ^{i}})) < \frac{1}{2 ^{i}}$ ，不妨设 $k_{i} < k_{i + 1}$ ，令 $E_{i} = E (∣ f_{k_{i}} - f_{k_{i + 1}} ∣ \geq \frac{1}{2 ^{i}})$ ， $i = 1, 2, \dots$ ，则 $m (E_{i}) < \frac{1}{2 ^{i}}$ ，令 $S = t \to \infty \overline{lim} E_{i} = j = 1 ⋂ \infty i = j ⋃ \infty E_{i}$ ，则有 $m (S) = 0$ ，以下证明 ${f_{k_{i}} (x)}$ 在 $E \ S$ 上点点收敛。 $\forall x \in E \ S$ ， $\exists j \in N, s . t . x \in E \ i = j ⋃ \infty E_{i} = E \cap (i = j ⋃ \infty E_{i})^{c} = i = j ⋂ \infty E_{i}^{c}$ ，于是 $\forall i \geq j$ ， $∣ f_{k_{i}} (x) - f (x) ∣ < \frac{1}{2 ^{i}}$ ，由此可知，当 $l \geq j$ 时， $\sum_{i = l}^{\infty} ∣ f_{k_{i + 1}} (x) - f_{k_{i}} (x) ∣ \leq \frac{1}{2 ^{l - 1}}$ ，即级数 $f_{k_{1}} (x) + \sum_{i = l}^{\infty} ∣ f_{k_{i + 1}} (x) - f_{k_{i}} (x) ∣$ 在 $E \ S$ 上绝对收敛于某个函数 $f (x)$ ，且 $∣ f ∣ < \infty a . e . [E]$ ，因此 ${f_{k_{i}} (x)}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f (x)$ ，此外 ${f_{k_{i}} (x)}$ 在 $E \ i = j ⋃ \infty E_{i}$ 上一致收敛于 $f (x)$ ，由于 $m (i = j ⋃ \infty E_{i}) < \frac{1}{2 ^{j - 1}}$ ， ${f_{k_{i}} (x)}$ 在 $E$ 上几乎一致收敛于 $f (x)$ ，进而依测度收敛于 $f (x)$ ，再由不等式 $m (E (∣ f_{k} - f ∣ \geq ϵ)) \leq m (E (∣ f_{k} - f_{k_{i}} ∣ \geq \frac{ϵ}{2})) + m (E (∣ f - f_{k_{i}} \geq \frac{ϵ}{2}))$ ，我们有 $k \to \infty lim m (E (∣ f_{k} - f ∣ \geq ϵ)) = 0$ ， $i . e . f_{k} ⟶ m f$

命题：设 $f (x) \in M (E)$ ， $∣ f ∣ < \infty$ ，则存在可测简单函数列 ${ϕ_{n} (x)}$ ，使得 $∣ ϕ_{n} (x) ∣ \leq ∣ f (x) ∣$ ， $n \to \infty lim x \in E sup ∣ ϕ_{n} (x) - f (x) ∣ = 0$ .（即存在可测的简单函数列在 $E$ 上一致收敛于 $f (x)$ ）

证明： $f$ 有界，故 $\exists M > 0$ ， $\forall x \in E$ ，使得 $∣ f (x) ∣ < M$ ， $\forall k \in N$ ，令 $j = - 2^{k}, - 2^{k} + 1,, \dots, - 1, 0, 1, \dots, 2^{k}$ ，令 $E_{k, j} = E (\frac{M j}{2 ^{k}} \leq f < \frac{M ( j + 1 )}{2 ^{k}})$ ，则 ${E_{k, j}}$ 是互不相交的可测集，且 $E = j = - 2^{k} ⋃ 2^{k} - 1 E_{k, j}$ ，构造简单函数 $ϕ_{k} = \sum_{j = 0}^{2^{k} - 1} \frac{M j}{2 ^{k}} χ_{E_{k, j}} (x) + \sum_{j = - 2^{k}}^{- 1} \frac{M ( j + 1 )}{2 ^{k}} χ_{E_{k, j}} (x)$ ，则 $\forall x \in E, \exists j, s . t . x \in E_{k, j}$ ，若 $j \in {0, 1, \dots, 2^{k} - 1}$ ，则 $0 \leq ϕ_{k} (x) = \frac{M j}{2 ^{k}} \leq f (x)$ ，若 $j \in {- 2^{k}, \dots, - 1}$ ，则 $f (x) \leq ϕ_{k} (x) = \frac{M ( j + 1 )}{2} \leq 0$ ，即 $∣ ϕ_{k} (x) ∣ \leq ∣ f (x) ∣$ （ $\forall x \in E$ ），同时我们有 $\forall x \in E$ ， $∣ ϕ_{k} (x) - f (x) ∣ \leq \frac{M}{2 ^{k}} \to 0$ （ $k \to \infty$ ），即 $n \to \infty lim x \in E sup ∣ ϕ_{n} (x) - f (x) ∣ = 0$ .

命题：设可测函数列 ${f_{k}}$ 、 ${g_{k}}$ 在可测集 $E$ 上依测度分别收敛于 $f$ 、 $g$ ，则 ${f_{k} + g_{k}}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f + g$ ；又若 $m (E) < \infty$ ，则 ${f_{k} \cdot g_{k}}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f \cdot g$ .

证明：已知 $f_{k} ⟶ m f$ 、 $g_{k} ⟶ m g$ ，即 $\forall ϵ > 0$ ，我们有 $k \to \infty lim m (E (∣ f_{k} - f ∣ > ϵ)) = 0$ 、 $k \to \infty lim m (E (∣ g_{k} - g ∣ > ϵ)) = 0$ ，则 $\forall x \in E (∣ f_{k} + g_{k} - (f + g) ∣ > ϵ)$ ， $x$ 满足 $∣ f_{k} (x) + g_{k} (x) - (f (x) + g (x)) ∣ > ϵ$ ，由 $∣ f_{k} (x) + g_{k} (x) - f (x) - g (x) ∣ \leq ∣ f_{k} (x) - f (x) ∣ + ∣ g_{k} (x) - g (x) ∣$ 可知，有 $∣ f_{k} (x) - f (x) ∣ > \frac{ϵ}{2}$ 或 $∣ g_{k} (x) - g (x) ∣ > \frac{ϵ}{2}$ （即 $∣ f_{k} (x) - f (x) ∣ \leq \frac{ϵ}{2}$ 与 $∣ g_{k} (x) - g (x) ∣ \leq \frac{ϵ}{2}$ 不能同时成立），所以 $x \in E (∣ f_{k} - f ∣ > \frac{ϵ}{2})$ 或 $x \in E (∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{2})$ ，即 $x \in E (∣ f_{k} - f ∣ > \frac{ϵ}{2}) \cup E (∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{2})$ ，则有 $m (E (∣ f_{k} + g_{k} - (f + g) ∣ > ϵ)) \leq m (E (∣ f_{k} - f ∣ \geq \frac{ϵ}{2})) + m (E (∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{2})) \to 0 + 0$ （ $k \to \infty$ ），由此可得 $f_{k} + g_{k} ⟶ m f + g$ .

假设 $m (E) < \infty$ ，要证明 $f_{k} \cdot g_{k} ⟶ m f \cdot g$ ，需要用到以下引理

引理1：设 $f \in M (E)$ ， $f \geq 0$ ， $f < \infty a . e .$ ，则 $\forall ϵ > 0$ ， $\exists$ 闭集 $F \subset E$ ，使得 $m (E \ F) < ϵ$ ，且在 $F$ 上有界。

证明：定义 $E_{n} = E (f \leq n)$ ， $\forall n \in N$ ，则 ${E_{n}}$ 是一个递增的可测集合列，记 $E = n \to \infty lim E_{n}$ ，因为 $f < \infty a . e . [E]$ ，所以 $m (E \ E) = 0$ ，故 $0 = m (E) - m (E) = m (E) - n \to \infty lim m (E_{n})$ （即 $m (E_{n})$ 单调上升收敛于 $m (E)$ ）， $\forall ϵ > 0$ ， $\exists n_{0} \in N$ ， $m (E) - m (E_{n}) < \frac{ϵ}{2}$ ，对于 $E_{n_{0}}$ 存在闭集 $F \subset E_{n_{0}}$ 且 $m (E_{n_{0}} \ F) = m (E_{n_{0}}) - m (F) < \frac{ϵ}{2}$ ，所以 $\forall x \in F \subset E_{n_{0}}$ 有 $∣ f (x) ∣ \leq n_{0}$ （有界），且 $m (E) - f (F) = m (E) - m (E_{n_{0}}) + m (E_{n_{0}}) - m (F) < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ$ .

引理2：若 $f \in M (E)$ ，且 $m (E) < \infty$ ，则 $\forall ϵ > 0$ ，存在 $g \in M (E)$ ，满足 $g$ 有界，且 $m (E (∣ f - g ∣ > 0)) < ϵ$ .

证明：定义 $E_{+} = E (f \geq 0)$ 、 $E_{-} = E (f < 0)$ ，则 $f$ 是定义在 $E_{+}$ 上的非负可测函数且几乎处处有界，则 $\forall ϵ > 0$ ，存在闭集 $F_{+} \subset E_{+}$ ，使得 $f$ 在 $F_{+}$ 上有界且 $m (E_{+} \ F_{+}) < \frac{ϵ}{2}$ ，同理存在闭集 $F_{-} \subset E_{-}$ ，使得 $- f$ 在 $F_{-}$ 上有界且 $m (E_{-} \ F_{-}) < \frac{ϵ}{2}$ ，定义 $g = f χ_{F_{+}} - f χ_{F_{-}}$ ，则在 $F_{+} \cup F_{-}$ 内有 $g = f$ ，且 $g$ 有界，同时 $m (E (∣ f \cdot g ∣ > 0)) = m (E (f \neq = g)) = m (E_{+} \ F_{+}) + m (E_{-} \ F_{-}) < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} < ϵ$ ，得证。

由 $f, g \in M (E)$ ， $m (E) < \infty$ 以及上述引理可知， $\forall ξ > 0$ ，存在 $φ_{ξ}, ψ_{ξ} \in M (E)$ 满足 $φ_{ξ}, ψ_{ξ}$ 有界，即 $\exists M_{ξ} > 0$ ，使得 $∣ φ_{ξ} ∣ < M_{ξ}$ 、 $∣ ψ_{ξ} ∣ < M_{ξ}$ （ $\forall x \in E$ ），同时 $m (E (∣ f - φ_{ξ} ∣ > 0)) < ξ$ 、 $m (E (∣ g - ψ_{ξ} ∣ > 0)) < ξ$ ， $\forall x \in E (∣ f_{k} \cdot g_{k} - f \cdot g ∣ > ϵ)$ 有 $∣ f_{k} (x) g_{k} (x) - f (x) g (x) ∣ > ϵ$ ，我们由 $∣ f_{k} g_{k} - f g ∣ = f_{k} g_{k} - f_{k} g + f_{k} g - f g \leq ∣ f_{k} - f ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ + ∣ f ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ + ∣ g ∣ \cdot ∣ f - f_{k} ∣ \leq ∣ f_{k} - f ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ + ∣ f - φ_{ξ} ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ + ∣ φ_{ξ} ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ + ∣ g - ψ_{ξ} ∣ \cdot ∣ f - f_{k} ∣ + ∣ ψ_{ξ} ∣ \cdot ∣ f - f_{k} ∣$ ，可知 $E (∣ f_{k} g_{k} - f g ∣ > ϵ) \subset E (∣ f_{k} - f ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5}) \cup E (∣ f - φ_{ξ} ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5}) \cup E (∣ g - ψ_{ξ} ∣ \cdot ∣ f - f_{k} ∣ > \frac{ϵ}{5}) \cup E (M_{ξ} ∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5}) \cup E (M_{ξ} ∣ f - f_{k} ∣ > \frac{ϵ}{5})$ ，又易知 $E (∣ f_{k} - f ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5}) \subset E (∣ f_{k} - f ∣ > \frac{ϵ}{5}) \cup E (∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5})$ ，因为 $k \to \infty lim m (E (∣ f_{k} - f ∣ > ϵ)) = 0$ 、 $k \to \infty lim m (E (∣ g_{k} - g ∣ > ϵ)) = 0$ （ $\forall ϵ > 0$ ），故存在 $k_{1, η} \in N$ ，使得 $\forall k \geq k_{1, η}$ 有 $m (E (∣ f_{k} - f ∣ > \frac{ϵ}{5})) < \frac{η}{10}$ 、 $m (E (∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5})) < \frac{η}{10}$ ，进而有 $\forall k \geq k_{1, η}$ ， $m (E (∣ f_{k} - f ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5})) \leq \frac{η}{10} + \frac{η}{10} = \frac{η}{5}$ ，又由于 $E (∣ f - φ_{ξ} ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5}) \subset E (∣ f - φ_{ξ} ∣ > \frac{ϵ}{5}) \cup E (∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5})$ ，我们有 $m (E (∣ f - φ_{ξ} ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5})) \leq m (E (∣ f - φ_{ξ} ∣ > \frac{ϵ}{5})) + m (E (∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5})) \leq ξ + \frac{η}{10}$ （ $\forall k \geq k_{1, η}$ ），取 $ξ = \frac{η}{10}$ ，则有 $m (E (∣ f - φ_{ξ} ∣ \cdot ∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5})) < \frac{η}{10} + \frac{η}{10} = \frac{η}{5}$ ，同理可得 $m (E (∣ g - ψ_{ξ} ∣ \cdot ∣ f_{k} - f ∣ > \frac{ϵ}{5})) < \frac{η}{5}$ （ $\forall k \geq k_{1, η}$ ），又因为 $k \to \infty lim m (E (∣ f_{k} - f ∣ > ϵ)) = 0$ 、 $k \to \infty lim m (E (∣ g_{k} - g ∣ > ϵ)) = 0$ （ $\forall ϵ > 0$ ），存在 $k_{0, ξ, η} \in N$ ，使得 $m (E (∣ f_{k} - f ∣ > \frac{ϵ}{5 M _{ξ}})) = m (E (M_{ξ} ∣ f_{k} - f ∣ > \frac{ϵ}{5})) < \frac{η}{5}$ 、 $m (E (∣ g_{k} - g ∣ > \frac{ϵ}{5 M _{ξ}})) < \frac{η}{5}$ ，综上，我们有 $\forall η > 0$ ， $\exists K = max (k_{0, ξ, η}, k_{0, ξ, η})$ ，使得 $\forall k \geq K$ ， $m (E (∣ f_{k} g_{k} - f g ∣ > ϵ)) < \frac{η}{5} + \frac{η}{5} + \frac{η}{5} + \frac{η}{5} + \frac{η}{5} = η$ ，所以 $k \to \infty lim m (E (∣ f_{k} g_{k} - f g ∣ > ϵ)) = 0$ ，即 $f_{k} \cdot g_{k} ⟶ m f \cdot g$ .

命题：设在 $[a, b]$ 上可测函数列 ${f_{k} (x)}$ 依测度收敛于 $f (x)$ ，而 $g (x)$ 是 $R$ 上的连续函数，则复合函数 ${g (f_{k} (x))}$ 也在 $[a, b]$ 上依测度收敛于 ${g (f (x))}$ .

证明：要证明该命题，需要用到以下引理

设 $f (x), {f_{k} (x)}$ 是 $E$ 上的几乎处处有限的可测函数， $m (E) < \infty$ ，则 ${f_{k}}$ 依测度收敛于 $f$ 的充要条件是 ${f_{k}}$ 的任一子列 ${f_{k_{i}}}$ 中均存在几乎处处收敛于 $f$ 的子列 ${f_{k_{i_{j}}}}$ .

证明：必要性 $\Rightarrow$ ： $f_{k} ⟶ m f$ ， $∣ f_{k} ∣, ∣ f ∣ < \infty a . e . [E]$ ，可知 ${f_{k}}$ 的任一子列 ${f_{k_{i}}}$ 也是依测度收敛于 $f$ ，由Riesz定理可知，存在 ${f_{k_{i}}}$ 的子列 ${f_{k_{i_{j}}}}$ 使得 $f_{k_{i_{j}}} ⟶ f a . e . [E]$ .

充分性 $\Leftarrow$ ：用反证法。已知 ${f_{k}}$ 的任意子列 ${f_{k_{i}}}$ 存在子列 ${f_{k_{i_{j}}}}$ 使得 $f_{k_{i_{j}}} ⟶ f a . e . [E]$ ，假设 ${f_{k}}$ 不依测度收敛于 $f$ ，由于 $f_{k} ⟶ m f \Leftrightarrow d e f \forall ϵ > 0, k \to \infty lim m (E (∣ f_{k} - f ∣ > ϵ)) = 0 \Leftrightarrow d e f \forall ϵ > 0, \forall η > 0, \exists K \in N, s . t . \forall k \geq K, m (E (∣ f_{k} - f ∣ > ϵ)) < η$ ，可取 $η = ϵ$ ，即可简述为 $\forall ϵ > 0, \exists K \in N, s . t . \forall k \geq K, m (E (∣ f_{k} - f ∣ > ϵ)) < ϵ$ ，那么 $f_{k} ↛ m f$ ，则 $\exists ϵ > 0, \forall K \in N, \exists k \geq K, s . t . m (E (∣ f_{k} - f ∣ > ϵ)) \geq ϵ$ （即把 $\forall$ 和 $\exists$ 互换，把 $<$ 变成 $\geq$ ），则有 $k_{1} < k_{2} < \dots < k_{i} < \dots$ 使得 $m (E (∣ f_{k_{i}} - f ∣ > ϵ)) \geq ϵ$ （即 $f_{k_{i}} ↛ m f$ ），可知 ${f_{k_{i}}}$ 不存在几乎处处收敛于 $f$ 的子列（如果有子列 ${f_{k_{i_{j}}}}$ 使得 $f_{k_{i_{j}}} ⟶ f a . e . [E]$ ，因为 $m (E) < \infty$ ，就可以由几乎处处收敛推出依测度收敛，则 $f_{k_{i_{j}}} ⟶ m f \Leftrightarrow \forall ϵ > 0, k \to \infty lim m (E (∣ f_{k_{i_{j}}} - f ∣ > ϵ)) = 0$ ，这与 $m (E (∣ f_{k_{i}} - f ∣ > ϵ)) \geq ϵ$ 矛盾）（当然 ${f_{i}}$ 也不存在依测度收敛于 $f$ 的子列），与假设矛盾，所以 $f_{k} ⟶ m f$ .

对于 ${g \circ f_{k}}$ 的任一子列 ${g \circ f_{k_{i}}}$ ，由Riesz定理可知，存在 ${f_{k_{i}}}$ 的子列 ${f_{k_{i_{j}}}}$ 使得 $f_{k_{i_{j}}} ⟶ f a . e . [E]$ ，又因为 $g$ 连续，所以 $g \circ f_{k_{i_{j}}} ⟶ g \circ f a . e . [E]$ （因为若 $f_{k_{i_{j}}} (x) \to f$ （ $k_{i_{j}} \to \infty$ ），则 $g (f_{k_{ij}} (x)) \to g (f (x))$ ），即 ${g \circ f_{k_{i}}}$ 存在几乎处处收敛于 $g \circ f$ 的子列，由上述引理可知 $g \circ f_{k} ⟶ m g \circ f$ .

7. 可测函数与连续函数

定理（鲁金(Lusin)定理）：设 $E \in M$ ， $f \in M (E)$ ， $∣ f ∣ < \infty a . e . [E]$ ，则对任意的 $δ > 0$ ，存在 $E$ 中的一个闭集 $F$ 满足 $m (E \ F) < δ$ ，使得 $f (x)$ 是 $F$ 上的连续函数。

即，可测函数“接近于”连续函数。（接近于指，挖去一个任意小的集合后， $f (x)$ 在剩下的闭集 $F$ 上是连续的，其中 $m (E \ F) < δ$ 指 $E$ 与 $F$ 相差很小，也就是挖去那部分很小）

证明：由于 $m (E (∣ f ∣ = \infty)) = 0$ （几乎处处有界说明 $\infty$ 处是零测集），不妨假设 $∣ f (x) ∣ < \infty$ （ $\forall x \in E$ ）（因为零测集不重要就假设可以去掉），首先考虑 $f (x)$ 是简单函数的情形， $\forall x \in E = i = 1 ⋃ l E_{i}$ 有 $f (x) = \sum_{i = 1}^{l} c_{i} χ_{E_{i}} (x)$ ，对任意的 $δ > 0$ 和 $E_{i}$ ，存在闭集 $F_{i} \subset E_{i}$ ，使得 $m (E_{i} \ F_{i}) < \frac{δ}{l}$ （这是因为对于可测集 $E \ E_{i}$ 存在开矩体列 ${I_{j}}$ 使得 $j ⋃ I_{j} \supset E \ E_{i}$ ， $\sum_{j} ∣ I_{j} ∣ - \frac{δ}{2 l} \leq m (E \ E_{i}) \leq \sum_{j} ∣ I_{j} ∣$ ，令 $F_{i} := E \ j ⋃ I_{j}$ ，则 $F_{i}$ 是闭集，且 $F_{i} \subset E_{i}$ ，注意到 $E_{i} \ F_{i} = (j ⋃ I_{j}) \ (E \ E_{i})$ ，可知 $m (E_{i} \ F_{i}) = m (j ⋃ I_{j}) - m (E \ E_{i}) \leq \frac{δ}{2 l}$ （这里暗含的条件是 $m (E) < \infty$ ），如下图；当 $m (E) = \infty$ 时，也仍可以找到可矩体列 ${I_{j}}$ ，使得 $\cup I_{j} = R^{n}$ ，此时 $m (I_{j} \cap E) < \infty$ ，再用这方法证明；有些教材会在鲁金定理中添加 $m (E) < \infty$ 的条件，但是这个条件不是必要的），由于 $E_{i}$ 互不相交，所以 $F_{1}, \dots, F_{l}$ 也互不相交，因为 $f (x)$ 是简单函数，所以 $f (x)$ 在每个 $F_{i}$ 上是常值函数，故在 $F_{i}$ 上连续，因此 $f (x)$ 在闭集 $F = i = 1 ⋃ l F_{i}$ 上连续，且 $m (E \ F) = \sum_{i = 1}^{l} m (E_{i} \ F_{i}) < δ$ .

前面只考虑了 $f (x)$ 是简单函数的情形，如果我们考虑 $f (x)$ 是一般的可测函数的情形，由于可做变换 $g (x) = \frac{f ( x )}{1 + ∣ f ( x ) ∣}$ （这样当 $f (x) \to \infty$ ， $g (x)$ 仍是有界的，如果能证明 $g (x)$ 连续，那么由于连续函数加减乘除后除分母为零的点外仍是连续的，再做 $f (x) = \frac{g ( x )}{1 - ∣ g ( x ) ∣}$ 的变换，就可以证明 $f (x)$ 也是连续的），不妨设 $∣ f ∣ < \infty$ ，于是存在可测的简单函数列 ${ϕ_{k} (x)}$ 在 $E$ 上一致收敛于 $f (x)$ （这时上一小节的一个命题）， $\forall δ > 0, \forall k \in N$ ，构造 $E$ 中的闭集 $F_{k}$ ，使得 $m (E \ F_{k}) < \frac{δ}{2 ^{k}}$ ，且 $ϕ_{k} (x)$ 在 $F_{k}$ 连续，令 $F = k = 1 ⋂ \infty F_{k} \subset E$ ，则 $m (E \ F) = m (E \cap k = 1 ⋃ \infty F_{k}^{c}) = m (k = 1 ⋃ \infty (E \ F_{k})) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} m (E \ F_{k}) < δ$ ，故 $ϕ_{k} (x)$ 在 $F$ 上连续，由一致收敛性知 $f = lim ϕ_{k}$ 在 $F$ 上连续。（一致收敛性是数学分析的内容）

引理（扩张定理）：设 $F \subset R^{n}$ 是一个非空闭集， $f \subset C (F)$ ，则存在 $g \in C (R^{n})$ ，使得 $g ∣_{F} = f$ ， $x \in R^{n} sup ∣ g (x) ∣ = x \in F sup ∣ f (x) ∣$ .

$g ∣_{F} = f$ 表示 $g$ 在集合 $F$ 上等于 $f$ 。该引理说明了可以把定义在 $F$ 上的一个函数延拓到 $R^{n}$ 上，并且延拓后的 $g$ 在集合 $F$ 上仍然和 $f$ 相等， $g$ 在 $R^{n}$ 上的上确界与 $f$ 在 $F$ 中的上确界相同。

推论：若 $f (x)$ 是可测集 $E \subset R^{n}$ 上几乎处处有限的可测函数，则存在 $R^{n}$ 上的连续函数列 ${g_{k} (x)}$ ，使 ${g_{k} (x)}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛到 $f (x)$

证明：由鲁金定理知，对任意的 $δ > 0$ ，存在闭集 $F \subset E$ ，满足 $m (E \ F) < δ$ ，且 $f (x)$ 在 $F$ 上连续，再由扩展定理知，存在 $R^{n}$ 上的连续函数 $g (x)$ ，使得在 $F$ 上有 $f = g$ ，于是 $\forall k \in N$ ， $\exists g_{k} (x) \in C (R^{n})$ ，使得 $m (E (∣ f \neq = g_{k} ∣)) < \frac{1}{2 ^{k}}$ ，令 $S = k \to \infty \overline{lim} E (f \neq = g_{k})$ ，易知 $m (S) = 0$ ，而 $E \ S = k \to \infty \underline{lim} E (f = g_{k})$ （看不出来的话把 $\overline{lim}$ 换成 $\cap \cup$ ，然后 $E \ S = E \cap S^{c}$ ，再用德摩根律），且在 $E \ S$ 上有极限 $k \to \infty lim g_{k} (x) = f (x)$ ， $∴ g_{k} \to f a . e . [E]$ .

推论：设 $f (x)$ 是可测集 $E$ 上几乎处处有限的可测函数，则 $f (x)$ 可测 $\Leftrightarrow$ 存在 $E$ 上的连续函数列 ${g_{k} (x)}$ ，使 ${g_{k} (x)}$ 几乎处处收敛到 $f (x)$ .

李特尔伍德(LittleWood)的三个原理：

每个测度有限的（可测）集合接近于有限个区间/矩体的并集
每个可测函数接近于连续函数
测度有限的（可测）集合上的收敛的可测函数列接近于一致收敛的函数列

8. 测度空间上可测函数的收敛性

定义：设 $(X, F, μ)$ 是一个测度空间，设 $f, f_{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）是 $X$ 上 $μ$ 几乎处处有限的可测函数，则

给定 $A \in F$ ，若 $\forall ϵ > 0$ ， $\exists N \in N$ ，使得 $\forall n \geq N$ ，有 $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ϵ$ （ $\forall x \in A$ ）则称函数列 ${f_{n}}$ 在 $A$ 上一致收敛于 $f$ ，记作在 $A$ 上 $f_{n} ⟹ f$
若 $\forall δ > 0$ ， $\exists X_{δ} \subset X$ ，使得 $μ (X_{δ}^{c}) < δ$ ，在 $X_{δ}$ 上 $f_{n} ⟹ f$ ，则称函数列 ${f_{n}}$ 在 $X$ 上几乎一致收敛于 $f$ ，记作 $f_{n} ⟶ f, μ a . u .$
若存在一个零测集 $Z \subset X$ （ $μ (Z) = 0$ ），使得 $f_{n} (X) \to f$ （ $\forall x \in X \ Z$ ），则称函数列 ${f_{n}}$ 在 $X$ 上几乎处处收敛于 $f$ ，记作 $f_{n} ⟶ f, a . e .$
若 $\forall ϵ > 0$ ，当 $n \to \infty$ 时，有 $μ (X (∣ f - f_{n} ∣ > ϵ)) \to 0$ ，则称函数列 ${f_{n}}$ 在 $X$ 上依测度收敛于 $f$ ，记作 $f_{n} ⟶ μ f$

一般来说，一致收敛 > 几乎一致收敛 > 几乎处处收敛 > 依测度收敛。当 $X$ 为有限测度时，几乎一致收敛 = 几乎处处收敛。

定理：设 $(X, F, μ)$ 是一个测度空间，设 $f, f_{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）是 $X$ 上 $μ$ 几乎处处有限的可测函数，则

$f_{n} ⟶ f, μ a . u . \Rightarrow f_{n} ⟶ f, μ a . e .$
$f_{n} ⟶ f, μ a . u . \Leftarrow μ (X) < \infty, f_{n} ⟶ f, μ a . e .$ （Egorov定理）
$f_{n} ⟶ f, μ a . u . \Rightarrow f_{n} ⟶ μ f$
$\exists {f_{k_{i}}} \subset {f_{n}} s . t . f_{k_{i}} ⟶ f, μ a . u . \Leftarrow f_{n} ⟶ μ f$ （在证明依测度基本列是依测度收敛的定理时，证明部分包含了这个定理）
$f_{n} ⟶ μ f \Rightarrow \exists {f_{k_{i}}} \subset {f_{n}} s . t . f_{k_{i}} ⟶ f, μ a . e .$ （Riezz定理）
$f_{n} ⟶ μ f \Leftarrow μ (X) < \infty, f_{n} ⟶ f, μ a . e .$

即，

几乎一致收敛 $测度有限 ⇌$ 几乎处处收敛，几乎一致收敛 $\to$ 依测度收敛（反过来推不出，只能得到有一个子列几乎一致收敛），

几乎处处收敛 $\to 测度有限$ 依测度收敛（反过来也推不出，只能得到有一个子列几乎处处收敛）

三、勒贝格(Lebesgue)积分

1.Lebesgue非负可测函数的积分

先复习黎曼积分：若 $f (x) : [a, b] \to R$ 有界，对于任意的划分 $a = ξ_{0} < ξ_{1} < \dots < ξ_{n} = b$ ，定义 $S = \sum_{i = 1}^{n} (ξ_{i} - ξ_{i - 1}) M_{i}$ （其中 $M_{i} := ξ_{i - 1} < x \leq ξ_{i} sup f (x)$ ）、 $S = \sum_{i = 1}^{m} (ξ_{i} - ξ_{i - 1}) m_{i}$ （其中 $m_{i} := ξ_{i - 1} < x \leq ξ_{i} in f f (x)$ ），定义黎曼上积分为 $R \overline{\int_{a}^{b}} f (x) d x = in f S$ （对所有可能的划分取下确界），定义黎曼下积分为 $R \underline{\int_{a}^{b}} f (x) d x = sup s$ （对所有可能的划分取上确界），若 $R \overline{\int_{a}^{b}} f (x) d x = R \underline{\int_{a}^{b}} f (x) d x$ ，则称 $f (x)$ 是黎曼可积。

比如Dirichlet函数： $D (x) = {01, x \in Q \cap [0, 1], x \in Q \ [0, 1]$ ， $R \overline{\int_{a}^{b}} f (x) d x = 1$ 、 $R \underline{\int_{a}^{b}} f (x) d x = 0$ ，所以它不是黎曼可积函数。

Lebesgue可测函数的积分有三种定义方法：

定义方法一： $f : E \to R$ ， $- M < f (x) < M$ （有界），分割值域 $- M = l_{0} < l_{1} < \dots < l_{n} = M$ ，定义 $\sum_{i = 1}^{n} ξ_{i} m (E (∣ l_{1} \leq f < l_{i + 1} ∣))$ ， $ξ \in [l_{i}, l_{i + 1}]$ （这就要求 $E \in M$ ， $f \in M (E)$ ），当 $δ = 0 \leq i < n max (l_{i + 1} - l_{i}) \to 0$ 时上述求和的极限若存在即为积分。

定义方法二： $E \in M$ ， $f \in M (E)$ ，对定义域作任意划分 $E = j = 1 ⋃ m E_{j}$ ， $E_{i} \cap E_{j} = \emptyset$ （ $i \neq = j$ ），记 $b_{j} = x \in E_{j} in f f (x)$ ， $B_{j} = x \in E_{j} sup f (x)$ ，定义 $s = \sum_{j = 1}^{m} b_{j} m (E_{j})$ 、 $S = \sum_{j = 1}^{m} B_{j} m (E_{j})$ ，若有 $sup s = in f S$ ，该确界即为积分。

定义方法三： $E \in M$ ， $f \in M (E)$ ， $f \geq 0$ ，利用简单可测函数列定义积分，存在一列单调递增的非负简单函数列 ${ϕ_{n} (x)}$ ， $0 \leq ϕ_{1} \leq ϕ_{2} \leq \dots \leq ϕ_{n} \leq \dots$ ， $ϕ_{n} (x) = \sum_{i = 1}^{N^{(n)}} a_{i}^{(n)} χ_{E_{i}^{(n)}}$ ， $E_{i}^{(n)} \cap E_{j}^{(n)} = \emptyset$ （ $i \neq = j$ ）， $ϕ_{n} \to f$ ，对于每个简单函数定义其积分为 $\sum_{i = 1}^{N^{(n)}} = a_{i}^{(n)} m (E_{i}^{(n)})$ ，当 $n \to \infty$ 时若极限存在，则定义该极限为 $f (x)$ 的积分。

这三种定义方法是等价的，我们最常用的是第三种方法。

定义：设 $h (x)$ 是可测函集 $E \subset R^{n}$ 上的非负可测简单函数， $h (x) = \sum_{j = 1}^{m} a_{j} χ_{E_{j}} (x)$ ，定义 $h (x)$ 在 $E$ 上的积分为 $\int_{E} h (x) d x = \sum_{j = 1}^{m} a_{j} m (E_{j})$ .

该积分的几何意义是 $h (x)$ 的下方图 ${(x, y) \in R^{n + 1} ∣ x \in E, 0 \leq y \leq h (x)}$ 的体积，如图所示：

显然，如果 $m (E) \to 0$ ，那么 $\int_{E} \to 0$ ； $\int_{E} 1 d x = m (E)$ .

非负可测简单函数的积分性质：

线性性质1： $\forall a \geq 0, \int_{E} ah (x) d x = a \int_{E} h (x) d x$ ，
线性性质2：设 $g (x)$ 也是可测集 $E$ 上的非负可测简单函数，则 $\int_{E} h + g d x = \int_{E} h d x + \int_{E} g d x$
若 ${E_{k}}$ 是 $E$ 中的递增可测子集合列，满足 $k \to \infty lim E_{k} = E$ ，则 $k \to \infty lim \int_{E_{k}} h (x) d = \int_{E} h (x) d x$

定义：设 $f (x)$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数，定义 $f (x)$ 在 $E$ 上的积分为 $\int_{E} f (x) d x = sup {\int_{E} h (x) d x ∣ h (x) 是 E 上的非负简单可测函数, 且 h (x) \leq f (x)}$ .

注意：可以有 $\int_{E} f (x) d x = \infty$ ；若 $\int_{E} f (x) d x < \infty$ ，则称 $f (x)$ 在 $E$ 上是Lebesgue可积的（简称可积的），或称 $f (x)$ 是 $E$ 上的可积函数。（也就是说积分等于 $\infty$ 就不说它是可积的，只能称为有积分）

以下性质成立：

若 $m (E) = 0$ ，则 $E$ 上的非负可测函数 $f (x)$ 均可积，且 $\int_{E} f (x) d x = 0$
设 $f (x)$ 是 $E$ 是上的非负可测函数， $A$ 是 $E$ 中的可测子集，则 $\int_{A} f (x) d x = sup {\int_{A} h (x) d x ∣ h (x) 是 A 上的非负简单可测函数, 且 h (x) \leq f (x)} = sup {\int_{A} h (x) d x ∣ h (x) 是 E 上的非负简单可测函数, 且 h (x) \leq f (x) χ_{A} (x)} = sup {\int_{E} h (x) d x ∣ h (x) 是 E 上的非负简单可测函数, 且 h (x) \leq f (x) χ_{A} (x)} = \int_{E} f (x) χ_{A} (x) d x$
设 $f (x)$ 、 $g (x)$ 是 $E$ 是上的非负可测函数，若 $f (x) \leq g (x)$ （ $x \in E$ ），则 $\int_{E} f (x) d x = \int_{E} g (x) d x$
若 $m (E) < \infty$ ，则 $E$ 上的非负有界可测函数必是可积的

定理（Levi定理）：设 ${f_{k} (x)}$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数列，满足 $f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq \dots \leq f_{k} (x) \leq \dots$ ，且有 $k \to \infty lim f_{k} (x) = f (x)$ （ $x \in E$ ），则 $k \to \infty lim \int_{E} f_{k} (x) d x = \int_{E} f (x) d x$ .

即对于非负上升的可测函数列，积分的极限等于极限的积分。

证明：因为 $f (x)$ 是 $E$ 上的非负可测函数， $\int_{E} f (x) d x$ 有定义，又有 $\int_{E} f_{k} (x) d x \leq \int_{E} f_{k + 1} (x) d x$ ， $k = 1, 2, \dots$ ，所以 $k \to \infty lim \int_{E} f_{k} (x) d x$ 有定义，由于 $f_{k} (x) \leq f (x)$ ，可知 $k \to \infty lim \int_{E} f_{k} (x) d x \leq \int_{E} f (x) d x$ 。要证明两者相等，还需要证明 $k \to \infty lim \int_{E} f_{k} (x) d x \geq \int_{E} f (x) d x$ 。取 $α$ （ $0 < α < 1$ ），设 $h (x)$ 是 $E$ 上非负简单可测函数，且 $h (x) \leq f (x)$ （ $x \in E$ ），记 $E_{k} = E (f_{k} \geq α h)$ ， $k = 1, 2, \dots$ ，则 ${E_{k}}$ 是递增集合列，且 $k \to \infty lim E_{k} = E$ ，故有 $k \to \infty lim α \int_{E_{k}} h (x) d x = α \int_{E} h (x) d x$ ，于是从不等式 $\int_{E} f_{k} (x) d x \geq \int_{E_{k}} f_{k} (x) d x \geq \int_{E_{k}} α h (x) d x = α \int_{E_{k}} h (x) d x$ ，两边都令 $k \to \infty$ 可得 $k \to \infty lim \int_{E} f_{k} (x) d x \geq α \int_{E} h (x) d x$ ，再令 $α \to 1$ 可得 $k \to \infty lim \int_{E} f_{k} (x) d x \geq \int_{E} h (x) d x$ ，对所有满足条件的 $h (x)$ 取右端的上确界（即积分的定义）可得 $k \to \infty lim \int_{E} f_{k} (x) d x \geq \int_{E} f (x) d x$ ，得证。

Levi定理结合前面”非负可测函数可由上升的非负简单函数列逼近“可知，非负可测函数的积分性质可由简单函数的积分性质通过极限的形式得到。

定理（积分的线性性质）：设 $f (x)$ 、 $g (x)$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数，对于任意给定的非负常数 $α$ 、 $β$ 有： $\int_{E} (α f (x) + β g (x)) d x = α \int_{E} f (x) d x + β \int_{E} f (x) d x$ .

证明（用前面简单函数的积分性质取极限）：设 ${ϕ_{k} (x)}_{k \geq 1}$ 、 ${ψ_{k} (x)}_{k \geq 1}$ 是非负上升可测简单函数列，且 $k \to \infty lim ϕ_{k} (x) = f (x)$ 、 $k \to \infty lim ψ_{k} (x) = g (x)$ （ $\forall x \in E$ ），由于 ${α ϕ_{k} + β ψ_{k}}_{k \geq 1}$ 仍是非负上升可测简单函数列，且有 $k \to \infty lim (α ϕ_{k} (x) + β ψ_{k} (x)) = α f (x) + β g (x)$ （ $\forall x \in E$ ），由简单函数的积分的线性性质和Levi定理可得， $\int_{E} (α f (x) + β g (x)) d x = k \to \infty lim \int_{E} (α ϕ_{k} (x) + β ψ_{k} (x)) d x = α k \to \infty lim \int_{E} ϕ_{k} (x) d x + β k \to \infty lim \int_{E} ψ_{k} (x) d x = α \int_{E} f (x) d x + β \int_{E} g (x) d x$

推论：设 $f (x)$ 、 $g (x)$ 是 $E$ 上的非负可测函数，则：

若 $f = g a . e . [E]$ ，则 $\int_{E} f (x) d x = \int_{E} g (x) d x$
若 $\int_{E} f (x) d x < \infty$ ，则 $f (x) < \infty a . e . [E]$
若 $\int_{E} f (x) d x = 0$ ，则 $f = 0 a . e . [E]$

证明：（1）记 $E_{1} = E (f \neq = g)$ ， $E_{2} = E \ E_{1}$ ，则 $m (E_{1}) = 0$ ， $∴ \int_{E} f (x) d x = \int_{E} f (χ_{E_{1}} + χ_{E_{2}}) d x = \int_{E_{1}} f (x) d x + \int_{E_{2}} f (x) d x = \int_{E_{1}} g (x) d x + \int_{E_{2}} g (x) d x = \int_{E} g (x) d x$ （由于在 $E_{2}$ 上 $f = g$ ，所以可以把 $f$ 换成 $g$ ，而 $\int_{E_{1}} f (x) d x = \int_{E_{1}} g (x) d x = 0$ ，因此 $E_{1}$ 上也可以换成 $g$ ）

（2）记 $E_{k} = E (f > k)$ ，则 $E_{\infty} = E (f = \infty) = k = 1 ⋂ \infty E_{k}$ ， $\forall k$ ， $k \cdot m (E_{k}) \leq \int_{E_{k}} f (x) d x \leq \int_{E} f (x) d x < \infty$ （第一个不等式是因为在 $E_{k}$ 上 $f > k \Rightarrow \int_{E_{k}} f d x \geq \int_{E_{k}} k d x = k \int_{E_{k}} d x$ ）， $∴ k \to \infty lim m (E_{k}) = 0$ （前面可得 $k \cdot m (E_{k}) < M$ （ $M$ 是一个很大的常数，当 $k \to \infty$ 时 $m (E_{k}) \to 0$ ）， $i . e . m (E_{\infty}) = 0$ ，得证。

（3） $\forall k \in N$ ，令 $E_{k} = E (f \geq \frac{1}{k})$ ，于是我们有 $0 = \int_{E} f (x) d x \geq \int_{E_{k}} fd x \geq \int_{E_{k}} \frac{1}{k} d x = \frac{1}{k} m (E_{k}) \geq 0$ ， $∴ m (E_{k}) = 0$ ， $m (E (f \neq = 0)) = m (k = 1 ⋃ \infty E_{k}) = 0$ ，得证。

2. Lebesgue一般可测函数的积分

定义：设 $f (x) \in M (E)$ ，若 $f^{+} (x)$ 和 $f^{-}$ 中至少有一个是可积的，则称 $\int_{E} f (x) d x = \int_{E} f^{+} (x) d x - \int_{E} f^{-} (x) d x$ 为 $f (x)$ 在 $E$ 上的积分。当上式右端两个积分值都有限时，称 $f (x)$ 在 $E$ 上是Lebesgue可积的，简称可积的，或称 $f (x)$ 是 $E$ 上的可积函数。在 $E$ 上的全体可积函数记为 $L (E)$ .

即把 $f (x)$ 分为正、负两部分， $f^{+} (x) = max (f (x), 0)$ 、 $f^{-} (x) = max (- f (x), 0)$ ，则 $f = f^{+} - f^{-}$ ， $∣ f ∣ = f^{+} + f^{-}$ .

由定义易证：

$\int_{E} ∣ f ∣ d x = \int_{E} f^{+} d x + \int_{E} f^{-} d x$
$f^{+} \in L (E), f^{-} \in L (E) \Leftrightarrow f \in L (E) \Leftrightarrow ∣ f ∣ \in L (E)$ （即可积即为绝对可积，这是与黎曼积分不同的点）
$∣ \int_{E} f (x) d x ∣ \leq \int_{E} ∣ f (x) ∣ d x$

比如： $f (x) = {\frac{1}{x} sin (\frac{1}{x}) 0, 0 < x < 1, x = 0$ ，图像如下：

$f (x)$ 是 $[0, 1]$ 上的广义黎曼可积函数（即 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} sin (\frac{1}{x}) d x := s \to 0 lim \int_{0}^{1} \frac{1}{x} sin (\frac{1}{x}) d x$ ），但 $∣ f (x) ∣$ 不是广义黎曼可积的。

而 $f (x)$ 不是Lebesgue可积的，因为对于广义黎曼可积，它的正部和负部可以抵消掉一大部分，所以才可积，而对于Lebesgue可积，要求正部、负部都分别可积，而如果正部和负部分开的话，它是不可积的（而 $∣ f ∣$ 不是广义黎曼可积也是同样的原因）。

其实以前的级数也有类似的情况，不是绝对收敛的级数求和要注意，如 $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots$ ，由于它每一项都是正的，所以它收敛到一个正数，但是经过重排后变为 $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{4 n} - \frac{1}{4 n + 2}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} - \frac{1}{10} + \frac{1}{7} - \frac{1}{13} - \frac{1}{14} + \dots$ ，由于每一项都是负的，所以它收敛到一个负数。

一个条件收敛但不绝对收敛的级数适当地重新排列之后，可以收敛于任何值。（格奥尔格·黎曼）

一些简单的性质：

若 $f \in L (E)$ ，则 $∣ f ∣ < \infty a . e . [E]$
若 $f = g a . e . [E]$ 、 $f \in L (E)$ ，则 $g \in L (E)$ ，且 $\int_{E} f (x) d x = \int_{E} g (x) d x$
若 $f \in M (E)$ 、 $g \in L (E)$ 、 $∣ f ∣ \leq g$ ，则 $f \in L (E)$ ，且 $∣ \int_{E} f (x) d x ∣ \leq \int_{E} g (x) d x$
若 $f, g \in L (E)$ 、 $f (x) \leq g (x)$ ，则 $\int_{E} f (x) d x \leq \int_{E} g (x) d x$
若 $m (E) < \infty$ ，则对任意 $f \in M (E)$ 且 $∣ f ∣ < M$ （其中 $M$ 是一个常数），都有 $f \in L (E)$ （即，测度有限的集合上的有界可测函数都是可积的）

定理（积分的线性性质）：设 $f, g \in L (E)$ ， $α \in R$ ，则 $α f \in L (E)$ 、 $f + g \in L (E)$ ，且 $\int_{E} α f d x = α \int f d x$ 、 $\int_{E} f + g d x = \int_{E} f d x + \int_{E} g d x$

因此 $L (E)$ 是一个线性空间。

证明：不妨设 $f (x)$ 、 $g (x)$ 处处有限（避免出现 $\infty - \infty$ ，且这种情况可以通过除去一个零测集来得到）。

（1）若 $α > 0$ ，显然有 $(α f)^{+} = α f^{+}$ 、 $(α f)^{-} = α f^{-}$ ，根据非负可测函数的性质， $\int_{E} α f d x = \int_{E} α f^{+} d x - \int_{E} α f^{-} d x = α (\int_{E} f^{+} d x - \int_{E} f^{-} d x) = α \int_{E} f d x$

（2）由 $∣ f + g ∣ \leq ∣ f ∣ + ∣ g ∣$ 可知 $f + g \in L (E)$ ， $\int_{E} (f + g)^{+} + \int_{E} f^{-} d x + \int_{E} g^{-} d x = \int_{E} (f + g)^{-} d x + \int_{E} f^{+} d x + \int_{E} g^{+} d x$ （非负可测函数的积分线性性质）， $∴ \int_{E} (f + g) d x = \int_{E} f d x + \int_{E} g d x$

定理（有界可测函数可积的另一等价条件）：设 $f (x)$ 是 $E$ 上的有界可测函数 $∣ f ∣ < M$ （ $\forall x \in E$ ）， $m (E) < \infty$ ，作 $[- M, M]$ 的划分： $- M = α_{0} < α_{1} < \dots < α_{k} = M$ ，令 $δ = 1 \leq j \leq k max (α_{j} - α_{j - 1})$ ，记 $E_{j} = E (α_{j - 1} \leq f < α_{j})$ ， $j = 1, 2, \dots, k$ ，则对于任意 $ξ_{j} \in [α_{j - 1}, α_{j}]$ ， $j = 1, 2, \dots, k$ ，极限 $δ \to 0 lim \sum_{j = 1}^{k} ξ_{j} m (E_{j})$ 存在且 $δ \to 0 lim \sum_{j = 1}^{k} ξ_{j} m (E_{j}) = \int_{E} f (x) d x$ .

证明： $∵ α_{j - 1} \leq ξ_{j} \leq α_{j}$ ， $∴ ∣ \sum_{j = 1}^{k} α_{j - 1} m (E_{j}) - \sum_{j = 1}^{k} ξ_{j} m (E_{j}) ∣ = \sum_{j = 1}^{k} (ξ_{j} - α_{j - 1}) m (E_{j}) \leq δ \sum_{j = 1}^{k} m (E_{j}) = δ m (E)$ ，即当 $δ \to 0$ 时两式很接近，所以只需证明 $δ \to 0 lim \sum_{j = 1}^{k} α_{j - 1} m (E_{j})$ 存在且 $δ \to 0 lim \sum_{j = 1}^{k} α_{j - 1} m (E_{j}) = \int_{E} f (x) d x$ 。

由于 $\forall x \in E_{j}$ ， $α_{j - 1} \leq f (x) < α_{j} \leq α_{j - 1} + δ$ ，我们有 $α_{j - 1} m (E_{j}) \leq \int_{E_{j}} f (x) d x \leq α_{j - 1} m (E_{j}) + δ m (E_{j})$ ， $\sum_{j = 1}^{k} α_{j - 1} m (E_{j}) \leq \int_{E} f (x) d x \leq \sum_{j = 1}^{k} α_{j - 1} m (E_{j}) + δ m (E)$ ，得证。

定理（积分的绝对连续性）：设 $f (x) \in L (E)$ ，则 $\forall ϵ > 0, \exists δ > 0, s, t, \forall A \subset E$ ，当 $m (A) < δ$ 时，有 $∣ \int_{A} f (x) d x ∣ \leq \int_{A} ∣ f (x) ∣ d x < ϵ$ .

证明：我们有 $∣ f (x) ∣ \in L (E)$ ， $\forall ϵ > 0$ ，存在简单可测函数 $ϕ (x)$ ，使得 $0 \leq ϕ (x) \leq ∣ f (x) ∣$ （ $\forall x \in E$ ）， $\int_{E} (∣ f ∣ - ϕ) d x < \frac{ϵ}{2}$ ，令 $M = x max ϕ (x)$ 、 $δ = \frac{ϵ}{2 M}$ ，则 $\forall A \subset E$ ，当 $m (A) < δ$ 时，我们有 $\int_{A} ∣ f (x) ∣ d x = \int_{A} (∣ f (x) ∣ - ϕ (x)) d x + \int_{A} ϕ (x) d x \leq \int_{E} (∣ f (x) ∣ - ϕ (x)) d x + m (A) M d x \leq ϵ$ （其中 $m (A) M \leq δ M = \frac{ϵ}{2 M} \cdot M$ ），得证。

定理（积分的平移不变性）：设 $f (x) \in L (R^{n})$ ，则 $\forall y \in R^{n}$ ，有 $f (x + y) \in L (R^{n})$ ，且 $\int_{R^{n}} f (x + y) d x = \int_{R^{n}} f (x) d x$ .

平移不变性和黎曼积分类似，如果是在 $R^{n}$ 上的积分，平移后积分区域不需要改变，但是如果在某个区域 $E_{i}$ 上积分，平移后积分区域要像黎曼积分那样作相应的改变。

证明：首先考虑 $f (x)$ 是非负简单可测函数的情形， $f (x) = \sum_{i = 1}^{k} α_{i} χ_{E_{i}} (x)$ ， $x \in R^{n}$ ，则有 $f (x + y) = \sum_{i = 1}^{k} α_{i} χ_{E_{i} - y} (x)$ ， $x \in R^{n}$ ，它仍是一个非负简单可测函数，且 $\int_{R^{n}} f (x + y) d x = \sum_{i = 1}^{k} α_{m} (E_{i} - y) = \sum_{i = 1}^{k} α_{i} m (E_{i}) = \int_{R^{n}} f (x) d x$ ；

其次考虑 $f (x)$ 是一般的非负可测函数，则存在非负简单可测函数列 ${ϕ_{k} (x)}$ ， $ϕ_{1} (x) \leq ϕ_{2} (x) \leq \dots \leq ϕ_{k} (x) \leq \dots$ ， $k \to \infty lim ϕ_{k} (x) = f (x)$ （其中 $x \in R^{n}$ ），易知 ${ϕ (x + y)}$ 也是一个升列，且 $k \to \infty lim ϕ_{k} (x + y) = f (x + y)$ （其中 $x \in R^{n}$ ），由Levi定理得， $\int_{R^{n}} f (x + y) d x = k \to \infty lim \int_{R^{n}} ϕ_{k} (x + y) d x = k \to \infty lim \int_{R^{n}} ϕ_{k} (x) d x = \int_{R^{n}} f (x) d x$ ；

最后对于一般的可测函数，由 $f^{+} (x)$ 和 $f^{-} (x)$ 的平移不变性可得 $f (x)$ 的平移不变性。

定理：设 $f (x) \in L (E)$ ，则 $\forall ϵ > 0$ ，存在 $R^{n}$ 上具有紧支集的连续函数 $g (x)$ ，使得 $\int_{E} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x < ϵ$ .

函数 $g (x)$ 的支（撑）集： $supp g (x) = {x ∣ g (x) \neq = 0}$ ，如下图：

若一个函数的支集是紧的，则称它具有紧支集。（第一章第七节的定理： $R^{n}$ 中的紧集即为有界闭集）

该定理说明了，若 $f \in L (E)$ ，则 $\forall ϵ > 0$ ，存在 $f$ 的一个分解 $f = g + (f - g) =: f_{1} + f_{2}$ ，其中 $f_{1}$ 是具有紧支集的连续函数， $f_{2}$ 的积分小于 $ϵ$ .

也就是说，只要 $f (x)$ 可积且有紧支集（即使 $f (x)$ 间断或震荡），那就可以找到一个连续函数 $g (x)$ 去逼近它。

证明：由 $f (x) \in L (E)$ 可知， $\forall ϵ > 0$ ，存在 $R^{n}$ 上具有紧支集的可测函数 $ϕ (x)$ ，使得 $\int_{E} ∣ f (x) - ϕ (x) ∣ d x < \frac{ϵ}{2}$ 。不妨设 $∣ ϕ (x) ∣ < M$ （有界），由Lusin定理和扩张定理，存在 $R^{n}$ 上具有紧支集的连续函数 $g (x)$ ，使得 $m (E (ϕ \neq = g)) < \frac{ϵ}{4 M}$ ，则 $∣ g (x) ∣ \leq M$ （ $x \in R^{n}$ ）（这里是通过扩张定理将 $E$ 上的 $g (x)$ 扩张到 $R^{n}$ ，由于 $ϕ (x)$ 和 $g (x)$ 很接近，所以 $g (x)$ 的界和 $ϕ (x)$ 一样），从而有 $\int_{E} ∣ ϕ (x) - g (x) ∣ d x = \int_{E (∣ ϕ - g ∣ > 0)} ∣ ϕ (x) - g (x) ∣ d x \leq \int_{E (ϕ \neq = g)} (∣ ϕ (x) ∣ + ∣ g (x) ∣) d x \leq 2 M m (E (ϕ \neq = g)) < \frac{ϵ}{2}$ ，我们有 $\int_{E} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x \leq \int_{E} ∣ f (x) - ϕ (x) ∣ d x + \int_{E} ∣ ϕ (x) - g (x) ∣ d x < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ$ .

定理：设 $f (x) \in L (E)$ ，则存在 $R^{n}$ 上具有紧支集的连续函数列 ${g_{k} (x)}$ ，使得：

（1） $k \to \infty lim \int_{E} ∣ f (x) - g_{k} (x) ∣ d x = 0$ ；

（2） $k \to \infty lim g_{k} (x) = f (x) a . e . [E]$ ；

3. 黎曼积分和Lebesgue积分的关系

定理：设 $f (x)$ 是闭区间 $I = [a, b]$ 上的有界函数，若 $f (x)$ 在 $I$ 上黎曼可积，则 $f (x)$ 在 $I$ 上也是Lebesgue可积的，且 $\int_{I} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

此处 $\int_{I} f (x) d x$ 表示Lebesgue可积， $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 表示黎曼可积。

也就是说，一般情况下黎曼可积的函数总是Lebesgue可积的，且积分值一样（但反过来则不成立）。

证明：因为 $f$ 在区间 $I$ 上有界，只要证 $f$ 可测，就有 $f \in L (I)$ 。（因为 $∣ f ∣ \leq M \Rightarrow 可测 \int_{I} ∣ f ∣ d x \leq \int_{I} M d x < \infty$ ）

考虑 $I$ 上的一列划分 ${Δ_{n}}$ ， $Δ_{n} : a = x_{0}^{(n)} < x_{1}^{(n)} < \dots < x_{i_{n}}^{(n)} = b$ ， $Δ_{n} \subset Δ_{n + 1}$ ， $∣ Δ_{n} ∣ = 1 \leq i \leq i_{n} max {x_{i}^{(n)} - x_{i - 1}^{(n)}} \to 0$ ， $M_{i}^{(n)} = sup {f (x) ∣ x_{i - 1}^{(n)} \leq x \leq x_{i}^{(n)}}$ ， $m_{i}^{(n)} = in f {f (x) ∣ x_{i - 1}^{(n)} \leq x \leq x_{i}^{(n)}}$ ，由于 $f$ 在 $I$ 上黎曼可积，由黎曼积分的定义可知， $n \to \infty lim \sum_{i = 1}^{i_{n}} m_{i}^{(n)} (x_{i}^{(n)} - x_{i - 1}^{(n)}) = n \to \infty lim \sum_{i = 1}^{i_{n}} M_{i}^{(n)} (x_{i}^{(n)} - x_{i - 1}^{(n)}) = \int_{a}^{b} f d x$ ，定义以下两个函数列 $ϕ_{n} (x) = {m_{i}^{(n)} f (a), x \in (x_{i - 1}^{(n)}, x_{i}^{(n)}], x = a$ ， $ψ_{n} (x) = {M_{i}^{(n)} f (a), x \in (x_{i - 1}^{(n)}, x_{i}^{(n)}], x = a$ ，因为 $Δ_{n} \subset Δ_{n + 1}$ ，当区间缩小时，上确界不增，下确界不减，见下图（绿色线表示原来的极大极小值，由于区间更细分，第一个区间上极小值变成了蓝色线；上升的部分同理）：

故有 ${ψ_{1} \geq ψ_{2} \geq \dots \geq ψ_{n} \dots \geq f ϕ_{1} \leq ϕ_{2} \leq \dots \leq ϕ_{n} \dots \leq f$ ，于是 ${n \to \infty lim ψ_{n} =: \overline{f} \geq f n \to \infty lim ϕ_{n} =: \underline{f} \leq f$ ，即得 $\overline{f} \geq f \geq \underline{f}$ ，极限函数 $\overline{f}$ 、 $\underline{f}$ 都是有界可测的，故它们都是Lebesgue可积的，且 $\overline{f} - \underline{f}$ 是非负可测函数，故有 $\int_{I} (\overline{f} - \underline{f}) d x \geq 0$ ，又由 ${\int_{I} \underline{f} d x \geq \int_{I} ϕ_{n} d x = \int_{a}^{b} ϕ_{n} d x = \sum_{i = 1}^{i_{n}} m_{i} (x_{i}^{(n)} - x_{i - 1}^{(n)}) \to \int_{a}^{b} f d x \int_{I} \overline{f} d x \leq \int_{I} ψ_{n} d x = \int_{a}^{b} ψ_{n} d x = \sum_{i = 1}^{i_{n}} M_{i} (x_{i}^{(n)} - x_{i - 1}^{(n)}) \to \int_{a}^{b} f d x$ ，可得 $\int_{I} \overline{f} d x \leq \int_{a}^{b} f d x \leq \int_{I} \underline{f} d x$ ，所以 $\int_{I} \overline{f} d x = \int_{I} \underline{f} d x$ ，即 $\int_{I} (\overline{f} - \underline{f}) d x = 0$ ，由前面定理知， $\overline{f} - \underline{f} = 0 a . e . [I]$ ，从而 $\overline{f} = f = \underline{f} a . e . [I]$ ，因此 $f$ 在 $I$ 上可测，且 $f$ 的Lebesgue积分等于黎曼积分。

4. 测度空间上的可测函数积分

定义：给定 $(X, F, μ)$ 上的非负 $μ$ 可测简单函数 $h (x) = \sum_{j = 1}^{m} a_{j} χ_{A_{j}} (x)$ （ $\forall x \in X$ ）， $0 \leq a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m} \in R$ ， $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ 是互不相交的可测集，定义 $h$ 在 $X$ 上的关于测度 $μ$ 的积分为 $\int_{X} h (x) μ (d x) = \sum_{j = 1}^{m} a_{j} μ (A)$ 。我们将由非负 $μ$ 可测简单函数全体组成的空间记为 $S^{+} (X)$ .

定义：设 $I : S^{+} (X) \to R \cup {\infty}$ ， $I (h) = \int_{X} h (x) μ (d x)$ ，易见映射 $I$ 是 $S^{+} (X)$ 上的可加泛函，即 $\forall h_{1}, h_{2} \in S^{+} (X)$ 有 $I (h_{1} + h_{2}) = I (h_{1}) + I (h_{2})$ ，并且 $\forall a \in R^{+}$ 有 $I (ah) = a I (h)$ .

泛函就是函数的函数。

定义：设 $f (x)$ 是 $X$ 上的非负 $μ$ 可测函数，定义 $f$ 在 $X$ 上的积分为 $\int_{X} f μ (d x) = sup {\int_{X} h (x) μ (d x) ∣ h \in S^{+} (X), h \leq f}$ ，这里的积分可以是 $\infty$ ，若 $\int_{X} f (x) μ (d x) < \infty$ ，则称 $f$ 在 $X$ 上是 $μ$ 可积的。全体非负 $μ$ 可积函数的集合记作 $L^{+} (x)$ .

前面的非负Lebesgue可积函数的性质可以推广到非负 $μ$ 可积函数。（略）

定义（一般可测函数的积分）：设 $f (x) \in M (X, F, μ)$ ，若 $f^{+} (x)$ 和 $f^{-} (x)$ 中至少有一个是 $μ$ 可积的，则称 $\int_{X} f (x) μ (d x) = \int_{X} f^{+} (x) μ (d x) - \int_{X} f^{-} (x) μ (d x)$ 为 $f$ 在 $X$ 上的积分。若上式右端有限，则称 $f$ 在 $X$ 上 $μ$ 可积。在 $X$ 上可积函数的全体记作 $L (X, F, μ)$ 或 $L (X)$ .

前面的Lebesgue可积函数的性质可以推广到 $μ$ 可积函数。（略）

5. Lebesgue积分与极限定理

定理（Lebesgue基本定理）：设 ${f_{n} (x)}$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数列， $f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ ，则 $\int_{E} f (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E} f_{n} (x) d x$ .

也就是说，非负可测函数的级数求和与求积分运算次序可换： $\int_{E} \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E} f_{n} (x) d x$ .

证明：令 $S_{k} (x) = \sum_{n = 1}^{k} f_{n} (x)$ ，则 ${S_{k} (x)}$ 是非负可测函数列， $S_{k} (x) \leq S_{k + 1} (x)$ ，且 $k \to \infty lim S_{k} (x) = f (x)$ ，故由Levi定理， $\int_{E} f (x) d x = k \to \infty lim \int_{E} S_{k} (x) d x = k \to \infty lim \sum_{n = 1}^{k} \int_{E} f_{n} (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E} f_{n} (x) d x$ .

定理：若 ${E_{n}}$ 是可测集 $E$ 的互不相交的可测子集， $E = n = 1 ⋃ \infty E_{n}$ ，当函数 $f (x)$ 在 $E$ 上有积分时， $f (x)$ 在每一个子集 $E_{n}$ 上都是有积分的。特别地，当 $f \in L (E)$ 时， $f \in L (E_{n})$ ，并且 $\int_{E} f (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E_{n}} f (x) d x$ .

注意区分，有积分和可积。

证明：我们有 $\int_{E_{n}} f^{+} (x) d x = \int_{E} f^{+} (x) χ_{E_{n}} (x) d x$ 和 $f^{+} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f^{+} (x) χ_{E_{n}} (x)$ ，由Lebesgue基本定理，有 $\int_{E} f^{+} (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E} f^{+} (x) χ_{E_{n}} (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E_{n}} f^{+} (x) d x$ ，类似地可证 $\int_{E} f^{-} (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E_{n}} f^{-} (x) d x$ ，当 $f (x)$ 在 $E$ 上有积分时，积分 $\int_{E} f^{+} (x) d x$ 与 $\int_{E} f^{-} (x) d x$ 之间至少有一个有限，不妨设 $\int_{E} f^{+} (x) d x < \infty$ ，故正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E_{n}} f^{+} (x) d x = \int_{E} f^{+} (x) d x < \infty$ ，所以 $\int_{E_{n}} f^{+} (x) d x < \infty$ ，即 $f (x)$ 在 $E_{n}$ 上有积分，进而有 $\int_{E} f (x) d x = \int_{E} f^{+} (x) d x - \int_{E} f^{-} (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E_{n}} f^{+} (x) d x - \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E_{n}} f^{-} (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} (\int_{E_{n}} f^{+} (x) d x - \int_{E_{n}} f^{-} (x) d x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E_{n}} f (x) d x$ .

当 $f \in L (E)$ 时， $\int_{E} f^{+} (x) d x < \infty$ ， $\int_{E} f^{-} (x) d x < \infty$ ，所以 $\int_{E_{n}} f^{+} (x) d x < \infty$ ， $\int_{E_{n}} f^{-} (x) d x < \infty$ ，即 $f \in L (E_{n})$ .

定理（Fatou引理）：设 ${f_{n} (x)}$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数列，则 $\int_{E} n \to \infty \underline{lim} f_{n} (x) d x \leq n \to \infty \underline{lim} \int_{E} f_{n} (x) d x$ .

极限存在 $\Leftrightarrow$ 上、下极限相等（且等于极限）；因此有时极限也可以用这个定理。

证明：考虑非负函数 $g_{n} (x) = in f {f_{j} (x) ∣ j \geq n}$ ，显然有 $g_{n} (x) \leq g_{n + 1} (x)$ ， $k = 1, 2, \dots$ ， $n \to \infty lim g_{n} (x) = n \to \infty \underline{lim} f_{n} (x)$ （ $x \in E$ ），再由Levi定理得 $\int_{E} n \to \infty \underline{lim} f_{n} (x) d x = \int_{E} n \to \infty lim g_{n} (x) d x = n \to \infty lim \int_{E} g_{n} (x) d x \leq n \to \infty \underline{lim} \int_{E} f_{n} (x) d x$ ，

例： $f_{n} (x) = \frac{n}{2 π} e^{- \frac{n x ^{2}}{2}}$ ， $x \in R$ ， $n = 1, 2, \dots$ ，显然， $\int_{R} f_{n} (x) d x = 1$ ，同时， $n \to \infty lim f_{n} (x) = f (x) = 0$ （ $\forall x \neq = 0$ ）（因为指数收敛速度比乘法快）， $\int_{R} n \to \infty lim f_{n} (x) d x = 0 < 1 = n \to \infty lim \int_{R} f_{n} (x) d x$ .

定理（控制性收敛定理）：设 $E \subset M$ ， ${f_{n} (x)} \subset M (E)$ ， $n \to \infty lim f_{n} (x) = f (x) a . e . [E]$ ，若存在函数 $F (x) \in L (E)$ ，使得 $\forall n \in N$ ， $∣ f_{n} (x) ∣ \leq F (x) a . e . [E]$ ，则 $f_{n} (x) \in L (E)$ ， $n = 1, 2, \dots$ ， $f (x) \in L (E)$ ， $n \to \infty lim \int_{E} f_{n} (x) d x = \int_{E} f (x) d x$ .

函数 $F (x)$ 称为函数列 ${f_{n} (x)}$ 的控制函数。

也就是说，如果能找到一个可积的控制函数，那么积分和极限就可以交换顺序。

证明：显然 $f (x) \in M (E)$ ，且由 $∣ f_{n} (x) ∣ \leq F (x) a . e . [E]$ ，可知 $∣ f (x) ∣ \leq F (x) a . e . [E]$ ，因此 $f (x) \in L (E)$ ，考虑 $E$ 上的可积函数列 $g_{n} (x) = ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣$ ， $n = 1, 2, \dots$ ，则 $\forall n$ 有 $0 \leq g_{n} (x) \leq 2 F (x)$ ，由Fatou引理得 $\int_{E} n \to \infty lim [2 F (x) - g_{n} (x)] d x \leq n \to \infty \underline{lim} \int_{E} [2 F (x) - g_{n} (x)] d x$ （左边极限存在所以可以写极限，右边极限不一定存在，所以写下极限），因此 $2 \int_{E} F (x) d x - \int_{E} n \to \infty lim g_{n} (x) d x \leq 2 \int_{E} F (x) d x - n \to \infty \overline{lim} \int_{E} g_{n} (x) d x$ （右端把负号提出来就会从下极限变为上极限），即 $n \to \infty \overline{lim} \int_{E} g_{n} (x) d x \leq \int_{E} n \to \infty lim g_{n} (x) d x$ ，由于 $n \to \infty lim g_{n} (x) d x = 0 a . e . [E]$ ，即得 $n \to \infty \overline{lim} \int_{E} g_{n} (x) d x = 0$ ，最后，由不等式 $∣ \int_{E} f (x) d x - \int_{E} f_{n} (x) d x ∣ \leq \int_{E} ∣ f (x) - f_{n} (x) ∣ d x \leq \int_{E} g_{n} (x) d x \to n \to \infty 0$ ，得到 $n \to \infty lim \int_{E} f_{n} (x) d x = \int_{E} f (x) d x$ .

推论：设 $E \in M$ ， ${f_{n} (x)} \in M (E)$ ， $f_{n} ⟶ m f$ （依测度收敛），若存在函数 $F (x) \in L (E)$ ，使得 $\forall n \in N$ 有 $∣ f_{n} (x) ∣ \leq F (x) a . e . [E]$ ，则 $f_{n} (x) \in L (E)$ ， $n = 1, 2, \dots$ ， $f (x) \in L (E)$ ， $n \to \infty lim \int_{E} f_{n} (x) d x = \int_{E} f (x) d x$ .

证明： $f_{n} ⟶ m f$ ，由Riesz定理知，存在子列 $f_{n_{k}} \to f a . e . [E]$ ，故 $f (x) \in L (E)$ ，记 $g_{n} (x) = ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣$ ， $n = 1, 2, \dots$ ，如上面定理的证明一样，只要证明 $n \to \infty lim \int_{E} g_{n} (x) d x = 0$ 。下面用反证法证明：如若不然，则对于某个 $ϵ > 0$ ，存在 $n_{1} < n_{2} < \dots$ 使得 $\int_{E} g_{n_{k}} (x) d x \geq ϵ$ （ $k =, 1, 2, \dots$ ）， $∵ f_{n_{k}} ⟶ m f$ （ $k \to \infty$ ），由Riesz定理知，存在子列 ${f_{n_{k_{j}}}} \subset {f_{n_{k}}}$ 使得 $f_{n_{k_{j}}} \to f a . e . [E]$ （ $n_{k_{j}} \to \infty$ ），由上述定理的证明有 $n \to \infty lim \int_{E} g_{n_{k_{j}}} (x) d x = 0$ ，与 $\int_{E} g_{n_{k_{j}}} (x) d x \geq ϵ$ 矛盾，得证。

推论（有界收敛定理）：设 $m (E) < \infty$ ， ${f_{n} (x)} \subset L (E)$ ，且 ${f_{n} (x)}$ 一致有界（即 $\forall x \in E$ 存在常数 $M > 0$ 使得 $∣ f_{n} (x) ∣ < M$ ， $n = 1, 2, \dots$ ），则当 $f_{n} (x) \to f (x) a . e . [E]$ 或 $f_{n} ⟶ m f$ 时， $n \to \infty lim \int_{E} f_{n} (x) d x = \int_{E} f (x) d x$ .

例1：求 $I = n \to \infty lim \int_{0}^{\infty} f_{n} (x) d x$ ，其中 $f_{n} (x) = e^{- x} cos x \cdot \frac{l n ( n + x )}{n}$ .

解：如果积分与极限可以交换位置，则 $I = \int_{0}^{\infty} n \to \infty lim f_{n} (x) d x = 0$ （因为 $n \to \infty$ 时 $ln n$ 的收敛速度比 $n$ 慢），这里我们需要找到一个控制函数， $∣ e^{- x} cos x \cdot \frac{l n ( n + x )}{n} ∣ \leq e^{- x} cos x \cdot \frac{l n ( n + x )}{n + x} \cdot \frac{n + x}{n} \leq e^{- (1 + x)} (1 + x) =: F (x)$ （其中 $\frac{l n ( n + x )}{n + x} \leq e^{- 1}$ 、 $\frac{n + x}{n} \leq 1 + x$ 、 $cos$ 最大值是1）， $\forall x \geq 0$ ， $\forall n$ ， $∵ \int_{0}^{\infty} F (x) < \infty$ ， $∴ F \in L ([0, \infty))$ ， $F (x)$ 即为要找的控制函数，故 $I = 0$ .

例2：求 $I = n \to \infty lim \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x$ ，其中 $f_{n} (x) = \frac{n ^{\frac{3}{2}} x}{1 + n ^{2} x ^{2}}$ .

解：注意到 $\forall x > 0, n = 1, 2, \dots$ 有 $\frac{n ^{\frac{3}{2}} x}{1 + n ^{2} x ^{2}} \leq x^{- \frac{1}{2}} =: F (x)$ ，易知 $F (x) \in L ([0, 1))$ ，由控制收敛定理 $I = n \to \infty lim \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} n \to \infty lim f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} 0 d x = 0$ .

定理（逐项积分）：设 $m (E) < \infty$ ， ${f_{n} (x)} \subset L (E)$ ，若 $\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E} ∣ f_{n} (x) ∣ d x < \infty$ ，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ 在 $E$ 上几乎处处收敛；记 $f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ ，则有 $f (x) \in L (E)$ ， $\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E} f_{n} (x) d x = \int_{E} f (x) d x$ .

证明：定义 $F (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} ∣ f_{n} (x) ∣$ ，由非负可测函数的逐项积分定理可知， $\int_{E} F (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E} ∣ f_{n} (x) ∣ d x < \infty$ ，故 $F \in L (E)$ ，从而 $F (x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限，也即 $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ 几乎处处收敛。

记 $f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ ，由 $∣ f (x) ∣ \leq \sum_{n = 1}^{\infty} ∣ f_{n} (x) ∣ = F (x) a . e . [E]$ 可知 $f (x) \in L (E)$ ，记 $S_{m} (x) = \sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x) \leq F (x)$ ， $m = 1, 2, \dots$ ，亦有 $∣ S_{m} (x) ∣ \leq \sum_{n = 1}^{m} ∣ f_{n} (x) ∣ \leq F (x)$ ， $m = 1, 2, \dots$ ，利用控制收敛定理可得 $\int_{E} f (x) d x = \int_{E} m \to \infty lim S_{m} (x) d x = m \to \infty lim \int_{E} S_{m} (x) d x = 线性 \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E} f_{n} (x) d x$ .

6. 参变积分

定义：设 $E \subset R^{n}$ ， $E \in M$ ， $f (x, y) : E \times [a, b] \to \overline{R}$ ， $f (\cdot, y) \in L (E)$ （ $\forall y \in [a, b]$ ），则 $ϕ (y) = \int_{E} f (x, y) d x : [a, b] \to R$ ，称为 $[a, b]$ 上的参变积分。

定理；对于上述参变积分 $ϕ (y)$ ，如下结论成立：

（1）若存在 $F (x) \in L (E)$ ，使得 $\forall x \in E, y \in [a, b]$ 有 $∣ f (x, y) ∣ \leq F (x)$ ，则若 $y \to y_{0} lim f (x, y) exists a . e . in [E]$ ，就有 $y \to y_{0} lim ϕ (y) = \int_{E} y \to y_{0} lim f (x, y) d x$ .（即如果能找到一个控制函数，且极限存在，则积分和极限可以交换顺序）

（2）若存在 $F (x) \in L (E)$ ，使得 $\forall x \in E, y \in [a, b]$ 有 $∣ f (x, y) ∣ \leq F (x)$ ，若对于几乎所有的 $x \in E$ ，函数 $f (x, y)$ 在 $y_{0} \in [a, b]$ 连续，则 $ϕ (y)$ 在 $y_{0}$ 连续.（连续即 $y \to y_{0} lim ϕ (y) = ϕ (y_{0}) = \int_{E} f (x, y_{0}) d x$ ）

（3）若函数 $f (x, y)$ 的偏导数 $f_{y} (x, y)$ 存在，且存在 $F (x) \in L (E)$ 使得 $\forall x \in E, y \in [a, b]$ 有 $∣ f_{y} (x, y) ∣ \leq F (x)$ ，则 $ϕ^{'} (y) = \int_{E} f_{y} (x, y) d x$ .（即 $ϕ (y)$ 可微，且求导和积分可以交换顺序）

像 $∣ f (x, y) ∣ \leq F (x)$ ，如果把 $y$ 看作是下标 $n$ ，则这里的 $F (x)$ 可以看作是控制函数。

证明：（1）考虑任何收敛于 $y_{0}$ 的序列 ${y_{n}} \subset [a, b]$ ，则 $y \to y_{0} lim ϕ (y) = n \to \infty lim ϕ (y_{n})$ ，定义 $f_{n} (x) = f (x, y_{n})$ ，可知 ${f_{n} (x)}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛，且 $∣ f_{n} (x) ∣ \leq F (x)$ 。由控制收敛定理得 $n \to \infty lim ϕ (y_{n}) = n \to \infty lim \int_{E} f (x, y_{n}) d x = \int_{E} n \to \infty lim f (x, y_{n}) d x$ ，即 $t \to y_{0} lim ϕ (y) = \int_{E} y \to y_{0} lim f (x, y) d x$ .

（2）对几乎所有的 $x \in E$ ， $f (x, y)$ 在 $y_{0}$ 连续，即 $y \to y_{0} lim f (x, y) = f (x, y_{0})$ ，由（1）可得 $y \to y_{0} lim ϕ (y) = \int_{E} y \to y_{0} lim f (x, y) d x = \int_{E} f (x, y_{0}) d x = ϕ (y_{0})$ ，即 $ϕ (y)$ 在 $y_{0}$ 连续.

（3）对任意的 $y \in [a, b]$ ，

$ϕ^{'} (y) = z \to y lim \frac{ϕ ( z ) - ϕ ( y )}{z - y} = z \to y lim \frac{\int _{E} f ( x , z ) d x - \int _{E} f ( x , y ) d x}{z - y} = z \to y lim \int_{E} \frac{f ( x , z ) - f ( x , y )}{z - y} d x = \int_{E} z \to y lim \frac{f ( x , z ) - f ( x , y )}{z - y} d x = \int_{E} f_{y} (x, y) d x (其中 \frac{f ( x , z ) - f ( x , y )}{z - y} = 中值定理 f_{y} (x, θ z + (1 - θ) y) < F (x), \exists θ \in [0, 1]) (∵ ∣ f_{y} ∣ \leq F, F \in L (E), 由 (1) 得)$

7. 黎曼可积性的刻画

本节主要讨论什么样的函数是黎曼可积的，以及从测度论和Lebesgue积分的角度看黎曼积分。

区间 $[a, b]$ 上的有界函数黎曼可积的充分必要条件： $f (x)$ 是定义在区间 $I = [a, b]$ 上的一个有界函数，我们定义 $I$ 上的振幅函数 $ω_{f} (x) = δ \to 0 lim sup {∣ f (x^{'}) - f (x^{''}) ∣ : x^{'}, x^{''} \in B (x, δ) \cap I}$ （显然振幅函数只有在间断点处不为零），对于每个 $t$ ，集合 $H = {x \in (a, b) ∣ ω_{f} < t}$ 是开集，从而 $ω_{f}$ 是 $I$ 上的有界可测函数（若令 $H_{n} = {x ∣ ω_{f} < n}$ ，则 $n = 1 ⋃ \infty H_{n} \supset I$ ，且是 $I$ 的一个开覆盖，根据有限覆盖定理可知，存在有限个 $H_{n}$ 覆盖了 $I$ ，因此 $ω_{f}$ 是有界的，又由于开集是可测集，所以 $ω_{f}$ 可测），故有 $ω_{f} \in L (I)$ ，考虑区间 $I$ 上的划分序列 ${Δ_{n}}$ ： $Δ_{n} : a = x_{0}^{(n)} < x_{1}^{(n)} < \dots < x_{i_{n}}^{(n)} = b$ ， $n = 1, 2, \dots$ ， $∣ Δ_{n} ∣ = 1 \leq j \leq i_{n} max ∣ x_{j - 1}^{(n)} - x_{j}^{(n)} ∣ \to 0$ ，记 $M_{j}^{(n)} = sup {f (x) ∣ x_{j - 1}^{(n)} \leq x \leq x_{j}^{(n)}}$ ， $m_{j}^{(n)} = in f {f (x) ∣ x_{j - 1}^{(n)} \leq x \leq x_{j}^{(n)}}$ ，则上积分 $n \to \infty lim \sum_{j = 1}^{i_{n}} M_{j}^{(n)} (x_{j}^{(n)} - x_{j - 1}^{(n)}) = \overline{\int_{a}^{b}} f (x) d x$ ，下积分 $n \to \infty lim \sum_{j = 1}^{i_{n}} m_{j}^{(n)} (x_{j}^{(n)} - x_{j - 1}^{(n)}) = \underline{\int_{a}^{b}} f (x) d x$ ，讨论黎曼可积就是要验证上、下积分是否相等。

引理：对于区间 $I = [a, b]$ 上的有界函数 $f (x)$ ，下列等式成立 $\int_{I} ω_{f} (x) d x = \overline{\int_{a}^{b}} f (x) d x - \underline{\int_{a}^{b}} f (x) d x$ ，其中左端是Lebesgue积分。

证明：定义函数列 $ω_{n} (x) = {M_{j}^{(n)} - m_{j}^{(n)} 0, x \in (x_{j - 1}^{(n)}, x_{j}^{(n)}), x 是 Δ_{n} 的分点$ 以及集合 $E = {x \in [a, b] : x 是 Δ_{n} 的分点, n = 1, 2, \dots}$ ，我们有 $m (E) = 0$ （可数个有限集的并集是可数集，可数集是零测集），而且 $n \to \infty lim ω_{n} (x) = ω_{f} (x), x \in I \ E$ ，也就是说 $ω_{n} (x)$ 收敛到 $ω_{f} (x)$ ，接下来讨论 $ω_{n} (x)$ 的积分是否收敛到 $ω_{f} (x)$ ，记 $A = x \in [a, b] sup f (x)$ 、 $B = x \in [a, b] in f f (x)$ ，由 $0 \leq ω_{n} \leq A - B$ 和有界收敛定理（其中 $A - B$ 是控制函数），得 $n \to \infty lim \int_{I} ω_{n} (x) d x = \int_{I} n \to \infty lim ω_{n} (x) d x = \int_{I} ω_{f} (x) d x$ ；另一方面 $\int_{I} ω_{n} (x) d x = \sum_{j = 1}^{i_{n}} (M_{j}^{(n)} - m_{j}^{(n)}) (x_{j}^{(n)} - x_{j - 1}^{(n)}) = \sum_{j = 1}^{i_{n}} M_{j}^{(n)} (x_{j}^{(n)} - x_{j - 1}^{(n)}) - \sum_{j = 1}^{i_{n}} m_{j}^{(n)} (x_{j}^{(n)} - x_{j - 1}^{(n)}) \to \overline{\int_{a}^{b}} f (x) d x - \underline{\int_{a}^{b}} f (x) d x$ ，所以 $\int_{I} ω_{f} (x) d x = \overline{\int_{a}^{b}} f (x) d x - \underline{\int_{a}^{b}} f (x) d x$ .

定理：区间 $I = [a, b]$ 上的有界函数 $f (x)$ 是黎曼可积的充分必要条件是： $f (x)$ 在 $I$ 上的不连续点集是零测集。

证明： $f (x)$ 在 $x_{0}$ 连续等价于 $ω_{f} (x) = 0$ ，所以 $f (x)$ 在 $I$ 上的不连续点集是零测集 $\Leftrightarrow ω_{f} (x) = 0 a . e . [I] \Leftrightarrow \int_{I} ω_{f} (x) d x = 0$ .

上述引理 $\Leftrightarrow \overline{\int_{a}^{b}} f (x) d x - \underline{\int_{a}^{b}} f (x) d x = 0$ ，即 $f (x)$ 是黎曼可积的。

8. 测度空间中积分的极限定理

Lebesgue积分的极限定理很容易推广到测度空间上的可积函数类中，这里只给出结论，证明略。

定理（Lebesgue基本定理）：设函数列 ${f_{n} (x)}$ 是测度空间 $(X, F, μ)$ 上的非负可测函数列， $f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ ，则 $\int_{X} f (x) μ (d x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{X} f_{n} (x) μ (d x)$ .

推论：若 ${A_{n}}$ 是 $X$ 的互不相交可测子集， $X = n = 1 ⋃ \infty A_{n}$ ，当函数 $f (x)$ 在 $X$ 上有积分时， $f (x)$ 在每一个子集 $A_{n}$ 上都是有积分的；特别地，当 $f \in L (E)$ 时， $f \in L (A_{n})$ ，且 $\int_{X} f (x) μ (d x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f (x) μ (d x)$ .

定理（Fatou引理）：若 ${f_{n} (x)}$ 是 $(X, F, μ)$ 上的非负可测函数列，则 $\int_{X} n \to \infty \underline{lim} f_{n} (x) μ (d x) \leq n \to \infty \underline{lim} \int_{X} f_{n} (x) μ (d x)$ .

定理（控制性收敛定理）：设 ${f_{n} (x)} \subset M (X, F, μ)$ ， $n \to \infty lim f_{n} (x) = f (x) μ a . e .$ ，若存在函数 $F (x) \in L (X)$ ，使得 $\forall n \in N$ ， $∣ f_{n} (x) ∣ \leq F (x) μ a . e .$ ，则 $f_{n} (x) \in L (X)$ ， $n = 1, 2, \dots$ ， $f (x) \in L (X)$ ， $n \to \infty lim \int_{X} f_{n} (x) μ (d x) = \int_{X} f (x) μ (d x)$ .

推论：设 ${f_{n} (x)} \in M (X, F, μ)$ ， $f_{n} ⟶ m f$ （依测度收敛），若存在函数 $F (x) \in L (X)$ ，使得 $\forall n \in N$ 有 $∣ f_{n} (x) ∣ \leq F (x) μ a . e .$ ，则 $f_{n} (x) \in L (X)$ ， $n = 1, 2, \dots$ ， $f (x) \in L (X)$ ， $n \to \infty lim \int_{X} f_{n} (x) μ (d x) = \int_{X} f (x) μ (d x)$ .

推论（有界收敛定理）：设 $μ (X) < \infty$ ， ${f_{n} (x)} \subset L (X)$ ，且 ${f_{n} (x)}$ 一致有界（即 $\forall x \in X$ 存在常数 $M > 0$ 使得 $∣ f_{n} (x) ∣ < M$ ， $n = 1, 2, \dots$ ），则当 $f_{n} (x) \to f (x) μ a . e .$ 或 $f_{n} ⟶ m f$ 时， $n \to \infty lim \int_{X} f_{n} (x) μ (d x) = \int_{X} f (x) μ (d x)$ .

9. Lebesgue重积分与累次积分

先复习高等数学中的重积分与累次积分的定义：设 $f (x, y) : D = [a, b] \times [c, d] \to R$ ， $f \in C (D)$ ，那么重积分与累次积分为 $\int_{D} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} d x \int_{c}^{d} f (x, y) d y = \int_{c}^{d} d y \int_{a}^{b} f (x, y) d x$ ，这里的等号不是必定成立的，累次积分有可能不存在，需要讨论：

在黎曼可积的情形下： $f (x, y) : D = [a, b] \times [c, d] \to R$ ， $f$ 有界。若 $f$ 满足：（1） $f$ 在 $D$ 上可积；（2）固定任意的 $x \in [a, b]$ ，关于 $y$ 的函数 $f (x, y)$ 在 $[c, d]$ 上可积；则有： $\int_{D} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x$ 。也就是说有界闭区间上的连续函数是黎曼可积的。

定义：设 $p, q, n \in N$ ， $n = p + q$ ， $R^{n} = R^{p} \times R^{q}$ ， $f (x, y) : R^{n} \to R$ （ $x \in R^{p}$ ， $y \in R^{q}$ ），则 $R^{n}$ 上的

重积分定义为： $\int_{R^{n}} f (x, y) d x d y = \int_{R^{q} \times R^{q}} f (x, y) d x d y$ ；
累次积分定义为（固定 $x \in R^{p}$ ， $f (x, y)$ 作为 $y$ 的函数时）： $\int_{R^{p}} (\int_{R^{q}} f (x, y) d y) d x = \int_{R^{p}} d x \int_{R^{q}} f (x, y) d y$ ，下面讨论这个等号在何时成立。（在Lebesgue积分的情形下，Tonelli定理和Fubini定理给出了如下结论：当函数 $f (x, y)$ 是 $R^{p + q}$ 上的非负可测函数或Lebesgue可积函数时，累次积分存在并可交换次序，且总等于重积分。）

定义：设 $E \subset R^{p + q}$ ，对于任意固定的 $x \in R^{p}$ ，令 $E_{x} = {y = R^{q} ∣ (x, y) \in E}$ ，称为 $E$ 的 $x$ 截口；同样的，对于任意固定的 $y \in R^{q}$ ，令 $E_{y} = {x = R^{p} ∣ (x, y) \in E}$ ，称为 $E$ 的 $y$ 截口。

对于截口，显然有 $χ_{E} (x, y) = χ_{E_{x}} (y) = χ_{E_{y}} (x)$ 。

定理3.3.2：对于任意的 $n, p, q \in N$ ， $n = p + q$ ， $E \in M_{n}$ （即 $E$ 在 $R^{n}$ 中可测，我们一般记 $R^{r}$ 中的全体Lebesgue可测集记为 $M_{r}$ ），则以下结论成立，并把满足下述条件的 $n$ 维可测集全体记为 $U$ ：

（1）对于几乎处处 $x \in R^{p}$ ， $E_{x} \in M_{q}$ ；

（2） $m (E_{x})$ 在 $R^{p}$ 上几乎处处有定义，且是 $R^{p}$ 上的非负可测函数；

（3） $m (E) = \int_{R^{p}} m (E_{x}) d x$ ；

同理，对于任意的 $n, p, q \in N$ ， $n = p + q$ ， $E \in M_{n}$ ，以下结论成立（也记为 $U$ ）：

（1）对于几乎处处 $y \in R^{q}$ ， $E_{y} \in M_{p}$ ；

（2） $m (E_{y})$ 在 $R^{q}$ 上几乎处处有定义，且是 $R^{q}$ 上的非负可测函数；

（3） $m (E) = \int_{R^{q}} m (E_{y}) d y$ ；

证明：我们将证明 $U = M_{n}$ ，由于显然有 $U \subset M_{n}$ ，故只需验证 $M_{n} \subset U$ 。（证明过程用到了后面对应的引理）

情况一：先考虑矩体的情况，设 $E$ 是矩体，则 $E = I \times J$ ，其中 $I$ 、 $J$ 分别为 $R^{p}$ 和 $R^{q}$ 中的矩体，则有 $E_{x} = {J, \emptyset, x \in I x \in / I$ 、 $m (E_{x}) = {∣ J ∣, 0, x \in I x \in / I$ ，且 $m (E) = ∣ I ∣ \cdot ∣ J ∣ = ∣ J ∣ \cdot \int_{I} 1 d x = \int_{R^{p}} ∣ J ∣ \cdot χ_{I} = \int_{R^{p}} m (E_{x}) d x$ ，即 $E \in U$ .

情况二：考虑开集的情况，设 $E$ 是开集，则 $E = j = 1 ⋃ I_{j}$ ，其中 ${I_{j}}$ 是 $R^{n}$ 中互不相交的半开半闭矩体，则由矩体情况下的证明以及后面对应引理中的(1)并推广到无限个的情形可知 $E_{k} = j = 1 ⋃ k I_{j} \in U$ ，由后面对应引理中的(3)可知 $E \in U$ .

情况三：考虑闭集的情况，设 $E$ 是有界闭集，则可表示为两个有界开集的差集（可由有限覆盖定理证明），再由后面对应引理中的(2)可知 $E \in U$ .

情况四：设 ${E_{k}}$ 是 $R^{n}$ 中的可测集合列， $m (E_{1}) < \infty$ ， $E_{k} \supset E_{k + 1}$ ， $k = 1, 2, \dots$ ，记 $E = k = 1 ⋂ \infty E_{k}$ ，若对 $\forall k$ 有 $E_{k} \in U$ ，则由后面对应引理的(2)、(3)有 $E_{1} \ E_{k} \in U$ ， $\Rightarrow k = 1 ⋃ \infty (E_{1} \ E_{k}) \in U \Rightarrow E = 德摩根法则 E_{1} \ (k = 1 ⋃ \infty (E_{1} \ E_{k})) \in U$ .

情况五：设 $E$ 是 $R^{n}$ 中的零测集，则 $E \in U$ ，事实上，可选取递减开集列 ${G_{k}}$ ， $E \subset G_{k}$ （ $\forall k$ ）， $s . t . k \to \infty lim m (G_{k}) = 0$ ，由上述证明可知， $H := k = 1 ⋂ \infty G_{k} \in U$ （根据情况四的证明），由于 $H$ 可以写成 $H = k \to \infty lim G_{k}$ ，又有 $m (H) = k \to \infty lim m (G_{k}) = 0$ ， $E \subset H \Rightarrow E_{x} \subset H_{x}$ ，测度为零说明几乎处处有定义，且零测集是非负可测集，再证明第三条： $m (H) = \int_{R^{p}} m (H_{x}) d x = 0 \Rightarrow m (E) = \int_{R^{p}} m (E_{x}) d x = 0 \Rightarrow m (E_{x}) = 0 a . e .$ ， $∴ E \in U$ .

情况六：对任意的可测集 $E \in M_{n}$ ，由可测集和Borel集相差一个零测集的定理，可设 $E = (k = 1 ⋃ \infty F_{k}) \cup Z$ ，其中 $m (Z) = 0$ ， $F_{k}$ 是互不相交的有界闭集，由上述证明不难推出 $E \in U$ .

可测集和Borel集相差一个零测集的定理（该定理出现在Lebesgue可测集章节里）：对任意的 $E \in M$ ，存在Borel集 $F$ 、 $G$ ，使得 $F \subset E \subset G$ ， $m (F) = m (E) = m (G)$ .

引理：以下结论成立：

（1）若 $E_{1}, E_{2} \in U$ ， $E_{1} \cap E_{2} = \emptyset$ ，则 $E_{1} \cup E_{2} \in U$ ；

（2）若 $E, F \in U$ ， $F \subset E$ ， $m (F) < \infty$ ，则 $E \ F \in U$ ；

（3）若 ${E_{k}} \subset U$ ， $E_{k} \subset E_{k + 1}$ ， $k = 1, 2, \dots$ ，则 $\cup_{k = 1}^{\infty} E_{k} \in U$ ；

证明时只需逐一证明它们满足前面对应定理的三条性质即可。

（1）的证明：

①设 $E_{1} \cup E_{2}$ 截口为 $(E_{1} \cup E_{2})_{x}$ ，由于 $(E_{1} \cup E_{2})_{x} = E_{1 x} \cup E_{2 x}$ ， $E_{1 x} \in U \subset M_{q}$ 、 $E_{2 x} \in U \subset M_{q}$ ，故 $(E_{1} \cup E_{2})_{x} \in M_{q}$ ；

② $m ((E_{1} \cup E_{2})_{x}) = m (E_{1 x} \cup E_{2 x}) = m (E_{1 x}) + m (E_{2 x})$ ，由于 $m (E_{1 x})$ 和 $m (E_{2 x})$ 都几乎处处有定义、非负可测函数，故它们加起来也几乎处处有定义、非负可测函数；

③证明思路（详细过程略）： $\int_{R^{p}} m ((E_{1} \cup E_{2})_{x}) d x = m (E_{1}) + m (E_{2}) = m (E_{1} \cup E_{2})$ ；

（2）的证明：

①由 $(E \ F)_{x} = E_{x} \ F_{x}$ 可知 $E \ F$ 满足上面定理的第一条；

②、③由于 $\int_{R^{p}} m (F_{x}) d x = m (F) < \infty$ ，可知 $m (F_{x})$ 在 $R^{p}$ 上几乎处处有限，由于 $E_{x} = (E \ F)_{x} \cup F_{x}$ ，而 $(E \ F)_{x}$ 和 $F_{x}$ 不相交，所以移项后得 $m ((E \ F)_{x}) = m (E_{x}) - m (F_{x})$ 在 $R^{p}$ 上几乎处处有定义，且有 $\int_{R^{p}} m ((E \ F)_{x}) d x = \int_{R^{p}} m (E_{x}) d x - \int_{R^{p}} m (F_{x}) d x = m (E) - m (F) = m (E \ F)$ ，其中最后一步等号成立是因为 $E = (E \ F) \cup F$ ， $E \ F$ 与 $F$ 不相交，移项后得到的。

（3）的证明：

记 $E = k \geq 1 ⋃ E_{k} = k \to \infty lim E_{k}$ （因为 ${E_{k}}$ 是升列），则由前面测度和极限符号可换序的定理知， $m (E) = k \to \infty lim m (E_{k})$ ， $m (E_{x}) = k \to \infty lim m ((E_{k})_{x}), a . e . R^{p}$ （这里的 $a . e . R^{p}$ 是 ${E_{k}}$ 用的定理的第二个结论“几乎处处有定义”），再由Levi定理可得 $m (E) = lim m (E_{k}) = E_{k} \in U lim \int_{R^{p}} m ((E_{k})_{x}) d x = Levi 定理 \int_{R^{p}} lim m ((E_{k})_{x}) d x = \int_{R^{p}} m (E_{x}) d x$ 。

定理：若 $E_{1} \in M_{p}$ 、 $E_{2} \in M_{q}$ ，则 $E_{1} \times E_{2} \in M_{n}$ ， $m (E_{1} \times E_{2}) = m (E_{1}) m (E_{2})$ 。

证明：因为 $(E_{1} \times E_{2})_{x} = {E_{2}, \emptyset, x \in E_{1} x \in / E_{1}$ ，所以 $\forall x \in R^{p}$ ， $(E_{1} \times E_{2})_{x} \in M_{p}$ ， $m ((E_{1} \times E_{2})_{x}) = χ_{E_{1}} (x) m (E_{2})$ ，若有 $E_{1} \times E_{2} \in M_{n}$ ，则根据定理3.3.2的(3)有 $m (E_{1} \times E_{2}) = \int_{R^{p}} m ((E_{1} \times E_{2})_{x}) d x = \int_{R^{p}} χ_{E_{1}} (x) m (E_{2}) d x = m (E_{1}) m (E_{2})$ .

以下证明 $E_{1} \times E_{2} \in M_{n}$ ：由可测集和Borel集相差一个零测集的定理， $E_{1} \times E_{2}$ 可表示为可数个点集 $A \times B$ 的并集（且 $i = 1 ⋃ \infty A_{i} \times j = 1 ⋃ \infty B_{j} = i, j = 1 ⋃ \infty A_{i} \times B_{j}$ ），其中 $A, B$ 是有界闭集或零测集，故只需讨论以下两种情形：

情况一： $A$ 是零测集。 $\forall ϵ > 0$ ，可作 $R^{p}$ 中的开矩体列 ${I_{k}}$ 以及 $R^{q}$ 中的开矩体列 ${J_{k}}$ ，使得 $A \subset k = 1 ⋃ \infty I_{k}$ ， $\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ I_{k} ∣ < ϵ$ ， $B \subset k = 1 ⋃ \infty J_{k}$ ， $\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ J_{k} ∣ < \infty$ ， $∵ A \times B \subset k, l ⋃ \infty (I_{k} \times J_{l})$ ，再根据次可加性， $∴ m^{*} (A \times B) \leq m (k, l ⋃ \infty (I_{k} \times J_{l})) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ I_{k} ∣ \cdot \sum_{l = 1}^{\infty} ∣ J_{l} ∣ < ϵ \sum_{l = 1}^{\infty} ∣ J_{l} ∣$ ， $∴ m^{*} (A \times B) = 0$ ， $A \times B \in M_{n}$ .

情况二： $A$ 、 $B$ 都是有界闭集，因此 $A \times B$ 是闭集，也是可测集。

积分与测度是互通的。简单的说，积分即“面积”。（概率也是“面积”）

定理（Tonelli定理）：记 $n = p + q$ ，设 $f (x, y)$ 是 $R^{p + q} = R^{n}$ 上的非负可测函数，则：

（1）对于几乎处处的 $x \in R^{p}$ ，函数 $f (x, \cdot)$ 是 $R^{q}$ 上的非负可测函数；

（2）积分 $F_{f} (x) = \int_{R^{q}} f (x, y) d y$ 在 $R^{p}$ 上几乎处处有定义，是 $R^{p}$ 上的非负可测函数；

（3）重积分与累次积分相等，即 $\int_{R^{p + q}} f (x, y) d x d y = \int_{R^{p}} F_{f} (x) d x = \int_{R^{p}} d x \int_{R^{q}} f (x, y) d y = \int_{R^{q}} d y \int_{R^{p}} f (x, y) d x$ ；

证明：由定理3.3.2知，对于任何可测集 $E \in M_{n}$ ，特征函数 $χ_{E} (x)$ 满足该定理的(1)(2)(3)，因此非负可测简单函数也满足该定理的(1)(2)(3)。对于某个非负可测函数，可视为某个非负可测简单函数的上升列的极限，，由Levi定理可知，该非负可测函数也满足定理的(1)(2)(3)。

若取Tonelli定理中的非负可测函数为可测集的特征函数，易知Tonelli定理与定理3.3.2等价：

比如(1)：其实 $χ_{E} (x, \cdot)$ 就是固定 $x$ 取任意的 $y$ ，这就是 $E$ 的 $x$ 截口，根据定理3.3.2的(1)，直接就得到了对于几乎处处的 $x \in R^{p}$ ， $E_{x} \in M_{q}$ ；

比如(2)：若令 $f (x, y) = χ_{E} (x, y)$ ，有 $F_{f} (x) = \int_{R^{q}} f (x, y) d y \Rightarrow 代入 m (E_{x}) = \int_{R^{q}} χ_{E} (x, y) d y$ ，而定理3.3.2的(2)则说明了 $m (E_{x})$ 在 $R^{p}$ 上几乎处处有定义，且是 $R^{p}$ 上的非负可测函数；

(3)的证明：由于非负可测函数是非负可测简单函数上升列的极限，先考虑非负可测简单函数，即 $f (x, y) = α_{i} χ_{E_{i}} (x, y)$ 时，代入上式有 $\int_{R^{n}} \sum_{i = 1}^{n} α_{i} χ_{E_{i}} (x, y) d x d y = \int_{R^{p}} d x \int_{R^{q}} \sum_{i = 1}^{n} α_{i} χ_{E_{i}} (x, y) d y = \int_{R^{q}} d y \int_{R^{p}} \sum_{i = 1}^{n} α_{i} χ_{E_{i}} (x, y) d x$ ，由于积分有线性性质，于是我们只需证明该式对于任意的可测集 $E \subset R^{n}$ 成立，即 $\int_{R^{n}} χ_{E} (x, y) d x d y = \int_{R^{p}} d x \int_{R^{q}} χ_{E} (x, y) d y = \int_{R^{q}} d y \int_{R^{p}} χ_{E} (x, y) d x$ ，定义集合 $E_{x} := {y = R^{q} ∣ (x, y) \in E}$ 、 $E_{y} := {x = R^{p} ∣ (x, y) \in E}$ ，由于 $χ_{E} (x, y) = χ_{E_{x}} (y) = χ_{E_{y}} (x)$ ，故 $\int_{R^{n}} χ_{E} (x, y) d x d y = \int_{R^{p}} d x \int_{R^{q}} χ_{E} (x, y) d y = \int_{R^{q}} d y \int_{R^{p}} χ_{E} (x, y) d x \Leftrightarrow m (E) = \int_{R^{p}} m (E_{x}) d x = \int_{R^{q}} m (E_{y}) d y$ .

定理（Fubini定理）：若 $f \in L (R^{n})$ （即 $f$ 是 $R^{n}$ 上的可积函数）， $R^{n} = R^{p} \times R^{q}$ ，则：

（1）对于几乎处处的 $x \in R^{p}$ ， $f (x, \cdot)$ 是 $R^{q}$ 上的可积函数；

（2） $F_{f} (x) = \int_{R^{q}} f (x, y) d y$ 在 $R^{p}$ 上几乎处处有定义，是 $R^{p}$ 上的可积函数；

（3）重积分与累次积分相等，即 $\int_{R^{n}} f (x, y) d x d y = \int_{R^{p + q}} f (x, y) d x d y = \int_{R^{p}} d x \int_{R^{q}} f (x, y) d y = \int_{R^{q}} d y \int_{R^{p}} f (x, y) d x$ ；

证明：令 $f (x, y) = f^{+} (x, y) - f^{-} (x, y)$ ，由Tonelli定理可知，非负可测函数 $f^{+} (x, y)$ 、 $f^{-} (x, y)$ 满足该定理的(1)(2)(3)，并且积分都是有限的，可相减，所以 $f (x, y)$ 也满足该定理的(1)(2)(3)。

用法：比如 $f (x, y)$ ，其中 $x \in E$ 、 $y \in F$ ，那么只需要验证 $\int_{E \times F} ∣ f (x, y) ∣ d x d y < \infty$ ，若积分 $< \infty$ 就是可积的，就可以用该定理。

定义：设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是 $R^{n}$ 上的可测函数，若积分 $\int_{R^{n}} f (x - y) g (y) d y$ 存在，则称此积分为 $f$ 与 $g$ 的卷积，并记为 $f * g (x)$ ，即 $f * g (x) = \int_{R^{n}} f (x - y) g (y) d y$ 。卷积的交换性： $f * g (x) = \int_{R^{n}} f (x - y) g (y) d y = 令 x - y = z \int_{R^{n}} f (z) g (x - z) d z = g * f (x)$ ，即 $f * g = g * f$ .（注意，这里的 $f (x - y)$ 是 $R^{n} \times R^{n}$ 上的可测函数，也就是把 $x$ 和 $y$ 看作是两个变量）

定理：设 $f, g \in L (R^{n})$ ，则卷积 $f * g (x)$ 对几乎处处的 $x \in R^{n}$ 存在， $f * g \in L (R^{n})$ ，且 $\int_{R^{n}} ∣ f * g (x) ∣ d x \leq \int_{R^{n}} ∣ f (x) ∣ d x \int_{R^{n}} ∣ g (x) ∣ d x$ .

证明：首先考虑 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是非负可测函数的情形。因为 $f (x - t) g (t)$ 是 $R^{n} \times R^{n}$ 上的非负可测函数，由Tonelli定理得 $\int_{R^{n}} f * g (x) d x = \int_{R^{n}} d x \int_{R^{n}} f (x - t) g (t) d t = \int_{R^{n}} d t \int_{R^{n}} f (x - t) g (t) d x = \int_{R^{n}} g (t) d t \int_{R^{n}} f (x - t) d x = \int_{R^{n}} g (t) d t \int_{R^{n}} f (x) d x < \infty$ ，所以 $∣ f * g ∣ < \infty a . e . [E]$ ，且 $\int_{R^{n}} f * g (x) d x = \int_{R^{n}} g (t) d t \int_{R^{n}} f (x) d x$ .

对于 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是一般的可测函数的情形，注意到 $∣ f * g ∣ \leq ∣ f ∣ * ∣ g ∣$ ，从而有 $\int_{R^{n}} ∣ f * g ∣ d x \leq \int_{R^{n}} ∣ f ∣ * ∣ g ∣ d x = \int_{R^{n}} ∣ g ∣ d t \int_{R^{n}} ∣ f ∣ d x < \infty$ .

定义：给定 $E \in M_{n}$ ，设 $f (x)$ 是 $E$ 上的非负实值函数，则点集 $Γ_{E} (f) = {(x, y) \in R^{n + 1} ∣ x \in E, y = f (x)}$ 称为 $f$ 在 $E$ 上方的图像，点集 $\underline{G} (f) = {(x, y) \in R^{n + 1} ∣ x \in E, 0 \leq y \leq f (x)}$ 称为 $f$ 在 $E$ 上的下方图形集。

10. 积分的几何意义

定义：给定 $E \in M_{n}$ ，设 $f (x)$ 是 $E$ 上的非负实值函数，点集 $Γ_{E} (f) = {(x, y) \in R^{n + 1} ∣ x \in E, y = f (x)}$ 称为 $f$ 在 $E$ 上的图像。点集 $\underline{G} (f) = {(x, y) \in R^{n + 1} ∣ x \in E, 0 \leq y \leq f (x)}$ 称为 $f$ 在 $E$ 上的下方图。

定理：给定 $E \in M_{n}$ ， $f (x)$ 是 $E$ 上的非负实值函数，则：

（1）若 $f (x)$ 是可测函数，则 $Γ_{E} (f), \underline{G} (f) \in M_{n + 1}$ ，且 $m (Γ_{E} (f)) = 0$ 、 $m (\underline{G} (f)) = \int_{E} f (x) d x$ .

（2）若 $\underline{G} (x) \in M_{n + 1}$ ，则 $f (x)$ 是可测函数，且有 $m (\underline{G} (f)) = \int_{E} f (x) d x$ .

这是黎曼积分中曲边梯形面积意义的推广。

（1）的证明：首先证明 $m (Γ_{E} (f)) = 0$ 。不妨设 $m (E) < \infty$ ，对任意的 $δ > 0$ ，令 $E_{k} = {x \in E ∣ k δ \leq f (x) < (k + 1) δ}$ ， $k = 0, 1, 2, \dots$ ，则有 $Γ_{E} (f) = k = 0 ⋃ \infty Γ_{E_{k}} (f)$ ， $m^{*} (Γ_{E} (f)) \leq \sum_{k = 0}^{\infty} m^{*} (Γ_{E_{k}} (f)) \leq \sum_{k = 0}^{\infty} δ m (E_{k}) = δ m (E)$ ，令 $δ \to 0$ ，得 $m (Γ_{E} (f)) = 0$ .

其次证明 $\underline{G} (f) \in M_{n + 1}$ 以及 $m (\underline{G} (f)) = \int_{E} f (x) d x$ 。若 $f (x)$ 是一个可测集上的特征函数，结论显然成立，从而对非负可测简单函数也成立。对于一般的可测函数 $f (x)$ ，存在非负可测简单函数的上升列 ${ϕ_{k} (x)}$ 收敛于 $f (x)$ ，易知 $\underline{G} (ϕ_{k}) \subset \underline{G} (ϕ_{k + 1})$ ， $Γ_{E} (f) \cup k \geq 1 ⋃ \underline{G} (ϕ_{k}) = \underline{G} (f)$ ，由于 $m (Γ_{E} (f)) = 0$ ，所以 $\underline{G} (f) \in M_{n + 1}$ ，且 $m (\underline{G} (f)) = m (k \to \infty lim \underline{G} (ϕ_{k})) = 递增可测集列性质 k \to \infty lim m (\underline{G} (ϕ_{k})) = k \to \infty lim \int_{E} ϕ_{k} (x) d x = Levi 定理 \int_{E} f (x) d x$ .

（2）的证明：记 $H = \underline{G} (f) \in M_{n + 1}$ ，由定理3.3.2可知，对于几乎处处的 $x \in R^{n}$ ， $H$ 的截口集 $H (x) = {y \in R^{1} ∣ (x, y) \in H} \in M_{1}$ ，且 $m (H (x))$ 是可测函数。故除去一个零测集之外，对于所有的 $x \in R^{n}$ ，当 $x \in E$ 时， $H (x) = [0, f (x)]$ ， $m (H (x)) = f (x)$ ；当 $x \in / E$ 时， $H (x) = \emptyset$ ， $m (H (x)) = 0$ 。所以 $f (x) \in M (E)$ ，由(1)可得 $m (\underline{G} (f)) = \int_{E} f (x) d x$ .

四、 $L^{p}$ 空间

1. $L^{p}$ 范数

定义：设 $E$ 是 $R^{n}$ 中的可测集，则：

（1）设 $f (x)$ 是 $E$ 上的可测函数，记 $∣∣ f ∣ ∣_{p} = (\int_{E} ∣ f (x) ∣^{p} d x)^{\frac{1}{p}}$ （ $p \geq 1$ ），称 $∣∣ f ∣ ∣_{p}$ 为 $f (x)$ 的 $L^{p}$ 范数。令 $L^{p} (E) = {f \in M (E) ∣ ∣∣ f ∣ ∣_{p} < \infty}$ ，则称 $L^{p} (E)$ 为 $E$ 上的 $L^{p}$ 空间。（注意这里的 $p$ 可以是任何数，包括分数、无理数）

（2）设 $f \in M (E)$ ，若存在 $M > 0$ ，使得 $∣ f (x) ∣ \leq M a . e . [E]$ ，则称 $f (x)$ 是本性有界的。对所有这样的 $M$ 取下确界，记为 $∣∣ f ∣ ∣_{\infty}$ ，称为 $f (x)$ 的本性上界。把 $∣∣ f ∣ ∣_{\infty} < \infty$ 的函数的集合记作 $L^{\infty} (E) = {f \in M (E) ∣ ∣∣ f ∣ ∣_{\infty} < \infty}$ 。本性上界用数学语言来表述就是， $\forall f \in L^{\infty} (E)$ ， $∣∣ f ∣ ∣_{\infty} = Δ \subset E, m (Δ) = 0 in f x \in E \Δ sup ∣ f (x) ∣$ .

Lebesgue可积函数空间 $L (E) = L^{1} (E)$ .

例1：设 $E = (0, 1)$ ，问下列函数是否 $f \in L^{p} (E)$ ， $p$ 为多少？

（以下为方便起见就不写 $\frac{1}{p}$ 次方了，因为 $\int_{E} ∣ f ∣^{p} d x < \infty$ 的话 $(\int_{E} ∣ f (x) ∣^{p} d x)^{\frac{1}{p}}$ 也必然 $< \infty$ ，但是计算题记得要写全）

(Ⅰ) $f (x) = 1$ 。解： $\int_{E} ∣ f ∣^{p} d x = \int_{0}^{1} 1^{p} d x < \infty$ ， $∴ \forall p \geq 1$ （包括 $p = \infty$ ）都有 $f \in L^{p} (E)$ .

(Ⅱ) $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ 。解： $\int_{E} ∣ f ∣^{p} d x = \int_{0}^{1} ∣ x^{- \frac{3}{2}} ∣^{p} d x = \int_{0}^{1} x^{- \frac{3 p}{2}} d x$ ，写出原函数并画出图像可知，当 $p \geq 1$ 时， $p$ 取任何值都无法使积分 $< \infty$ ，故 $f \in / L^{p} (E)$ .

(Ⅲ) $f (x) = \frac{1}{x ( 1 + x ^{\frac{3}{2}} )}$ 。解： $\int_{E} ∣ f ∣^{p} d x = \int_{0}^{1} ∣ \frac{1}{x ( 1 + x ^{\frac{3}{2}} )} ∣^{p} d x = \int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{\frac{p}{2}} ( 1 + x ^{\frac{3}{2}} ) ^{p}} d x \leq \int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{\frac{p}{2}}} d x$ ，写出原函数并画出图像可知，当 $1 \leq p \leq 2$ 时积分 $< \infty$ ，即当 $1 \leq p \leq 2$ 时， $f \in L^{p} (E)$ .

例2：设 $E = (0, \infty)$ ，问下列函数是否 $f \in L^{p} (E)$ ， $p$ 为多少？

(Ⅰ) $f (x) = 1$ 。解：当 $p \neq = \infty$ 时， $\int_{E} ∣ f ∣^{p} d x = \int_{0}^{\infty} 1^{p} d x = \infty$ ，故此时 $f \in / L^{p} (E)$ ；当 $p = \infty$ 时， $∣∣ f ∣ ∣_{\infty} = 1$ ，此时 $f \in L^{p} (E)$ .

例3：设 $E = (0, \infty) \times (0, \infty)$ ， $x = (x_{1}, x_{2}) \in E$ ，并定义 $∣ x ∣ = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ，问下列函数是否 $f \in L^{p} (E)$ ， $p$ 为多少？

(Ⅰ) $f (x) = ∣ x ∣^{- \frac{3}{2}}$ 。解： $\int_{E} ∣ x ∣^{- \frac{3 p}{2}} d x_{1} d x_{2} = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x_{1}^{2} + x_{2}^{2}^{- \frac{3 p}{2}} d x_{1} d x_{2} = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 π} ρ \cdot ρ^{- \frac{3 p}{2}} d ρ d θ = 2 π \int_{0}^{\infty} ρ^{- \frac{3 p}{2} + 1} d ρ$ ，不难看出无论 $p$ 取何值都不能使积分 $< \infty$ ，故 $f \in / L^{p} (E)$ .

定理（Hölder不等式，赫尔德不等式）：设 $E \in M_{n}$ ， $1 \leq p$ 、 $q \leq \infty$ 、 $p^{- 1} + q^{- 1} = 1$ ， $f \in L^{p} (E)$ 、 $g \in L^{q} (E)$ ，则有 $∣∣ f g ∣ ∣_{1} \leq ∣∣ f ∣ ∣_{p} ∣∣ g ∣ ∣_{q}$ .

$1 \leq p$ 、 $q \leq \infty$ 、 $p^{- 1} + q^{- 1} = 1$ ，我们把这样的 $p$ 、 $q$ 称为共轭指数。比如 $p = 1$ 、 $q = \infty$ ；再比如 $\forall p \in (1, \infty)$ 、 $q = \frac{p}{p - 1}$ .

证明：若 $p = 1$ 、 $q = \infty$ ，则显然有 $∣∣ f g ∣ ∣_{1} = \int_{E} ∣ f (x) g (x) ∣ d x \leq ∣∣ g ∣ ∣_{\infty} \int_{E} ∣ f (x) ∣ d x = ∣∣ g ∣ ∣_{\infty} ∣∣ f ∣ ∣_{1}$ .

以下考虑 $1 < p$ 、 $q < \infty$ .

当 $∣∣ f ∣ ∣_{p} = 0$ 或 $∣∣ g ∣ ∣_{p} = 0$ 时。有 $∣ f ∣^{p} = 0 a . e .$ 或 $∣ g ∣^{q} = 0 a . e .$ ，所以有 $∣ f g ∣ = 0 a . e . [E]$ ，即 $0 = ∣∣ f g ∣ ∣_{1} = ∣∣ f ∣ ∣_{p} ∣∣ g ∣ ∣_{q}$ .

故只需考虑 $∣∣ f ∣ ∣_{p} > 0$ 、 $∣∣ g ∣ ∣_{q} > 0$ 的情形。利用Young不等式 $a^{\frac{1}{p}} b^{\frac{1}{q}} \leq \frac{a}{p} + \frac{b}{q}$ （ $a, b > 0$ 、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ），取 $a = \frac{∣ f ( x ) ∣ ^{p}}{∣∣ f ∣ ∣ _{p}^{p}}$ 、 $b = \frac{∣ g ( x ) ∣ ^{q}}{∣∣ g ∣ ∣ _{q}^{q}}$ ，我们有 $\frac{∣ f ( x ) g ( x ) ∣}{∣∣ f ∣ ∣ _{p} ∣∣ g ∣ ∣ _{q}} \leq \frac{1}{p} \frac{∣ f ( x ) ∣ ^{p}}{∣∣ f ∣ ∣ _{p}^{p}} + \frac{1}{q} \frac{∣ g ( x ) ∣ ^{q}}{∣∣ g ∣ ∣ _{q}^{q}}$ ，对上式作积分得 $\frac{1}{∣∣ f ∣ ∣ _{p} ∣∣ g ∣ ∣ _{q}} \int_{E} ∣ f (x) g (x) ∣ d x \leq \frac{1}{p ∣∣ f ∣ ∣ _{p}^{p}} \int_{E} ∣ f (x) ∣^{p} d x + \frac{1}{q ∣∣ g ∣ ∣ _{q}^{q}} \int_{E} ∣ g (x) ∣^{q} d x = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ .

补充：Young不等式 $a^{\frac{1}{p}} b^{\frac{1}{q}} \leq \frac{a}{p} + \frac{b}{q}$ （ $a, b > 0$ 、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ）的证明：因为 $ln (x)$ 是上凸函数，故 $\frac{1}{p} ln a + \frac{1}{q} ln b \leq ln (\frac{a}{p} + \frac{b}{q})$ ，这个不等式画出图形就可以看出来了，其中由于 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ，所以 $\frac{a}{p} + \frac{b}{q}$ 在 $a$ 和 $b$ 之间，而 $\frac{1}{p} ln a + \frac{1}{q} ln b$ 是 $ln a$ 、 $ln b$ 的线性组合，也就是两点连线的那条线上的任意值，由于在 $(a, b)$ 中这条线在 $ln$ 下方（在端点处可以取等号），所以 $\frac{1}{p} ln a + \frac{1}{q} ln b$ 是小于等于 $ln (\frac{a}{p} + \frac{b}{q})$ 的。

由Hölder不等式可得到一些推论：

$∣ \int_{E} f (x) g (x) d x ∣ \leq \int_{E} ∣ f (x) g (x) ∣ d x \leq (\int_{E} ∣ f (x) ∣^{p} d x)^{\frac{1}{p}} (\int_{E} ∣ g (x) ∣^{q} d x)^{\frac{1}{q}}$ .
当 $p = q = 2$ 时，有Schwarz不等式： $∣ \int_{E} f (x) g (x) d x ∣ \leq (\int_{E} ∣ f (x) ∣^{2} d x)^{\frac{1}{2}} (\int_{E} ∣ g (x) ∣^{2} d x)^{\frac{1}{2}}$ .

命题：若 $m (E) < \infty$ ，则

（1）当 $p_{1} < p_{2}$ 时， $L^{p_{2}} (E) \subset L^{p_{1}} (E)$ ；

（2） $p \to \infty lim ∣∣ f ∣ ∣_{p} = ∣∣ f ∣ ∣_{\infty}$ （ $\forall f \in L^{\infty} (E)$ ）；

（1）的证明：（思路是证明当 $L^{p_{2}} (E)$ 存在时，任意 $f \in L^{p_{2}} (E)$ 都有 $f \in L^{p_{1}} (E)$ ，也就是说 $L^{p_{1}} (E)$ 包含了 $L^{p_{2}} (E)$ 的所有元素）

当 $p_{2} = \infty$ 时， $∣∣ f ∣ ∣_{p_{1}} = (\int_{E} ∣ f ∣^{p_{1}} d x)^{\frac{1}{p _{1}}} \leq (∣∣ f ∣ ∣_{\infty}^{p_{1}} \int_{E} 1 d x)^{\frac{1}{p _{1}}} = (∣∣ f ∣ ∣_{\infty}^{p_{1}} m (E))^{\frac{1}{p _{1}}}$ （其中 $∣∣ f ∣ ∣_{\infty}$ 是本性上界，可以简单地理解为几乎处处的极大值，所以 $∣ f ∣ \leq ∣∣ f ∣ ∣_{\infty}$ ），因为 $∣∣ f ∣ ∣_{\infty}^{p_{1}} < \infty$ ，且 $m (E) < \infty$ ，故右式 $< \infty$ ，即 $∣∣ f ∣ ∣_{p_{1}} < \infty$ ，也就是 $L^{p_{1}} (E)$ 存在且包含了 $L^{\infty} (E)$ 中的所有 $f$ ，故 $L^{\infty} (E) \subset L^{p_{1}} (E)$ .

当 $p_{1} < p_{2} < \infty$ 时，令 $r = \frac{p _{2}}{p _{1}} > 1$ ， $r^{- 1} + r^{' - 1} = 1$ ，则 $\forall f \in L^{p_{2}} (E)$ ， $\int_{E} ∣ f (x) ∣^{p_{1}} d x = \int_{E} ∣ f (x) ∣^{p_{1}} \cdot 1 d x \leq (\int_{E} ∣ f ∣^{p_{1} r})^{\frac{1}{r}} (\int_{E} 1^{r^{'}} d x)^{\frac{1}{r ^{'}}} = (\int_{E} ∣ f ∣^{p_{2}})^{\frac{p _{1}}{p _{2}}} (m (E))^{\frac{1}{r ^{'}}}$ （其中第二个符号 $\leq$ 使用了Hölder不等式），其中左边的 $\int_{E} ∣ f (x) ∣^{p_{1}} d x = ∣∣ f ∣ ∣_{p_{1}}^{p_{1}}$ ，要开根号才能得到 $∣∣ f ∣ ∣_{p_{1}}$ ，左右两边同时开 $p_{1}$ 次根号得 $∣∣ f ∣ ∣_{p_{1}} \leq ∣∣ f ∣ ∣_{p_{2}} (m (E))^{\frac{1}{r ^{'} p 1}} = ∣∣ f ∣ ∣_{p_{2}} (m (E))^{\frac{1}{p _{1}} (1 - \frac{1}{r})} = ∣∣ f ∣ ∣_{p_{2}} m (E)^{\frac{1}{p _{1}} - \frac{1}{p _{2}}} < \infty$ （其中 $∣∣ f ∣ ∣_{p_{2}} < \infty$ ，且 $m (E) < \infty$ ，故它们相乘也是有限的），所以 $f \in L^{p_{1}} (E)$ ， $i . e .$ ， $L^{p_{2}} (E) \subset L^{p_{1}} (E)$ .

（2）的证明：记 $M = ∣∣ f ∣ ∣_{\infty}$ ，则 $∣∣ f ∣ ∣_{p} \leq (\int_{E} M^{p} d x)^{\frac{1}{p}} = M \cdot m (E)^{\frac{1}{p}} \Rightarrow p \to \infty \overline{lim} ∣∣ f ∣ ∣_{p} \leq M$ ， $\forall M^{'} < M$ ，记 $A = {x \in E ∣ ∣ f (x) ∣ > M^{'}}$ ，则 $m (A) > 0$ ，可知 $∣∣ f ∣ ∣_{p} \geq (\int_{A} ∣ f ∣^{p} d x)^{\frac{1}{p}} \geq M^{'} m (A)^{\frac{1}{p}} \Rightarrow p \to \infty \underline{lim} ∣∣ f ∣ ∣_{p} \geq M^{'}$ ，由 $M^{'}$ 的任意性可得 $p \to \infty \underline{lim} ∣∣ f ∣ ∣_{p} \geq M$ ；所以 $p \to \infty lim ∣∣ f ∣ ∣_{p} = M$ .

定理： $L^{p}$ 范数满足以下“范数公理”（ $\forall α \in R$ ， $f, g \in L^{p} (E)$ ）：

（1）齐次性： $∣∣ α f ∣ ∣_{p} = ∣ α ∣∣∣ f ∣ ∣_{p}$ ；

（2）三角不等式（Minkowski不等式）： $∣∣ f + g ∣ ∣_{p} \leq ∣∣ f ∣ ∣_{p} + ∣∣ g ∣ ∣_{q}$ ；

（3）正定性： $∣∣ f ∣ ∣_{p} \geq 0$ ，且 $∣∣ f ∣ ∣_{p} = 0 \Leftrightarrow f = 0 a . e . [E]$ ；

证明：当 $p = 1, \infty$ 时，证明是简单的，略。

设 $1 < p < \infty$ ，(1)和(3)是显然的，我们只需证明(2)： $∣∣ f + g ∣ ∣_{p}^{p} = \int_{E} ∣ f + g ∣^{p} d x = \int_{E} ∣ f + g ∣^{p - 1} ∣ f + g ∣ d x \leq \int_{E} ∣ f + g ∣^{p - 1} ∣ f ∣ d x + \int_{E} ∣ f + g ∣^{p - 1} ∣ g ∣ d x$ ，由 $\int_{E} ∣ f + g ∣^{p - 1} ∣ f ∣ d x \leq (\int_{E} ∣ f + g ∣^{(p - 1) q} d x)^{\frac{1}{q}} (\int_{E} ∣ f ∣^{p} d x)^{\frac{1}{p}} = ∣∣ f + g ∣ ∣_{p}^{p - 1} ∣∣ f ∣ ∣_{p}$ （ $∵ q = \frac{p}{p - 1}$ ），同理， $\int_{E} ∣ f + g ∣^{p - 1} ∣ g ∣ d x \leq ∣∣ f + g ∣ ∣_{p}^{p - 1} ∣∣ g ∣ ∣_{p}$ ，可得 $∣∣ f + g ∣ ∣_{p}^{p} \leq ∣∣ f + g ∣ ∣_{p}^{p - 1} ∣∣ f ∣ ∣_{p} + ∣∣ f + g ∣ ∣_{p}^{p - 1} ∣∣ g ∣ ∣_{p}$ ，证毕。

2. $L^{p}$ 收敛

定理：对于任意的 $f, g \in L^{p} (E)$ ，定义距离 $d (f, g) = ∣∣ f - g ∣ ∣_{p}$ ， $1 \leq p \leq \infty$ ，则 $(L^{p} (E), d)$ 是一个距离空间。

证明：（思路是验证是否满足距离空间的三条性质：(1)正定性；(2)对称性；(3)三角不等式）

正定性： $d (f, g) > 0$ 显然成立。 $∣∣ f - g ∣ ∣_{p} = 0 \Leftrightarrow f = g a . e . [E]$ ，即 $d (f, g) = 0 \Leftrightarrow f = g a . e . [E]$ .

对称性： $d (f, g) = d (g, f)$ 显然成立。

距离的三角不等式：由范数的三角不等式 $∣∣ f - g ∣ ∣_{p} = ∣∣ (f - h) + (h - g) ∣ ∣_{p} \leq ∣∣ f - h ∣ ∣_{p} + ∣∣ h - g ∣ ∣_{p}$ ，即得距离的三角不等式 $d (f, g) \leq d (f, h) + d (h, g)$ .

定义：设 $E \in M_{n}$ ， $f_{m} \in L^{p} (E)$ （ $m = 1, 2, \dots$ ），若存在 $f \in L^{p} (E)$ ，使得 $m \to \infty lim d (f_{m}, f) = m \to \infty lim ∣∣ f_{m} - f ∣ ∣_{p} = 0$ ，就称函数列 ${f_{m}}$ 依 $L^{p}$ 的意义收敛于 $f$ （有的书会写“ ${f_{m}}$ 按范数收敛于 $f$ ”）， ${f_{m}}$ 为 $L^{p} (E)$ 中的收敛列， $f$ 是 ${f_{m}}$ 的极限，记作 $f_{m} \to L^{p} f$ 或 $L^{p} - m \to \infty lim f_{m} = f$ ，在不引起误解的情况下可简记为 $f_{m} \to f$ 或 $m \to \infty lim f_{m} = f$ 。若 $1 \leq p < \infty$ ，则称“ $L^{p}$ 收敛”为“p次平均收敛”；若 $p = 1, 2$ ，又分别称为“平均收敛”与“均方收敛”。

要证明 ${f_{m}}$ 是否 $L^{p}$ 收敛，首先要验证 $f_{m}$ 是否 $\in L^{p} (E)$ ，然后再验证 $m \to \infty lim ∣∣ f_{m} - f ∣ ∣_{p}$ 是否 $= 0$ ，求 $p$ 范数时会出现积分符号，可以用Lebesgue积分的控制收敛定理，把极限和积分符号互换。

$L^{p}$ 收敛具有以下性质：

（1）若 $f_{m} \to L^{p} f$ ， $f_{m} \to L^{p} g$ ，则 $f = g a . e . [E]$ ，也就是 $f$ 和 $g$ 仅在零测集上不相等，我们可以简单地说极限唯一；

（2）若 $f_{m} \to L^{p} f$ ，则数列 ${∣∣ f_{m} ∣ ∣_{p}}$ 有界，且 $m \to \infty lim ∣∣ f_{m} ∣ ∣_{p} = ∣∣ f ∣ ∣_{p}$ ；

（3）若 $f_{m} \to L^{p} f$ ， $g_{m} \to L^{p} g$ ，则 $f_{m} \pm g_{m} \to L^{p} f \pm g$ ， $α g_{m} \to L^{p} αg$ （ $\forall α \in R$ ）；

定理：对于给定的 $E \in M_{n}$ ，设 $f_{m}, f \in L^{p} (E)$ ，其中 $m = 1, 2, \dots$ ， $1 \leq p < \infty$ ，若 $f_{m} \to L^{p} f$ ，则 ${f_{m}}$ 依测度收敛到 $f$ .

实际上，依测度收敛要比 $L^{p}$ 收敛弱。

证明： $\forall ϵ > 0$ ，令 $E_{m} (ϵ) = {x \in E ∣ ∣ f_{m} (x) - f (x) ∣ > ϵ}$ ，则 $ϵ m (E_{m} (ϵ))^{\frac{1}{p}} \leq (\int_{E_{m} (ϵ)} ∣ f_{m} (x) - f (x) ∣^{p})^{\frac{1}{p}} \leq (\int_{E} ∣ f_{m} (x) - f (x) ∣^{p})^{\frac{1}{p}} = ∣∣ f_{m} - f ∣ ∣_{p} \to m \to \infty 0$

定理（ $L^{p}$ 控制收敛定理）：设 $E \in M_{n}$ ， $f, f_{m} \in M (E)$ ，其中 $m = 1, 2, \dots$ ，而且 $f_{m} \to f a . e . [E]$ 或 $f_{m} \to m f$ 。若 $g \in L^{p} (E)$ ， $1 \leq p < \infty$ ，使得 $∣ f_{m} (x) ∣ \leq g (x) a . e . [E]$ ， $m = 1, 2, \dots$ ，则 $f_{m} \to L^{p} f$ .

证明：（关键在于给 $∣ f_{m} - f ∣^{p}$ 找到一个可积的控制函数，这样才能用Lebesgue积分的控制收敛定理让极限和积分符号互换，才能进行计算）

记 $h_{m} = ∣ f_{m} - f ∣^{p}$ ， $m = 1, 2, \dots$ ，则 ${h_{m}} \subset M (E)$ ， $h_{m} \to 0 a . e . [E]$ 或 $h_{m} \to m 0$ ，且 $∣ h_{m} (x) ∣ \leq (∣ f_{m} (x) ∣ + ∣ f (x) ∣)^{p} \leq 2^{p} g (x)^{p} a . e . [E]$ （其中因为 $∣ f_{m} (x) ∣$ 和 $∣ f (x) ∣$ 都 $\leq g (x)$ ，所以它们加起来 $\leq 2 g (x)$ ），因为 $2^{p} g (x)^{p} \in L^{1} (E)$ ，故 $\int_{E} ∣ g (x) ∣^{p} d x < \infty$ ，因此控制函数 $g (x)$ 是可积的。由Lebesgue积分的控制收敛定理得 $m \to \infty lim ∣∣ f - f_{m} ∣ ∣_{p}^{p} = m \to \infty lim \int_{E} ∣ f_{m} - f ∣^{p} d x = m \to \infty lim \int_{E} h_{m} d x = \int_{E} m \to \infty lim h_{m} d x = 0$ ，即 $f_{m} \to L^{p} f$ .

3. $L^{p}$ 空间完备性、可分性

在欧氏空间 $R^{n}$ 中，柯西收敛原理起着基本作用，在 $L^{p} (E)$ 空间中可建立同样的理论。

定义：设 $E \in M$ ， ${f_{m}} \subset L^{p} (E)$ ， $1 \leq p \leq \infty$ ，若 $k, m \to \infty lim ∣∣ f_{k} - f_{m} ∣ ∣_{p} = 0$ ，则称函数列 ${f_{m} (x)}$ 是空间 $L^{p} (E)$ 中的基本列（或柯西列）。若 $f_{m} \to L^{p} f$ ，由于 $∣∣ f_{k} - f_{m} ∣ ∣_{p} \leq ∣∣ f_{k} - f ∣ ∣_{p} + ∣∣ f - f_{m} ∣ ∣_{p}$ ，可知 $L^{p} (E)$ 中的收敛列必是基本列。

定理（完备性定理）：若 $E$ 是可测集， ${f_{m}}$ 是 $L^{p} (E)$ 中的基本列，则 ${f_{m}}$ 必是收敛列。

证明：首先考虑 $1 \leq p < \infty$ 的情形，易知 ${f_{m}}$ 在 $E$ 上是依测度收敛的基本列。根据第二章的定理可知，对于在 $E$ 上几乎处处有限的可测函数列， ${f_{k} (x)}$ 是 $E$ 上的依测度基本列 $\Leftrightarrow f_{k} \to m f$ 。于是存在 $E$ 上几乎处处有限的可测函数 $f (x)$ ，使得 ${f_{m}}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f$ ，又由Riesz定理，可选出子列 ${f_{m_{i}}}$ ，使得 $i \to \infty lim f_{m_{i}} (x) = f (x), a . e . [E]$ ，于是由Fatou引理得， $\int_{E} ∣ f_{m} (x) - f (x) ∣^{p} d x = \int_{E} i \to \infty lim ∣ f_{m} (x) - f_{m_{i}} (x) ∣^{p} d x \leq i \to \infty \underline{lim} \int_{E} ∣ f_{m} (x) - f_{m_{i}} (x) ∣^{p} d x$ ，所以有 $m \to \infty lim \int_{E} ∣ f_{m} (x) - f (x) ∣^{p} d x = 0$ ，即 $m \to \infty lim ∣∣ f_{m} - f ∣∣ = 0$ ，由不等式 $∣∣ f ∣ ∣_{p} \leq ∣∣ f_{m} - f ∣ ∣_{p} + ∣∣ f_{m} ∣ ∣_{p}$ 可得 $f \in L^{p} (E)$ .

再考虑 $p = \infty$ 的情形，设 ${f_{m}} \subset L^{\infty} (E)$ 满足 $k, m \to \infty lim ∣∣ f_{k} - f_{m} ∣ ∣_{\infty} = 0$ ，因为 $\forall k, m \in N$ 有 $∣ f_{k} (x) - f_{m} (x) ∣ \leq ∣∣ f_{k} - f_{m} ∣ ∣_{\infty}, a . e . [E]$ ，所以存在零测集 $Z \subset E$ ，使得 $x \in E \ Z$ 上有 $∣ f_{k} (x) - f_{m} (x) ∣ \leq ∣∣ f_{k} - f_{m} ∣ ∣_{\infty}$ （ $\forall k, m$ ），从而存在函数 $f (x)$ ，使得 $m \to \infty lim f_{m} (x) = f (x), x \in E \ Z$ ，易知 $f \in L^{\infty} (E)$ 。任给 $ϵ > 0$ ，存在自然数 $K$ ，使得当 $k, m > K$ 时， $∣∣ f_{k} - f_{m} ∣ ∣_{\infty} < ϵ$ ，由于当 $k > K$ 、 $x \in E \ Z$ 时， $∣ f_{k} (x) - f (x) ∣ = m \to \infty lim ∣ f_{k} (x) - f_{m} (x) ∣ \leq ϵ$ ，故当 $k > K$ 时， $∣∣ f_{k} - f ∣ ∣_{\infty} \leq ϵ$ ，这说明 $f_{k} \to L^{\infty} f$ .

推论：若 $f_{m} \to L^{p} f$ 成立，则 ${f_{m}}$ 有子列在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f$ .

定义：设 $E \in M_{n}$ ， $F \subset L^{p} (E)$ ，若对任意的 $f \in L^{p} (E)$ 以及 $ϵ > 0$ ，总存在 $g \in F$ ，使得 $∣∣ f - g ∣ ∣_{p} < ϵ$ ，则称函数类 $F$ 在 $L^{p} (E)$ 中稠密，也可称每个元素 $f \in L^{p} (E)$ 可用 $F$ 中的函数 $L^{p}$ 逼近，用数学语言来表示就是，函数类 $F \subset L^{p} (E)$ 稠密 $\Leftrightarrow$ 对任意 $f \in L^{p} (E)$ ，存在序列 ${f_{n}} \subset F$ ，使得 $f_{n} \to L^{p} f$ 。若 $L^{p} (E)$ 中存在可数稠密子集，则称 $L^{p} (E)$ 是可分的。

定理：每个 $f \in L^{p} (R^{n})$ 可用简单可测函数列逼近。

定义：考虑集合 $C_{c} (R^{n}) = {f \in C (R^{n}) ∣ \exists 紧集 A \subset R^{n}, f ∣_{R^{n} \ A} = 0}$ ，称 $f \in C_{c} (R^{n})$ 为有紧支集的连续函数。

定理：设 $E \subset R^{n}$ 是可测集，则每个 $f \in L^{p} (E)$ ，可用 $C_{c} (R^{n})$ 中的函数在 $E$ 上 $L^{p}$ 逼近。

定理：给定可测集 $E \subset R^{n}$ ，则每个 $f \in L^{p} (E)$ 可用 $R^{n}$ 上具有紧支集的阶梯函数来 $L^{p}$ 逼近。

定理：设 $E \subset R^{n}$ 是可测集，对于任意的 $1 \leq p < \infty$ ， $L^{p} (E)$ 中存在可数稠密子集，即 $L^{p} (E)$ 是可分空间。

命题：空间 $L^{\infty} [0, 1]$ 是不可分的。

定理：设 $f (x)$ 是 $E$ 上的可测函数，若存在常数 $M > 0$ ，使得对于一切 $E$ 上可积的简单函数 $φ (x)$ ，都有 $∣ \int_{E} f (x) φ (x) d x ∣ \leq M ∣∣ φ ∣ ∣_{q}$ ，则 $f \in L^{p} (E)$ ，且 $∣∣ f ∣ ∣_{p} \leq M$ ，其中 $q$ 与 $p$ 是共轭指数。

4. $L^{2}$ 空间

在欧氏空间 $R^{2}$ 中，点 $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的模长公式是 $∣∣ x ∣∣ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}$ ，在 $L^{p}$ 范数中只有 $L^{2}$ 范数才是 $R^{2}$ 中模长公式的直接推广，从而 $L^{2}$ 空间与 $R^{2}$ 空间有更多的共性。欧氏空间的一些几何概念，比如角度、垂直性等都可以引入到 $L^{2}$ 空间中。

定义：对于 $f, g \in L^{2} (E)$ ，记 $(f, g) = \int_{E} f (x) g (x) d x$ ，称 $(f, g)$ 为 $f$ 与 $g$ 的内积。

比如， $∣∣ f ∣ ∣_{2} = (f, f)$ .

注：在抽象测度空间， $L^{2} (X, F, μ)$ 的内积定义为 $(f, g) = \int_{X} f (x) g (x) μ (d x)$ ， $\forall f, g \in L^{2} (X, F, μ)$ .

内积的性质：

（1）双线性性： $(f, g)$ 分别关于 $f$ 与 $g$ 是线性的；

（2）对称性： $(f, g) = (g, f)$ ；

（3）正定性： $(f, f) \geq 0$ ；且 $(f, f) = 0$ 当且仅当 $f = 0, a . e . [E]$ ；

上述三条性质也称为内积公理。

定义：设 $f, f_{m} \in L^{2} (E)$ ， $m = 1, 2, \dots$ ，若对任意 $g \in L^{2} (E)$ ，都有 $m \to \infty lim (f_{m}, g) = (f, g)$ ，就称函数列 ${f_{m}}$ 弱收敛到函数 $f$ ，记作 $w - m \to \infty lim f_{m} = f$ ，也可以简记为 $f_{m} \to w f$ 或 $f_{m} \to f$ .

易知，弱收敛极限是唯一的。

$L^{2}$ 收敛比弱收敛强。

定理：设 $f \in L^{2} (E)$ ， ${f_{m}} \subset L^{2} (E)$ ，则 $f_{m} \to L^{2} f$ 的充分必要条件是：① $f_{m} \to w f$ ；② $m \to \infty lim ∣∣ f_{m} ∣∣ = ∣∣ f ∣∣$ 。

定理：若以下两个条件成立：① $∣∣ f_{m} ∣∣ \leq M$ ；②存在稠集 $Γ \subset L^{2} (E)$ 使得 $\forall g \in Γ$ 有 $m \to \infty lim (f_{m}, g) = (f, g)$ ；则 $w - m \to \infty lim f_{n} = f$ .

定义：设 $f, g \in L^{2} (E)$ ，若 $(f, g) = 0$ ，就称 $f$ 与 $g$ 正交（或垂直），记作 $f ⊥ g$ 。

定义：设函数列 ${φ_{a}}_{a \in A} \subset L^{2} (E)$ 中任意的两个元素都正交，则称 ${φ_{a}}_{a \in A}$ 是正交系；若对一切 $a \in A$ ，还有 $∣∣ φ_{a} ∣∣ = 1$ ，则称 ${φ_{a}}_{a \in A}$ 为标准正交系（或归一正交系）。

显然，函数系 ${φ_{α}}_{α \in A}$ 是标准正交系的充要条件是 $(φ_{a}, φ_{b}) = δ_{ab}$ ，其中 $δ_{ab}$ 是Kronecker记号： $δ_{ab} = {1, 0, a = b a \neq = b$ .

定理： $L^{2} (E)$ 中任一标准正交系都是可数的。

定义：设 ${φ_{k}}$ 是 $L^{2} (E)$ 中的标准正交系， $f \in L^{2} (E)$ ，称 $c_{k} = (f, φ_{k}) = \int_{E} f (x) φ_{k} (x) d x$ （其中 $k = 1, 2, \dots$ ）为 $f$ 关于正交系 ${φ_{k}}$ 的Fourier系数，称 $\sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} φ_{k}$ 为 $f$ 关于正交系 ${φ_{k}}$ 的Fourier级数，简记为 $f \sim \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} φ_{k}$ .

定理（Bessel不等式）：设 ${φ_{k}}$ 是 $L^{2} (E)$ 中一个标准正交系， $f \in L^{2} (E)$ ，则 $f (x)$ 的Fourier系数 ${c_{k}}$ 满足 $\sum_{k = 1}^{\infty} c_{k}^{2} \leq ∣∣ f ∣ ∣^{2}$ .

证明：令 $S_{N} (x) = \sum_{k = 1}^{N} c_{k} φ_{k} (x)$ ，则 $∣∣ f - S_{n} ∣ ∣^{2} = (f - \sum_{k = 1}^{N} c_{k} φ_{k}, f - \sum_{k = 1}^{N} c_{k} φ_{k}) = ∣∣ f ∣ ∣^{2} - 2 \sum_{k = 1}^{N} c_{k} + \sum_{k = 1}^{N} c_{k}^{2} = ∣∣ f ∣ ∣^{2} - \sum_{k = 1}^{N} c_{k}^{2} \geq 0$ ，再令 $N \to \infty$ ，得证。

定理（Riesz-Fischer定理）：设 ${φ_{k}}$ 是 $L^{2} (E)$ 中的标准正交系，若实数列 ${c_{k}}$ 满足条件 $\sum_{k = 1}^{\infty} c_{k}^{2} < \infty$ ，则级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} φ_{k}$ 在 $L^{2} (E)$ 中收敛。将该级数和记为 $f$ ，则 $(f, φ_{k}) = c_{k}$ ，且 $∣∣ \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} φ_{k} ∣ ∣^{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k}^{2}$ .

由该定理可知，当实数列 ${a_{k}}$ 满足条件 $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}^{2} < \infty$ 时，级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} φ_{k}$ 在空间 $L^{2} (E)$ 中收敛，记它们的全体为 $Γ = {\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} φ_{k} ∣ {a_{k}} 是实数列, 满足 \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}^{2} < \infty}$ .

定理：对任意给定的函数 $f \in L^{2} (E)$ ，令 $f = \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} φ_{k}$ ，其中 $c_{k}$ 是 $f$ 的Fourier系数，则 $f \in Γ$ ，且 $∣∣ f - f ∣∣ = g \in Γ min ∣∣ f - g ∣∣$ .

由此可见，当 $g = f$ 时 $∣∣ f - g ∣∣$ 达到最小值。

定义：设函数系 ${φ_{k}}$ 是 $L^{2} (E)$ 中的一个正交系，若 $L^{2} (E)$ 中不再存在非零 $f$ 能与一切 $φ_{k}$ 正交，则称此正交系 ${φ_{k}}$ 是 $L^{2} (E)$ 中的完全系。换句话说，若 $f \in L^{2} (E)$ 且满足 $(f, φ_{k}) = 0$ （其中 $k = 1, 2, \dots$ ），则必有 $f (x) = 0 a . e . [E]$ 成立。

定义：设函数系 ${φ_{k}}$ 是 $L^{2} (E)$ 中的一个标准正交系，若每个 $f \in L^{2} (E)$ 都可表成 $L^{2} (E)$ 中收敛的级数 $f = \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} φ_{k}$ ，则称 ${φ_{k}}$ 是空间 $L^{2} (E)$ 的一个标准正交基。

定理：设 ${φ_{k}}$ 是 $L^{2} (E)$ 中的一个标准正交系，则以下条件等价：

（1） ${φ_{k}}$ 是标准正交基；

（2） ${φ_{k}}$ 的有限线性组合之全体在 $L^{2} (E)$ 中稠密；

（3）完全性： $L^{2} (E)$ 中不再存在非零元素能与一切 $φ_{k}$ 正交；

（4）Parseval等式： $\forall f \in L^{2} (E)$ 有 $∣∣ f ∣ ∣^{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ (f, φ_{k}) ∣^{2}$ ；

（5）内积等式： $\forall f, g \in L^{2} (E)$ 有 $(f, g) = \sum_{k = 1}^{\infty} (f, φ_{k}) (φ_{k}, g)$ ；

定义：设 $ψ_{1} (x), ψ_{2} (x), \dots, ψ_{k} (x)$ 是定义在可测集 $E \subset R^{n}$ 上的函数，如果由 $a_{1} ψ_{1} (x) + a_{2} ψ_{2} (x) + \dots + a_{k} ψ_{k} (x) = 0, a . e . [E]$ ，可推得 $a_{i} = 0$ （其中 $i = 1, 2, \dots, k$ ）成立，那么称函数组 ${ψ_{i} (x) ∣ 1 \leq i \leq k}$ 是线性无关的。对于由无限多个函数组成的函数系，如果其中任意有限个函数是线性无关的，那么称此函数系是线性无关的。（显然线性无关函数系中不存在几乎处处等于零的函数）

易知，平方可积函数空间 $L^{2} (E)$ 中的正交系一定是线性无关的。而且 $L^{2} (E)$ 中的标准正交基 ${φ_{k}}$ 一定是极大线性无关的，即不存在非零元 $g$ ，使函数系 ${g, φ_{1}, φ_{2}, \dots}$ 是线性无关的。

Gram-Schmidt正交化：一个线性无关的函数系往往不是正交系，通过Gram-Schmidt正交化方法可以从一个线性无关系构造正交系：设 ${ψ_{k}}$ 是 $L^{2} (E)$ 中的线性无关系，令 $g_{1} = ψ_{1}$ ， $g_{2} = ψ_{2} - \frac{( ψ _{2} , g _{1} )}{∣∣ g _{1} ∣ ∣ ^{2}} g_{1}$ ，一般来说，用归纳定义，在取定 $g_{1}, g_{2}, \dots, g_{k - 1}$ 后，令 $g_{k} = ψ_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{( ψ _{k} , g _{i} )}{∣∣ g _{i} ∣ ∣ ^{2}} g_{i}$ ，这样算出来的函数系 ${g_{k}}$ 是正交系，若再令 $φ_{k} (x) = \frac{g _{k}}{∣∣ g _{k} ∣∣}$ ，则 ${φ_{k}}$ 是 $L^{2} (E)$ 的一个标准正交系。

5. 卷积与Fourier变换

扩充

由于Fourier变换是在复值函数上讨论的，所以先将前面的可测函数和可积函数扩充到复值的情形：

若 $u (x)$ 、 $v (x)$ 是可测集 $E$ 上两个几乎处处有限的实值可测函数，则函数 $u (x) + i v (x) = f (x)$ 定义了 $E$ 上几乎处处有限的复值函数，称 $f (x)$ 是 $E$ 上的复可测函数。全体 $E$ 上的复可测函数仍记作 $M (E)$ ，如果要强调函数取值于复数域，则记作 $M_{C} (E)$ ，不过一般不加下标 $C$ .

当 $\int_{E} ∣ f (x) ∣ d x < \infty$ ，则称 $f (x)$ 是 $E$ 上的可积函数，此时定义 $f$ 的积分值为 $\int_{E} f (x) d x = \int_{E} u (x) d x + i \int_{E} v (x) d x$ ，全体 $E$ 复可积函数仍记作 $L (E)$ ，如果要强调函数取值于复数域，则记作 $L_{C} (E)$ ，不过一般不加下标 $C$ .

显然，对于 $f, g \in L^{2} (E)$ ，复数 $α, β$ ，总有 $\int_{E} [α f (x) + β g (x)] d x = α \int_{E} f (x) d x + β \int_{E} g (x) d x$ .

经过这样的扩充后，Lebesgue积分理论的所有结果，只要不涉及函数值的大小比较（如非负性、单调性等），都可应用于复值可积函数。

容易证明 $∣ \int_{E} f (x) d x ∣ \leq \int_{E} ∣ f (x) ∣ d x$ ，实际上，记 $z = \int_{E} f (x) d x$ ，作极分解 $z = α ∣ z ∣$ ，显然有 $Re [\overline{α} f (x)] \leq ∣ \overline{α} f (x) ∣ = ∣ f (x) ∣$ ，于是有 $∣ \int_{E} f (x) d x ∣ = \overline{α} \int_{E} f (x) d x = \int_{E} \overline{α} f (x) d x = \int_{E} Re [\overline{α} f (x)] d x \leq \int_{E} ∣ f (x) ∣ d x$ .

函数类 $C (E)$ 、 $L^{p} (E)$ （ $1 \leq p \leq \infty$ ）也要作相应的扩充：设 $f = u + i v$ ，当 $1 \leq p < \infty$ 时，定义它的 $p$ 次范数为 $∣∣ f ∣ ∣_{p} = (\int_{E} ∣ f (x) ∣^{p} d x)^{\frac{1}{p}}$ ，其中 $∣ f (x) ∣ = u^{2} (x) + v^{2} (x)$ ；当 $p = \infty$ 时，定义它的 $\infty$ 范数为 $∣∣ f ∣ ∣_{\infty} = Δ \subset E, m (Δ) = 0 in f x \in E \Δ sup ∣ f (x) ∣$ ，即 $∣∣ f ∣ ∣_{\infty} = ∣∣ u^{2} + v^{2} ∣ ∣_{\infty}$ 。于是复值 $p$ 次可积函数空间是 $L^{\infty} (E) = {f = u + i v \in M (E) ∣ ∣∣ f ∣ ∣_{p} < \infty}$ ， $1 \leq p \leq \infty$ 。易见在复值情形仍有 $L^{1} (E) = L (E)$ .

对于复值 $L^{p} (E)$ 空间而言，Hölder不等式仍成立；”范数公理“也仍成立，其中齐次性的常数 $α$ 可以是复数；前面的关于 $L^{p}$ 收敛、 $L^{p}$ 空间完备性、可分性等在复值情形下都成立。特别地，复值 $L^{p} (E)$ 空间是完备的空间。

但是在复值平方可积函数空间 $L^{2} (E)$ 中，内积定义要做相应的修改：对于 $\forall f, g \in L^{2} (E)$ ，令 $(f, g) = \int_{E} f (x) \overline{g (x)} d x$ ，这是复欧式空间内积的推广，它满足以下”内积公理“：

（1）共轭双线性性：内积关于第一个变元是线性的，关于第二个变元是共轭线性的；

（2）共轭对称性： $(f, g) = \overline{(g, f)}$ ；

（3）正定性： $(f, f) \geq 0$ ，且 $(f, f) = 0 \Leftrightarrow f (x) = 0, a . e . [E]$ ；

关于实值 $L^{2}$ 空间中的弱收敛性、正交性、Fourier级数的展开、标准正交基等性质都可以移植到复值 $L^{2}$ 空间来，某些牵涉到复系数的情形，其条件或结论需要作一些调整，比如：

Bessel不等式要改成 $\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ c_{k} ∣^{2} \leq ∣∣ f ∣ ∣^{2}$ ；

Riesz-Fischer中实数列 ${c_{k}}$ 需改成复数列，且满足条件 $\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ c_{k} ∣^{2} < \infty$ ；

且由它推导出来的结论应该为当实数列 ${a_{k}}$ 满足条件 $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}^{2} < \infty$ 时，级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} φ_{k}$ 在空间 $L^{2} (E)$ 中收敛，记它们的全体为 $Γ = {\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} φ_{k} ∣ {a_{k}} 是复数列, 满足 \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ a_{k} ∣^{2} < \infty}$ .

内积公式应改成 $(f, g) = \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} \overline{d_{k}}$ .

卷积

设 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是 $R^{n}$ 上（实值或复值）的可测函数，若积分 $\int_{R^{n}} f (x - y) g (y) d y$ 存在，则称此积分为函数 $f$ 与 $g$ 的卷积，记为 $f * g (x)$ 。（注意：这里函数 $f (x - y)$ 可看作为 $R^{n} \times R^{n}$ 上的可测函数）

显然卷积有①对称性： $f * g = g * f$ ；②双线性性：卷积 $f * g$ 关于变元 $f$ 和 $g$ 分别是线性的。

定理（杨(Young)不等式）：若 $f \in L^{p} (R^{n})$ （ $1 \leq p \leq \infty$ ）、 $g \in L^{1} (R^{n})$ ，则 $f * g \in L^{p} (R^{n})$ ，且 $∣∣ f * g ∣ ∣_{p} \leq ∣∣ f ∣ ∣_{p} ∣∣ g ∣ ∣_{1}$ .

证明：当 $p = \infty$ 时， $∣ f * g (x) ∣ \leq \int_{R^{n}} ∣ f (x - y) ∣∣ g (y) ∣ d y \leq ∣∣ f ∣ ∣_{\infty} \int_{R^{n}} ∣ g (y) ∣ d y = ∣∣ f ∣ ∣_{\infty} ∣∣ g ∣ ∣_{1}$ ，所以 $f * g \in L^{\infty} (R^{n})$ ，且 $∣∣ f * g ∣ ∣_{\infty} \leq ∣∣ f ∣ ∣_{\infty} ∣∣ g ∣ ∣_{1}$ .

当 $1 \leq p < \infty$ 时，由Hölder不等式有， $∣ f * g (x) ∣ \leq \int_{R^{n}} ∣ f (x - y) ∣∣ g (y) ∣ d y = \int_{R^{n}} ∣ f (x - y) ∣∣ g (y) ∣^{\frac{1}{p}} ∣ g (y) ∣^{1 - \frac{1}{p}} d y \leq (\int_{R^{n}} ∣ f (x - y) ∣^{p} ∣ g (y) ∣ d y)^{\frac{1}{p}} (\int_{R^{n}} ∣ g (y) ∣ d y)^{\frac{p - 1}{p}}$ ，对上式两端作 $p$ 次乘方再对变量 $x$ 作积分，根据Fubini定理可知， $\int_{R^{n}} ∣ f * g (x) ∣ d x \leq ∣∣ g ∣ ∣_{1}^{p - 1} \int_{R^{n}} (\int_{R^{n}} ∣ f (x - y) ∣^{p} d x) ∣ g (y) ∣ d y = ∣∣ f ∣ ∣_{p}^{p} ∣∣ g ∣ ∣_{1}^{p}$ ，于是得 $f * g \in L^{p} (R^{n})$ ，且 $∣∣ f * g ∣ ∣_{p} \leq ∣∣ f ∣ ∣_{p} ∣∣ g ∣ ∣_{1}$ .

特别地，当 $p = 1$ 时，由此定理可见卷积运算关于 $L (R^{n})$ 空间是封闭的。

引理（平均连续性）：若 $f \in L^{p} (R^{n})$ （ $1 \leq p < \infty$ ），则有 $t \to 0 lim \int_{R^{n}} ∣ f (x + t) - f (x) ∣^{p} d x = 0$ .

定理：若 $f, g \in L^{2} (R^{n})$ ，则 $f * g (x)$ 是 $R^{n}$ 上有界连续函数，且 $∣∣ f * g ∣ ∣_{\infty} \leq ∣∣ f ∣ ∣_{2} ∣∣ g ∣ ∣_{2}$ .

证明：由Schwartz不等式得 $\int_{R^{n}} ∣ f (x - y) g (y) ∣ d y \leq (\int_{R^{n}} ∣ f (x - y) ∣^{2} d y)^{\frac{1}{2}} ∣∣ g ∣ ∣_{2} = ∣∣ f ∣ ∣_{2} ∣∣ g ∣ ∣_{2}$ ，所以 $f * g \in L^{\infty} (R^{n})$ ，且 $∣∣ f * g ∣ ∣_{\infty} \leq ∣∣ f ∣ ∣_{2} ∣∣ g ∣ ∣_{2}$ .

再用Schwartz不等式，得 $∣ f * g (x + t) - f * g (x) ∣^{2} \leq ∣∣ g ∣ ∣_{2}^{2} \int_{R^{n}} ∣ f (x + t - y) - f (x - y) ∣^{2} d y = ∣∣ g ∣ ∣_{2}^{2} \int_{R^{n}} ∣ f (y - t) - f (y) ∣^{2} d y$ ，由平均连续性可知， $f * g \in C (R^{n})$ .

定义：由 $n$ 个非负整数 $α_{i}$ （ $1 \leq i \leq n$ ）构成的有序数组 $α = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})$ 称为多重指数，对于每个 $α$ ，引入微分算子 $D^{α} = (\frac{\partial}{\partial x _{1}})^{α_{1}} \dots (\frac{\partial}{\partial x _{n}})^{α_{n}}$ ，称之为多重微分算子（有时也记作 $\partial^{α}$ ），它的次数是 $∣ α ∣ = α_{1} + α_{2} + \dots + α_{n}$ ，若 $∣ α ∣ = 0$ ，规定 $D^{α} f = f$ 。令 $Ω$ 是 $R^{n}$ 中的非空开集， $s$ 是自然数，记 $C^{\infty} (Ω) = {f \in C (Ω) ∣ D^{α} f \in C (Ω), \forall α}$ ， $C^{s} (Ω) = {f \in C (Ω) ∣ D^{α} f \in C (Ω), 对于 \forall α, 满足 ∣ α ∣ \leq s}$ .

定理：记 $B_{r} = {x \in R^{n} ∣ ∣∣ x ∣∣ < r}$ ，设 $g$ 是 $R^{n}$ 上的函数满足对一切 $r > 0$ ， $g \in L (B_{r})$ ，又 $f \in C_{c}^{s} (R^{n})$ ，则 $f * g \in C^{s} (R^{n})$ ，且 $D^{α} (f * g) = D^{α} f * g$ ， $∣ α ∣ \leq s$ .

定义：设 $φ (x)$ 是定义在 $R^{n}$ 上的函数，对任意的常数 $ε > 0$ ，记 $φ_{ε} (x) = ε^{- n} φ (\frac{x}{ϵ})$ .

定理：设 $φ \in L^{1} (R^{n})$ ，且 $∣∣ φ ∣ ∣_{1} = 1$ ，若 $f \in L^{p} (R^{n})$ ， $1 \leq p < \infty$ ，则有 $ε \to 0 lim ∣∣ φ_{ε} * f - f ∣ ∣_{p} = 0$ .

证明：根据卷积定义， $φ_{ε} * f (x) = \int_{R^{n}} f (x - y) φ_{ε} (y) d y = \int_{R^{n}} f (x - ε y) φ (y) d y$ ，令 $q$ 和 $p$ 为共轭指数，由Hölder不等式得

$∣ φ_{ε} * f (x) - f (x) ∣ = ∣ \int_{R^{n}} [f (x - ε y) - f (y)] φ (y) d y ∣ \leq \int_{R^{n}} ∣ f (x - ε y) - f (x) ∣∣ φ (y) ∣^{\frac{1}{p}} ∣ φ (y) ∣^{\frac{1}{q}} d y \leq [\int_{R^{n}} ∣ f (x - ε y) - f (x) ∣^{p} ∣ φ (y) ∣ d y]^{\frac{1}{p}}$

对上式两端作 $p$ 次方再对变量 $x$ 作积分，运用Fubini定理得 $\int_{R^{n}} ∣ φ_{ε} * f (x) - f (x) ∣^{p} d x \leq \int_{R^{n}} ∣ φ (y) ∣ (\int_{R^{n}} ∣ f (x - ε y) - f (x) ∣^{p} d x) d y$ ，令 $ε \to 0$ ，因为 $\int_{R^{n}} ∣ f (x - ε y) - f (x) ∣^{p} d x \leq 2^{p} ∣∣ f ∣ ∣_{p}^{p}$ ，由控制收敛定理，上面不等式右端可在积分号下取极限，再运用积分平均连续性，得 $ε \to 0 lim \int_{R^{n}} ∣ φ_{ϵ} * f (x) - f (x) ∣^{p} d x = \int_{R^{n}} ∣ φ (y) ∣ (ε \to 0 lim \int_{R^{n}} ∣ f (x - ε y) - f (x) ∣^{p} d x) d y = 0$ .

在 $L^{1} (R^{n})$ 卷积运算中无单位元，但是 $φ_{ε} * f \to L^{p} f$ ，所以 $φ_{ε}$ 称为卷积运算的渐近单位元。

6. $L^{2} (R^{n})$ 上的Fourier变换

定义：对于任意的 $f \in L (R^{n})$ ，令 $\hat{f} (t) = \frac{1}{( 2 π ) ^{\frac{n}{2}}} \int_{R^{n}} f (x) e^{- i t \cdot x} d x$ ，其中 $t \cdot x = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} x_{i}$ ，称 $\hat{f}$ 是 $f$ 的Fourier变换，记作 $F : f \to \hat{f}$ ，或者 $F f = \hat{f}$ 。 $F$ 是线性映射，即 $F (α f_{1} + β f_{2}) = α F (f_{1}) + β F (f_{2})$ 。

当 $f$ 是实值函数时，它的Fourier变换是复值函数，变量 $t$ 称为变量 $x$ 的对偶变量，引入记号，对于 $t \in R^{n}$ ， $e_{t} (x) = d e f e^{i t \cdot x}$ ，于是 $\hat{f} (t) = f * e_{t} (0) = \int_{R^{n}} f (x) e_{- t} (x) d x$ .

设 $f \in L (R^{n})$ ，由于 $∣ e_{t} (x) ∣ = 1$ ， $∣ f (x) e_{- t} (x) ∣ \leq ∣ f (x) ∣$ ，显然有 $∣ \hat{f} (t) ∣ \leq \frac{1}{( 2 π ) ^{\frac{n}{2}}} ∣∣ f ∣ ∣_{1}$ ，并且在积分号下取极限可得 $\hat{f}$ 是 $t$ 的连续函数，于是它的Fourier变换 $\hat{f}$ 是有界连续函数。

对于多重指标 $α = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})$ ，记 $D_{α} = i^{- ∣ α ∣} D^{α} = (\frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x _{1}})^{α_{1}} \dots (\frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x _{n}})^{α_{n}}$ ，则 $D_{α} e_{t} = t^{α} e_{t}$ ，其中 $t^{α} = t^{α_{1}} t^{α_{2}} \dots t^{α_{n}}$ 。若 $P$ 是复多项式， $P (ξ) = \sum c_{α} ξ^{α} = \sum c_{α} ξ_{1}^{α_{1}} ξ_{2}^{α_{2}} \dots ξ_{n}^{α_{n}}$ ，记 $P (D) = \sum c_{α} D_{α}$ ， $P (- D) = \sum (- 1)^{∣ α ∣} c_{α} D_{α}$ ，则 $P (D) e_{t} = P (t) e_{t}$ .

当 $x, y \in R^{n}$ ，引入平移算子 $τ_{r}$ 如下： $τ_{x} f (y) = f (y - x)$ .

引理：设 $f, g \in L^{1} (R^{n})$ ， $x \in R^{n}$ ，则

（1） $(τ_{x} f)^= e_{- x} \hat{f}$ ；

（2） $(e_{x} f)^= τ_{x} \hat{f}$ ；

（3） $(f * g)^= \hat{f} \overset{g}{^}$ ；

（4）若 $λ > 0$ ， $h (x) = f (\frac{x}{λ})$ ，则 $\hat{h} (t) = λ^{n} \hat{f} (λ t)$ ；

定义：若 $f \in C^{\infty} (R^{n})$ 满足对任意的 $N = 0, 1, 2, \dots$ ，有 $∣ α ∣ \leq N sup x \in R^{n} sup (1 + ∣ x ∣^{2})^{N} ∣ D^{α} f (x) ∣ < \infty$ ，则称 $f$ 为速降函数，由 $R^{n}$ 上速降函数全体构成的集合记作 $S (R^{n})$ .

根据定义 $f \in S (R^{n})$ 当且仅当对于任意的多重指数 $α$ 、任意 $R^{n}$ 上的多项式 $P$ ，函数 $P \cdot D^{α} f$ 是 $R^{n}$ 上的有界函数。因为可用 $(1 + ∣ x ∣^{2})^{n} P$ 代替 $P$ ，所以 $f \in S (R^{n})$ 等价于对一切的多项式 $P$ 、一切的多重指数 $α$ 有 $P \cdot D^{α} f \in L^{1} (R^{n})$ .

定理：具有紧支集的光滑函数全体 $C_{c}^{\infty} (R^{n})$ 在 $L^{p} (R^{n})$ （ $1 \leq p < \infty$ ）中稠密。

命题：速降函数空间 $S (R^{n})$ 具有以下的性质：

（1）若 $f \in S (R^{n})$ ，则对于任意的多项式 $P$ 、多重指数 $α$ 和 $\forall g \in S (R^{n})$ ，仍有 $P \cdot f, g \cdot f, D_{α} f \in S (R^{n})$ ；

（2） $(P (D) f)^= P \cdot \hat{f}$ ， $(P \cdot f)^= P (- D) \hat{f}$ ；

（3） $\hat{f} \in S (R^{n})$ ；

定理：若 $f \in L^{1} (R^{n})$ ，则 $\hat{f} \in C_{0} (R^{n})$ ，并且 $∣∣ f ∣ ∣_{\infty} \leq \frac{∣∣ f ∣ ∣ _{1}}{( 2 π ) ^{\frac{n}{2}}}$ .

定理（逆定理）：以下命题成立：

（1）若 $g \in S (R^{n})$ ，则 $g (x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{\frac{n}{2}}} \int_{R^{n}} \overset{g}{^} (t) e^{i x \cdot t} d t$ ；

（2）Fourier变换： $F : S (R^{n}) \to S (R^{n})$ 是一一在上的线性映射，而且 $F^{4} = I$ ；

（3）若 $f \in L^{1} (R^{n})$ ，且 $\hat{f} \in L^{1} (R^{n})$ ，令 $f_{0} (x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{\frac{n}{2}}} \int_{R^{n}} \hat{f} (t) e^{i x \cdot t} d t$ ，则 $f (x) = f_{0} (t), a . e . [R^{n}]$ .

定理：设 $f, g \in S (R^{n})$ ，则

（1） $f * g \in S (R^{n})$ ；

（2） $(f g)^= \hat{f} * \overset{g}{^}$ ；

定理（Plancherel定理）：存在 $L^{2} (R^{n})$ 到自身的一个一一在上线性映射 $Ψ$ ，它满足 $Ψ f = \hat{f}, \forall f \in S (R^{n})$ ，且 $∣∣Ψ f ∣ ∣_{2} = ∣∣ f ∣ ∣_{2}, \forall L^{2} (R^{n})$ .