高等数学笔记

一、极限

(一)ε-N语言、ε-δ语言

数列极限的定义：对于数列 ${x_{n}}$ ， $\forall ε > 0$ ， $\exists N$ ，使得 $n > N$ 时，有 $∣ x_{n} - a ∣ < ε$ ，则 $a$ 是数列的极限。

比如：证明数列 $2, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \frac{3}{4}, \dots, \frac{n + ( - 1 ) ^{n - 1}}{n}, \dots$ 的极限是1

$∣ x_{n} - 1∣ = ∣ \frac{n + ( - 1 ) ^{n - 1}}{n} - 1∣ = ∣ \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} ∣ = \frac{1}{n} < ε$ ，故当 $n > [\frac{1}{ε}]$ 时该数列的极限是1（这里的 $[\cdot]$ 是取整符号），写成定义的形式就是： $\forall ε > 0$ ，有 $N = [\frac{1}{ε}] + 1$ （定义是存在 $N$ ，所以即使是 $[\frac{1}{ε}] + 100$ 都是满足的），使得 $n > N$ 时， $∣ x_{n} - 1∣ = \dots = \frac{1}{n} < ε$ .

函数极限的定义：若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的去心邻域内有定义，且 $\exists A$ ， $\forall δ > 0$ ，当 $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$ 时，有 $∣ f (x) - A ∣ < ε$ ，则 $x \to x_{0} lim f (x) = A$

左极限： $x \to x_{0}^{-} lim f (x) = A$ ；右极限： $x \to x_{0}^{+} lim f (x) = A$ ；

当 $x \to x_{0}$ 时， $f (x)$ 的极限存在 $\Leftrightarrow$ 左右极限均存在且相等。

(二)无穷小

用变上、下限积分表示的函数

（1） $y = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ，其中 $f (t)$ 连续，则 $\frac{d y}{d x} = f (x)$

（2） $y = \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (t) d t$ ，其中 $φ_{1} (x)$ 、 $φ_{2} (x)$ 可导， $f (t)$ 连续，则 $\frac{d y}{d x} = f [φ_{2} (x)] φ_{2}^{'} (x) - f [φ_{1} (x)] φ_{1}^{'} (x)$
无穷小的比较

设 $lim f (x) = 0$ ， $lim g (x) = 0$ ，且 $lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = l$ ，则

（1） $l = 0$ ，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的高阶无穷小，记作 $f (x) = o [g (x)]$ ，也可以称 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的低阶无穷小

（2） $l \neq = 0$ ，称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同阶无穷小

（3）特别地，若 $l = 1$ ，称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是等价无穷小，记作 $f (x) \sim g (x)$
常见的等价无穷小（部分可由泰勒公式取前几项直接得出）

当 $x \to 0$ 时，有：

$sin x \sim x$ ， $tan x \sim x$ ， $arcsin x \sim x$ ， $arctan x \sim x$ ， $1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$

$x - sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}$ ， $tan x - x \sim \frac{1}{3} x^{3}$ ， $arcsin x - x \sim \frac{1}{6} x^{3}$ ， $x - arctan x \sim \frac{1}{3} x^{3}$ 、 $tan x - sin x \sim \frac{1}{2} x^{3}$

$ln (1 + x) \sim x$ ， $lo g_{a} (1 + x) \sim \frac{x}{l n a}$ ， $e^{x} - 1 \sim x$ ， $a^{x} - 1 \sim x ln a$

$(1 + x)^{α} - 1 \sim αx$ ， $n 1 + x - 1 \sim \frac{x}{n}$

(三)极限的求法

利用极限的四则运算和幂指数运算法则

设 $lim f (x) = A$ 、 $lim g (x) = B$ ，则有：
1. $lim [f (x) \pm g (x)] = lim f (x) \pm lim g (x) = A \pm B$
2. $lim [f (x) \cdot g (x)] = lim f (x) \cdot lim g (x) = A \cdot B$
3. $lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{l i m f ( x )}{l i m g ( x )} = \frac{A}{B}$ （设 $B \neq = 0$ ）
4. $lim [c f (x)] = c lim f (x)$
5. $lim {[f (x)]^{n}} = [lim f (x)]^{n}$
这里隐含了一个条件：极限可以四则运算的前提是极限存在。
两个准则

（1）准则1：单调有界数列极限一定存在
- 若 $x_{n + 1} \leq x_{n}$ （ $n$ 为正整数），且 $x_{n} \geq m$ （ $n$ 为正整数），则 $n \to \infty lim x_{n} = A$ 存在，且 $A \geq m$
- 若 $x_{n + 1} \geq x_{n}$ （ $n$ 为正整数），且 $x_{n} \leq M$ （ $n$ 为正整数），则 $n \to \infty lim x_{n} = A$ 存在，且 $A \leq M$
对于可以写出递推公式的数列，可以先用单调有界证明极限存在，然后在递推公式两边同时令 $n \to \infty$ ，用解方程的方式算出极限。

比如 $n 项 2 + 2 + 2 + \dots$ ，可以写出 $x_{n + 1} = 2 + x_{n}$ ，猜出数列的极限为2，用数学归纳法证明：因为 $x_{1} = 2 < 2$ ，设 $x_{n} < 2$ ，那么 $x_{n + 1} = 2 + x_{n} < 2 + 2 = 2$ 成立，故 $x_{n} < 2$ ，该数列有界。由于 $x_{n + 1} = 2 + x_{n} > x_{n}$ ，故单调递增。通过“单调有界必有极限”定理可知原式的极限存在。设其极限为 $a$ ，那么 $x_{n + 1} = 2 + x_{n}$ 两边同时令 $n \to \infty$ ，则 $a = 2 + a$ ，解出 $a = 2$ ，因此极限为2。

（2）准则2：（夹逼定理）设 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ ，若 $lim g (x) = A$ ，且 $lim h (x) = A$ ，则 $lim f (x) = A$
两个重要极限 （1） $x \to 0 lim \frac{s i n x}{x} = 1$ （2） $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ ，或写成 $x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

常见错误： $x \to + \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x^{2}} = x \to + \infty lim [(1 + \frac{1}{x})^{x}]^{x} = e^{x}$ （错误），因为 $x$ 趋向性应该是同时的，不能人为规定顺序，先让 $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ 的 $x$ 趋于无穷，再让其余部分的 $x$ 趋于无穷；这题的正确解法是用泰勒展开： $x \to + \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x^{2}} = x \to + \infty lim e^{x^{2} l n (1 + \frac{1}{x})} = x \to + \infty lim e^{x^{2} [\frac{1}{x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{x})^{2} + \frac{1}{3} (\frac{1}{x})^{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{x})^{4} + \dots]} = x \to + \infty lim e^{x - \frac{1}{2} + o (\frac{1}{x})} = + \infty$

而像 $x \to + \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x + 1} = x \to + \infty lim [(1 + \frac{1}{x})^{x}]^{\frac{x + 1}{x}} = x \to + \infty lim e^{\frac{x + 1}{x}} = e$ ，是正确的，虽然似乎违背的趋向同时性，但实际上是用了极限指数运算法则：设 $x \to x_{0} lim f (x) = A > 0$ 、 $x \to x_{0} lim g (x) = B$ ，则 $x \to x_{0} lim f (x)^{g (x)} = A^{B}$ 。

（可以理解为，对于 $x \to x_{0} lim f (x)^{g (x)}$ ，若 $g (x)$ 的极限不存在，就不能像前面那样算）
用无穷小重要性质和等价无穷小代换

用等价无穷小代换求极限时，乘积项可以直接代换，而和差项不能直接代换，但可以作为整体代换。

常见错误1： $x \to 0 lim (\frac{e ^{x} + x e ^{x}}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{x}) = x \to 0 lim (\frac{e ^{x} + x e ^{x}}{x} - \frac{1}{x})$ （错误），无穷小代换的本质是约分，正确写法应该是 $1 \times x \to 0 lim (\frac{e ^{x} + x e ^{x}}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{x}) = x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} \times x \to 0 lim (\frac{e ^{x} + x e ^{x}}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{x}) = x \to 0 lim [\frac{e ^{x} - 1}{x} \times (\frac{e ^{x} + x e ^{x}}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{x})]$

有时看似加减法可替换 $x \to 0 lim \frac{s i n x - 2 x}{t a n x} = x \to 0 lim \frac{x - 2 x}{x} = - 1$ （错误），这种写法是错误的，只是恰好蒙对了结果，正确做法是使用极限的加减法： $x \to 0 lim \frac{s i n x - 2 x}{t a n x} = x \to 0 lim \frac{s i n x}{t a n x} - x \to 0 lim \frac{2 x}{t a n x} = 1 - 2 = - 1$

如果拆开后极限不存在，就不能用极限的加减法了： $x \to 0 lim \frac{t a n x - x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{x - x}{x ^{3}} = 0$ （错误），正确做法应该是 $x \to 0 lim \frac{t a n x - x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{s e c ^{2} - 1}{3 x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{t a n ^{2} x}{3 x ^{2}} = \frac{1}{3}$

而乘积项是可以直接替换的： $x \to 0 lim \frac{a r c t a n x \cdot ( 1 - e ^{- x} ) ^{2}}{t a n ( 3 x ) \cdot l n ( 1 - x ^{2} )} = x \to 0 lim \frac{x \cdot x ^{2}}{3 x \cdot ( - x ^{2} )} = \frac{1}{3}$ .

常见错误2： $x \to 0 lim \frac{s i n ( x ^{2} s i n \frac{1}{x} )}{x} = x \to 0 lim \frac{x ^{2} s i n \frac{1}{x}}{x} = x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 零乘以有界函数 0$ （错误），等价无穷小要求 $x$ 趋于0，但不能等于0，而当 $\frac{1}{x} = nπ$ 时 $sin \frac{1}{x}$ 有可能是0，所以这里不能用等价无穷小，这题的正确做法是用夹逼定理： $0 \leq x \to 0 lim ∣ \frac{s i n ( x ^{2} s i n \frac{1}{x} )}{x} ∣ \leq ∣ x \to 0 lim \frac{x ^{2} s i n \frac{1}{x}}{x} ∣ = 0$ .
用泰勒公式代换
洛必达法则

洛必达法则：若同时满足以下三个条件，则 $lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = A$ （或 $\infty$ ）：

（1） $x \to x_{0} lim f (x) = 0$ 且 $x \to x_{0} lim g (x) = 0$ （即 $\frac{0}{0}$ 型），或者 $x \to x_{0} lim f (x) = \infty$ 且 $x \to x_{0} lim g (x) = \infty$ （即 $\frac{\infty}{\infty}$ 型）；

（2） $f (x)$ 和 $g (x)$ 在 $x_{0}$ 的去心邻域内可导，且 $g^{'} (x) \neq = 0$ ；

（3） $x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = A$ （或 $\infty$ ）（即极限存在或等于 $\infty$ ）。

说明：对于 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限，若分子分母导数都存在，且求导后相除再取极限的值是一个常数或等于 $\infty$ ，才能用洛必达法则。对于 $0 \cdot \infty$ 的形式，可以改写成 $\frac{0}{0}$ 的形式再使用洛必达法则。

比如 $x \to + \infty lim \frac{x + s i n ( x )}{x}$ ，由于求导后 $x \to + \infty lim 1 + cos (x)$ 是振荡的，因此不能用洛必达法则。

使用洛必达后的式子极限不存在，不代表原式极限不存在。

洛必达法则可以连续用，若用了一次洛必达法则后， $x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ 是 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，且满足洛必达的条件，那么可以继续用洛必达法则。
利用导数定义求极限

导数公式： $Δ x \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} = f^{'} (x_{0})$ （如果导数存在）
利用积分定义求极限

积分公式： $n \to \infty lim \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x$ （如果积分存在）
变形后再化简：

如指数形式可以化为： $e^{l n (x)} = x$ （比如 $a^{b} = e^{b l n (a)}$ ）

(四)函数的连续性、间断点

函数连续性的定义：假设 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内有定义，若在一点 $x_{0} \in (a, b)$ 处函数 $f (x)$ 的左、右极限存在，且在该点处极限值 $x \to x_{0} lim f (x)$ 等于函数值 $f (x_{0})$ ，则称 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。

也就是说函数连续有三个条件：

函数在 $x_{0}$ 的邻域内有定义；

函数在该点处的极限存在（左右极限存在且相等，即 $x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x)$ ；

在该点处的极限等于函数值，即 $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ 。

函数连续性的ε-δ定义： $\forall ε > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得当 $∣ x - x_{0} ∣ < δ$ 时，有 $∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ < ε$ .

初等函数在其定义区间上都是连续函数。（这里的初等函数指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数）

连续函数的和、差、积、商、有理数次乘方或开方、复合，仍为连续函数。

比如 $sin x^{n}$ 、 $e^{s i n x}$ 、 $cos (sin x)$ 等都是连续函数（ $n$ 一般约定为自然数），而像 $∣ x ∣$ 可以写成 $x^{2}$ ，因此它也是连续函数。

若 $f : (a, b) \to (c, d)$ 是一一满射的严格单调的在 $(a, b)$ 上的连续函数，那么其反函数 $f^{- 1}$ 是 $(c, d)$ 上的连续函数。

假定 $g : (c, d) \to R$ 在某一点 $y_{0} \in (c, d)$ 处连续，且 $x \to x_{0} lim f (x) = y_{0}$ ，那么对于任意一个 $x_{0}$ （可以是 $\pm \infty$ ，且不需要 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，甚至不需要 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处有定义），有 $x \to x_{0} lim g (f (x)) = g (y_{0})$ ，或者可以写成 $x \to x_{0} lim g (f (x)) = g (x \to x_{0} lim f (x))$ .

函数的间断点分成两类：

（1）第一类间断点：设 $x_{0}$ 是函数 $y = f (x)$ 的间断点，如果 $f (x)$ 在间断点 $x_{0}$ 处的左、右极限都存在，但不相等，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的第一类间断点。（第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点）

（2）第二类间断点：第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。（常见的第二类间断点有无穷间断点和震荡间断点）

(五)闭区间上连续函数的性质

在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f (x)$ ，有以下几个基本性质：

定理1：（有界定理）如果函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上必有界。
定理2：（最大值和最小值定理）如果函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 $M$ 和最小值 $m$ 。
- 其中最大值 $M$ 和最小值 $m$ 的定义如下：设 $f (x_{0}) = M$ 是区间 $[a, b]$ 上某点 $x_{0}$ 处的函数值，如果对于区间 $[a, b]$ 上的任意一点 $x$ ，总有 $f (x) \leq M$ ，则称 $M$ 为函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值，同样可以定义最小值 $m$ 。
定理3：（介值定理）如果函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且其最大值和最小值分别为 $M$ 和 $m$ ，则对于介于 $m$ 和 $M$ 之间的任何实数 $c$ ，在 $[a, b]$ 上至少存在一个 $ξ$ ，使得 $f (ξ) = c$ 。
- 推论：（零点定理）如果函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f (a)$ 与 $f (b)$ 异号，则在 $(a, b)$ 内至少存在一个点 $ξ$ ，使得 $f (ξ) = 0$ 。

二、导数与微分

(一)导数的求法

1. 导数的定义

导数的定义：设 $f (x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内有定义，对于给定的 $x_{0} \in (a, b)$ ，考虑一个增量 $Δ x \neq = 0$ ，使得 $Δ x \to 0 lim \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}$ 存在，则称这个函数在 $x_{0}$ 处可导，并称这个极限值是函数在 $x_{0}$ 处的导数或微商，记作 $f^{'} (x_{0})$ 或者 $\frac{df}{d x} ∣_{x = x_{0}}$ .

左导数： $Δ x \to 0 - 0 lim \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}$ ；右导数： $Δ x \to + 0 lim \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}$ ；导数存在 $\Leftrightarrow$ 左右导数存在且相等。

2. 导数(微分)表

导数	微分
$(c)^{'} = 0$	$d (c) = 0$
$(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$	$d (x^{α}) = α x^{α - 1} d x$
$(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）	$d a^{x} = a^{x} ln a d x$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）
$(e^{x})^{'} = e^{x}$	$d e^{x} = e^{x} d x$
$(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x l n a}$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）	$d lo g_{a} x = \frac{1}{x l n a} d x$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$	$d ln x = \frac{1}{x} d x$
$(sin x)^{'} = cos x$	$d sin x = cos x d x$
$(cos x)^{'} = - sin x$	$d cos x = - sin x d x$
$(tan x)^{'} = sec^{2} x$	$d tan x = sec^{2} x d x$
$(cot x)^{'} = - cs c^{2} x$	$d cot x = - cs c^{2} x d x$
$(sec x)^{'} = sec x tan x$	$d sec x = sec x tan x d x$
$(csc x)^{'} = - csc x cot x$	$d csc x = - csc x cot x d x$
$(arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$	$d arcsin x = \frac{1}{1 - x ^{2}} d x$
$(arccos x)^{'} = - \frac{1}{1 - x ^{2}}$	$d arccos x = - \frac{1}{1 - x ^{2}} d x$
$(arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$	$d arctan x = \frac{1}{1 + x ^{2}} d x$
$(arccot x)^{'} = - \frac{1}{1 + x ^{2}}$	$d arccot x = - \frac{1}{1 + x ^{2}} d x$
$[ln (x + x^{2} + a^{2})]^{'} = \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$	$d ln (x + x^{2} + a^{2}) = \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x$
$[ln (x + x^{2} - a^{2})]^{'} = \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$	$d ln (x + x^{2} - a^{2}) = \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} d x$
$(x^{x})^{'} = x^{x} (1 + ln x)$	$d x^{x} = x^{x} (1 + ln x) d x$

3. 导数四则运算法则

$[f (x) \pm g (x)]^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$

$[f (x) \cdot g (x)]^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

$[\frac{f ( x )}{g ( x )}]^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^{'} ( x )}{[ g ( x ) ] ^{2}}$ （其中 $g (x) \neq = 0$ ）

4. 复合函数求导

设 $y = f (u)$ ， $u = φ (x)$ ，如果 $φ (x)$ 在 $x$ 处可导， $f (u)$ 在对应点 $u$ 处可导，则复合函数 $y = f [φ (x)]$ 在 $x$ 处可导，且有 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x} = f^{'} [φ (x)] φ^{'} (x)$ 。

对应地 $d y = f^{'} (u) d u = f^{'} [φ (x)] φ^{'} (x) d x$ ，由于公式 $d y = f^{'} (u) d u$ 不管 $u$ 是自变量或中间变量都成立，因此称为一阶微分形式不变性。

5. 参数方程求导

设 $x = φ (t)$ ， $y = ψ (t)$ 确定的函数 $y = y (x)$ ，其中 $φ^{'} (t)$ 、 $ψ^{'} (t)$ 存在，且 $φ^{'} (t) \neq = 0$ ，则

一阶导数： $\frac{d y}{d x} = \frac{ψ ^{'} ( t )}{φ ^{'} ( t )}$

二阶导数： $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d [ \frac{d y}{d x} ]}{d x} = \frac{d [ \frac{d y}{d x} ]}{d t} \cdot \frac{1}{\frac{d x}{d t}} = \frac{ψ ^{''} ( t ) φ ^{'} ( t ) - ψ ^{'} ( t ) φ ^{''} ( t )}{[ φ ^{'} ( t ) ] ^{3}}$

6. 反函数求导

设 $y = f (x)$ 的反函数 $x = g (y)$ ，两者皆可导，且 $f^{'} (x) \neq = 0$ ，则

一阶： $g^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( x )} = \frac{1}{f ^{'} [ g ( y )]}$

二阶： $g^{''} (y) = \frac{d [ g ^{'} ( y )]}{d y} = \frac{d [ \frac{1}{f ^{'} ( x )} ]}{d x} \cdot \frac{1}{\frac{d y}{d x}} = - \frac{f ^{''} ( x )}{[ f ^{'} ( x ) ] ^{3}} = - \frac{f ^{''} [ g ( y )]}{{ f ^{'} [ g ( y )] } ^{3}}$

7. 隐函数求导

设 $y = y (x)$ 是由方程 $F (x, y) = 0$ 所确定，求 $y^{'}$ 的方法如下：把 $F (x, y) = 0$ 两边各项对 $x$ 求导，把 $y$ 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后解出 $y^{'}$ 的表达式（允许出现 $y$ 变量）。

8. 对数求导

先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数 $y^{'}$ 。对数求导法主要用于①幂指函数求导.②多个函数连乘或开方求导。

关于幂指函数 $y = [f (x)]^{g (x)}$ 常用的一种方法：写成 $y = e^{g (x) l n f (x)}$ ，这样就可以直接用复合函数运算法则进行。

9. 求n阶导数

先求出 $y^{'}$ 、 $y^{''}$ 、 $\dots$ 、总结出规律性，然后写出 $y^{(n)}$ ，最后用归纳法证明。

常用初等函数的 $n$ 阶导数公式

（1） $y = e^{x}$ ， $y^{(n)} = e^{x}$

（2） $y = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）， $y^{(n)} = a^{x} (ln a)^{n}$

（3） $y = sin x$ ， $y^{(n)} = sin (x + \frac{nπ}{2})$

（4） $y = cos x$ ， $y^{(n)} = cos (x + \frac{nπ}{2})$

（5） $y = ln x$ ， $y^{(n)} = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! x^{- n}$

两个函数相乘的 $n$ 阶导数可以通过莱布尼茨公式写出： $[u (x) v (x)]^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(k)} (x) v^{(n - k)} (x)$ ，其中 $C_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )! k !}$ ， $u^{(0)} (x) = u (x)$ ， $v^{(0)} (x) = v (x)$ ，且假设 $u (x)$ 和 $v (x)$ 都 $n$ 阶可导

连续、可微、可导之间的关系总结

连续不一定可导，但可导必连续（连续 $\Leftarrow$ 可导）。

一元函数中可微与可导等价（ $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处可微 $\Leftrightarrow f (x)$ 在 $x_{0}$ 处可导）。多元函数可微一定可导，可导不一定可微（可微 $\Rightarrow$ 可导）。

连续函数必可积，非连续函数不一定可积（连续 $\Rightarrow$ 可积）。对于黎曼积分，可积一定有界，但有界不一定可积，无界一定不可积。

（即，可微 $\Rightarrow$ 可导 $\Rightarrow$ 连续 $\Rightarrow$ 可积）

(二)微分中值定理

1. 罗尔定理

若函数 $f (x)$ 满足：

在闭区间 $[a, b]$ 上连续
在开区间 $(a, b)$ 内可导
$f (a) = f (b)$

则存在 $ξ \in (a, b)$ ，使得

$f^{'} (ξ) = 0$

2. 拉格朗日中值定理

若函数 $f (x)$ 满足：

在闭区间 $[a, b]$ 上连续
在开区间 $(a, b)$ 内可导

则存在 $ξ \in (a, b)$ ，使得

$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = f^{'} (ξ)$

或写成 $f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a)$

有时也写成 $f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0} + θ Δ x) \cdot Δ x$ （其中 $0 < θ < 1$ ， $Δ x$ 可正可负）

推论1：若 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{'} (x) \equiv 0$ ，则 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内为常数。

推论2：若 $f (x)$ 、 $g (x)$ 在 $(a, b)$ 内皆可导，且 $f^{'} (x) \equiv g^{'} (x)$ ，则在 $(a, b)$ 内 $f (x) = g (x) + C$ ，其中 $C$ 为一个常数。

证明：设 $g (x) = f (x) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} x$ ，则 $F (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且有：

$g (b) = f (b) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} b = \frac{b f ( a ) - a f ( b )}{b - a}$

$g (a) = f (a) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} a = \frac{b f ( a ) - a f ( b )}{b - a}$

因此 $g (a) = g (b)$ ，根据罗尔定理， $\exists ξ \in (a, b)$ ，使得 $g^{'} (ξ) = 0$ ，故 $f^{'} (ξ) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ ，即 $f^{'} (ξ) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ .

3. 柯西中值定理

若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 满足：

在闭区间 $[a, b]$ 上皆连续
在开区间 $(a, b)$ 内皆可导，且 $g^{'} (x) \neq = 0$

则存在 $ξ \in (a, b)$ 使得

$\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )}$

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，若 $g (x) = x$ ，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

证明：由拉格朗日中值定理知，存在 $η \in (a, b)$ ，使得 $g (b) - g (a) = g^{'} (η) (b - a)$ ，由于 $g^{'} (x) \neq = 0$ ，故 $g (b) - g (a) \neq = 0$

令 $φ (x) = [f (b) - f (a)] g (x) - [g (b) - g (a)] f (x)$ ，则 $φ (x)$ 在 $[a, b]$ 上满足罗尔中值定理的条件，故至少存在一点 $ξ \in (a, b)$ ，使得 $φ^{'} (ξ) = 0$ ，即 $[f (b) - f (a)] g^{'} (ξ) - [g (b) - g (a)] f^{'} (ξ) = 0$

由于 $g^{'} (x) \neq = 0$ ， $g (b) - g (a) \neq = 0$ ，故 $\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )}$ .

(三)泰勒公式

定理1：（皮亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式）设 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处有 $n$ 阶导数，则有公式 $f (x) = f (x_{0}) + \frac{f ^{'} ( x _{0} )}{1 !} (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)$ （其中 $x \to x_{0}$ ）

其中 $R_{n} (x) = 0 [(x - x_{0})^{n}]$ （其中 $x \to x_{0}$ ），称为皮亚诺余项（ $x \to x_{0} lim \frac{R _{n} ( x )}{( x - x _{0} ) ^{n}} = 0$ ）。
定理2：（拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式）设 $f (x)$ 在包含 $x_{0}$ 的区间 $(a, b)$ 内有 $n + 1$ 阶导数，在 $[a, b]$ 上有 $n$ 阶连续导数，则对 $x \in [a, b]$ ，有公式 $f (x) = f (x_{0}) + \frac{f ^{'} ( x _{0} )}{1 !} (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)$

其中 $R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}$ （其中 $ξ$ 在 $x_{0}$ 与 $x$ 之间），称为拉格朗日余项。

上面展开式称为以 $x_{0}$ 为中心的 $n$ 阶泰勒公式，当 $x_{0} = 0$ 时，也称为 $n$ 阶麦克劳林公式。

一些常用的在 $x = 0$ 处的泰勒公式（皮亚诺余项）

当 $x \to 0$ 时，一些常用的泰勒公式如下

$e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + o (x^{n})$

$sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} + \dots + (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} + o (x^{2 n + 1})$

$cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots + (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} + o (x^{2 n})$

$ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n + 1} \frac{x ^{n}}{n} + o (x^{n})$

$arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots + (- 1)^{n + 1} \frac{x ^{2 n + 1}}{2 n + 1} + o (x^{2 n + 1})$

$(1 + x)^{α} = 1 + αx + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{α ( α - 1 ) \dots [ α - ( n - 1 )]}{n !} x^{n} + o (x^{n})$

$tan x$ 的泰勒级数和伯努利数有关 $tan x = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n - 1} 2 ^{2 n} ( 2 ^{2 n} - 1 ) B _{2 n}}{( 2 n )!} x^{2 n - 1}$ ，其中 $B_{2 n}$ 是伯努利数的第 $2 n$ 项，一般用前几项即可 $tan x = x + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 x ^{5}}{15} + \frac{17 x ^{7}}{315} + \frac{62 x ^{9}}{2835} + \frac{1382 x ^{11}}{155925} + \dots + o (x^{11})$

若 $n \to \infty lim R_{n} (x) = 0$ ，那么泰勒公式就转化为泰勒级数。

(四)导数的应用

1. 用微分求近似值

$f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x$

2. 求解函数最大/最小值

极值、极值点的定义：设函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内有定义， $x_{0}$ 是 $(a, b)$ 内的某一点，则

如果 $x_{0}$ 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点 $x$ （ $x \neq = x_{0}$ ），总有 $f (x) < f (x_{0})$ ，则称 $f (x_{0})$ 为函数 $f (x)$ 的一个极大值，称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点。
如果 $x_{0}$ 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点 $x$ （ $x \neq = x_{0}$ ），总有 $f (x) > f (x_{0})$ ，则称 $f (x_{0})$ 为函数 $f (x)$ 的一个极小值，称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的极小值点。

函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

驻点的定义：满足 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 的 $x_{0}$ 称为 $f (x)$ 的驻点。

必要条件（可导情形）：设函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，且 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的一个极值点，则 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 。

极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。

第一充分条件：设 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，在 $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$ 内可导， $f^{'} (x_{0})$ 不存在，或 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 。

（1）如果在 $(x_{0} - δ, x_{0})$ 内的任一点 $x$ 处，有 $f^{'} (x) > 0$ ，而在 $(x_{0}, x_{0} + δ)$ 内的任一点 $x$ 处，有 $f^{'} (x) < 0$ ，则 $f (x_{0})$ 为极大值， $x_{0}$ 为极大值点。

（2）如果在 $(x_{0} - δ, x_{0})$ 内的任一点 $x$ 处，有 $f^{'} (x) < 0$ ，而在 $(x_{0}, x_{0} + δ)$ 内的任一点 $x$ 处，有 $f^{'} (x) > 0$ ，则 $f (x_{0})$ 为极小值， $x_{0}$ 为极小值点。

（3）如果在 $(x_{0} - δ, x_{0})$ 内与 $(x_{0}, x_{0} + δ)$ 内的任一点 $x$ 处， $f^{'} (x)$ 的符号相同，那么 $f (x_{0})$ 不是极值， $x_{0}$ 不是极值点。

第二充分条件：设函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处有二阶导数，且 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ， $f^{''} (x_{0}) \neq = 0$ ，则

（1）当 $f^{''} (x_{0}) < 0$ 时， $f (x_{0})$ 为极大值， $x_{0}$ 为极大值点。

（2）当 $f^{''} (x_{0}) > 0$ 时， $f (x_{0})$ 为极小值， $x_{0}$ 为极小值点。

极值求解步骤：求函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值和最小值的方法：首先找出 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内所有驻点和不可导点 $x_{1}$ 、 $\dots$ 、 $x_{k}$ ，然后计算 $f (x_{1})$ 、 $\dots$ 、 $f (x_{k})$ 、 $f (a)$ 、 $f (b)$ ，最大的就是 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值 $M$ ，最小的就是 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值 $m$ 。

3. 求解凹凸性与拐点

凹凸的定义：设 $f (x)$ 在区间 $I$ 上连续，若对任意不同的两点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，恒有 $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) > \frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})]$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上是凸的。（若 $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})]$ 则是凹的）

在几何上，曲线 $y = f (x)$ 上任意两点的割线在曲线下（上）面，则 $y = f (x)$ 是凸（凹）的。

若曲线 $y = f (x)$ 有切线的话，每一点的切线都在曲线上（下），则 $y = f (x)$ 是凸（凹）的。

拐点的定义：曲线上凹与凸的分界点，成为曲线的拐点。

凹凸性的判别：设函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内有二阶导数 $f^{''} (x)$ 。则

（1）如果在 $(a, b)$ 内的每一点 $x$ ，恒有 $f^{''} (x) > 0$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(a, b)$ 内是凹的。

（2）如果在 $(a, b)$ 内的每一点 $x$ ，恒有 $f^{''} (x) < 0$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(a, b)$ 内是凸的。

拐点求解步骤：先求出二阶导数 $f^{''} (x)$ ，然后找出使 $f^{''} (x)$ 等于零或二阶导数不存在的点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{k}$ ，对于以上的连续点，检查各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标，再求出拐点的纵坐标即可。

4. 求渐近线

（1）垂直渐近线：若 $x \to a^{+} lim f (x) = \infty$ 或 $x \to a^{-} lim f (x) = \infty$ ，则 $x = a$ 为曲线 $y = f (x)$ 的一条垂直渐近线。

（2）水平渐近线：若 $x \to + \infty lim f (x) = b$ ，或 $x \to - \infty lim f (x) = b$ ，则 $y = b$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条水平渐近线。

（3）斜渐近线：

若 $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a \neq = 0$ ， $x \to + \infty lim [f (x) - a x] = b$
或 $x \to - \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a \neq = 0$ ， $x \to - \infty lim [f (x) - a x] = b$

则 $y = a x + b$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条斜渐近线。

5. 曲率

设曲线 $y = f (x)$ 在点 $M (x, y)$ 处的曲率 $k = \frac{y ^{''}}{[ 1 + ( y ^{'} ) ^{2} ] ^{\frac{3}{2}}}$ ，若 $k \neq = 0$ ，则称 $R = \frac{1}{k}$ 为点 $M (x, y)$ 处的曲率半径，在 $M$ 点的法线上，凹向这一边取一点 $D$ ，使 $∣ M D ∣ = R$ ，则称 $D$ 为曲率中心，以 $D$ 为圆心， $R$ 为半径的圆周称为曲率圆。

三、积分

(一)不定积分求法

1. 基本积分公式

（1） $\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ （ $α \neq = - 1$ ，且为实常数）

（2） $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ （记得取绝对值）

（3） $\int a^{x} d x = \frac{1}{l n a} a^{x} + C$ （ $a > 0$ ， $a \neq = - 1$ ），特别地， $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

（4） $\int cos x d x = sin x + C$

（5） $\int sin x d x = - cos x + C$

（6） $\int sec^{2} x d x = \int \frac{1}{c o s ^{2} x} d x = tan x + C$

（7） $\int csc^{2} x d x = \int \frac{1}{s i n ^{2} x} d x = - cot x + C$

（8） $\int tan x sec x d x = sec x + C$

（9） $\int cot x csc x d x = - csc x + C$

（10） $\int tan x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$

（11） $\int cot x d x = ln ∣ sin x ∣ + C$

（12） $\int sec x d x = ln ∣ sec x + tan x ∣ + C$

（13） $\int csc x d x = ln ∣ csc x - cot x ∣ + C$

（14） $\int \frac{1}{a ^{2} + x ^{2}} d x = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C$ （ $a > 0$ ）

（15） $\int \frac{1}{a ^{2} - x ^{2}} d x = \frac{1}{2 a} ln ∣ \frac{a + x}{a - x} ∣ + C$ （ $a > 0$ ）

（16） $\int \frac{1}{a ^{2} - x ^{2}} d x = arcsin \frac{x}{a} + C$ （ $a > 0$ ）

（17） $\int \frac{1}{x ^{2} \pm a ^{2}} d x = ln ∣ x + x^{2} \pm a^{2} ∣ + C$ （ $a > 0$ ）

（18） $\int x^{2} + a^{2} d x = \frac{x}{2} x^{2} + a^{2} + \frac{a ^{2}}{2} ln ∣ x + x^{2} + a^{2} ∣ + C$ （ $a > 0$ ）

（19） $\int x^{2} - a^{2} d x = \frac{x}{2} x^{2} - a^{2} - \frac{a ^{2}}{2} ln ∣ x + x^{2} - a^{2} ∣ + C$ （ $a > 0$ ）

（20） $\int a^{2} - x^{2} d x = \frac{a ^{2}}{2} arcsin \frac{x}{a} + \frac{1}{2} x a^{2} - x^{2} + C$ （ $a > 0$ ）

2. 第一类换元积分法（凑微分）

设 $\int f (u) d u = F (u) + C$ ，又 $φ (x)$ 可导，则 $\int f [φ (x)] φ^{'} (x) d x = \int f [φ (x)] d φ (x) = 令 u = φ (x) \int f (u) d u = F (u) + C = F [φ (x)] + C$

比如，常用的几种凑微分形式：

（1） $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} \int f (a x + b) d (a x + b)$ （ $a \neq = 0$ ）.

（2） $\int f (a x^{n} + b) x^{n - 1} d x = \frac{1}{na} \int f (a x^{n} + b) d (a x^{n} + b)$ （ $a \neq = 0$ ， $n \neq = 0$ ）.

（3） $\int \frac{f ( l n x )}{x} d x = \int f (ln x) d (ln x)$ .

（4） $\int \frac{f ( \frac{1}{x} )}{x ^{2}} d x = - \int f (\frac{1}{x}) d \frac{1}{x}$ .

（5） $\int \frac{f ( x )}{x} d x = 2 \int f (x) d (x)$ .

（6） $\int f (a^{x}) a^{x} d x = \frac{1}{l n a} \int f (a^{x}) d (a^{x})$ ，（ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ），特别地 $\int f (e^{x}) e^{x} d x = \int f (e^{x}) d e^{x}$ .

（7） $\int f (sin x) cos x d x = \int f (sin x) d (sin x)$ .

（8） $\int f (cos x) sin x d x = - \int f (cos x) d (cos x)$ .

（9） $\int f (tan x) sec^{2} x d x = \int f (tan x) d (tan x)$ .

（10） $\int f (cot x) csc^{2} x d x = - \int f (cot x) d (cot x)$ .

（11） $\int f (sec x) sec x tan x d x = \int f (sec x) d (sec x)$ .

（12） $\int f (csc x) csc x cot x d x = - \int f (csc x) d (csc x)$ .

（13） $\int \frac{f ( a r c s i n x )}{1 - x ^{2}} d x = \int f (arcsin x) d (arcsin x)$ .

（14） $\int \frac{f ( a r c c o s x )}{1 - x ^{2}} d x = - \int f (arccos x) d (arccos x)$ .

（15） $\int \frac{f ( a r c t a n x )}{1 + x ^{2}} d x = \int f (arctan x) d (arctan x)$ .

（16） $\int \frac{arccot x}{1 + x ^{2}} d x = - \int f (arccot x) d (arccot x)$ .

（17） $\int \frac{f ( a r c t a n \frac{1}{x} )}{1 + x ^{2}} d x = - \int f (arctan \frac{1}{x})) d (arctan \frac{1}{x}))$ .

（18） $\int \frac{f [ l n ( x + x ^{2} + a ^{2} )]}{x ^{2} + a ^{2}} d x = \int f [ln (x + x^{2} + a^{2})] d [ln (x + x^{2} + a^{2})]$ ，（ $a > 0$ ）.

（19） $\int \frac{f [ l n ( x + x ^{2} - a ^{2} )]}{x ^{2} - a ^{2}} d x = \int f [ln (x + x^{2} - a^{2})] d [ln (x + x^{2} - a^{2})]$ ，（ $a > 0$ ）.

（20） $\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C$ ，（ $f (x) \neq = 0$ ）.

技巧：对于 $\int \frac{A s i n x + B c o s x}{C s i n x + D c o s x} d x$ 型，可令 $A sin x + B cos x = a (C sin x + D cos x) + b (C sin x + D cos x)^{'}$ ，解出 $a$ 和 $b$ ，再回代，原式可化简为 $a x + b \int \frac{d ( C s i n x + D c o s x )}{C s i n x + D c o s x}$ 。

比如 $\int \frac{3 s i n x + 4 c o s x}{2 s i n x + c o s x} d x$ 可令 $3 sin x + 4 cos x = a (2 sin x + cos x) + b (2 sin x + cos x)^{'}$ ，则 $原式 = a x + b \int \frac{d ( 2 s i n x + c o s x )}{2 s i n x + c o s x}$ .

技巧：对于分母是偶数次幂（比如2、4等），有时可以利用分式求导法则试出来，思路类似待定系数法。

比如，求 $I = \int \frac{x + s i n x c o s x}{( x s i n x + c o s x ) ^{2}} d x$ ：

考虑函数 $\frac{y}{x s i n x + c o s x}$ ，求导为 $\frac{y ^{'} \cdot ( x s i n x + c o s x ) - y ( x c o s x )}{( x s i n x + c o s x ) ^{2}}$ ，分子与原式对比，有 $y cos x = sin x cos x$ ，故可令 $y = - cos x$ ，代入发现 $(\frac{- c o s x}{x s i n x + c o s x})^{'}$ 刚好就是原式的被积函数，因此可以写出如下过程：

$I = \int \frac{x + s i n x c o s x}{( x s i n x + c o s x ) ^{2}} d x = \int \frac{x + s i n x c o s x}{c o s ^{2} x ( x t a n x + 1 ) ^{2}} d x = \int \frac{x s e c ^{2} x + t a n x}{( x t a n x + 1 ) ^{2}} d x = \int \frac{1}{( x t a n x + 1 ) ^{2}} d (x tan x + 1) = - \frac{1}{x t a n x + 1} + C$

对于分母是4次方，常规做法是：

$\int (\frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} - \frac{f ^{2} ( x ) f ^{''} ( x )}{[ f ^{'} ( x ) ] ^{3}}) d x = \int \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} (1 - \frac{f ( x ) f ^{''} ( x )}{[ f ^{'} ( x ) ] ^{2}}) d x = \int \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} (\frac{[ f ^{'} ( x ) ] ^{2} - f ( x ) f ^{''} ( x )}{[ f ^{'} ( x ) ] ^{2}}) d x = \int \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} d \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} = \frac{1}{2} (\frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )})^{2} + C$

故 $\int \frac{f ( x ) [ f ^{3} ( x ) ] ^{'} - f ^{2} ( x ) f ^{'} ( x ) f ^{''} ( x )}{[ f ^{'} ( x ) ] ^{4}} d x = \int d (\frac{1}{2} \frac{f ^{2} ( x )}{[ f ^{'} ( x ) ] ^{2}})$

3. 第二类换元积分法

设 $x = φ (t)$ 可导，且 $φ^{'} (t) \neq = 0$ ，若 $\int f [φ (t)] φ^{'} (t) d t = G (t) + C$ ，则 $\int f (x) d x = 令 x = φ (t) \int f [φ (t)] φ^{'} (t) d t = G (t) + C = G [φ^{- 1} (x)] + C$ ，其中 $t = φ^{- 1} (x)$ 是 $x = φ (t)$ 的反函数

第二类换元积分主要用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换有：

（1）被积函数是 $x$ 与 $n a x + b$ 或 $x$ 与 $n \frac{a x + b}{c x + d}$ 或由 $e^{x}$ 构成的代数式的根式，例如 $n a e^{x} + b$ 等。这时只要令整个根式等于 $t$ ，即 $n g (x) = t$ ，若用 $t$ 表示 $x$ 时 $x = φ (t)$ 不含根式，那么说明这种换元可行。

（2）被积函数含有 $A x^{2} + B x + C$ （ $A \neq = 0$ ），如果仍令 $A x^{2} + B x + C = t$ ，解出 $x = φ (t)$ 含有根号，那么这样变换不可行，要作特殊处理，若 $A > 0$ ，将根式化作 $A [(x - x_{0})^{2} \pm l^{2}]$ ，若 $A < 0$ ，将根式化作 $- A [l^{2} - (x - x_{0})^{2}]$ ，再作下列三种三角替换之一：

根式的形式	所作替换	三角示意图（求反函数用）
$a^{2} - x^{2}$	$x = a sin t$
$a^{2} + x^{2}$	$x = a tan t$
$x^{2} - a^{2}$	$x = a sec t$

代入后，利用 $1 - sin^{2} x = cos^{2} x$ 和 $1 + (tan x)^{2} = (sec x)^{2}$ ，消掉根号。

（3）欧拉代换：被积函数含有 $a x^{2} + b x + c$ 的积分，可以考虑

欧拉第一代换：若 $a > 0$ ，可令 $a x^{2} + b x + c = t + a x$ ，或者 $a x^{2} + b x + c = t - a x$ ，这时等式两端同时平方，消去 $a x^{2}$ 并移项，得 $x = \frac{t ^{2} - c}{2 a \cdot t + b}$ ，于是 $a x^{2} + b x + c = \frac{a \cdot t ^{2} + b t + c a}{2 a \cdot t + b}$ ， $d x = 2 \frac{a \cdot t ^{2} + b t + c a}{( 2 a \cdot t + b ) ^{2}}$ ；
欧拉第二代换：若 $c > 0$ ，可令 $a x^{2} + b x + c = x t + c$ ，或者 $a x^{2} + b x + c = x t - c$ ，这时 $x = \frac{2 c \cdot t - b}{a - t ^{2}}$ ， $a x^{2} + b x + c = \frac{c \cdot t ^{2} - b t + c \cdot a}{a - t ^{2}}$ ， $d x = 2 \frac{c \cdot t ^{2} - b t + c \cdot a}{( a - t ^{2} ) ^{2}} d t$ ；
欧拉第三代换：若 $a x^{2} + b x + c = a (x - λ) (x - μ)$ ，其中 $λ$ 、 $μ$ 为方程的两个不等的实根，则可令 $\frac{a ( x - μ )}{x - λ} = t$ ，或者当 $x > λ$ 时可以写成 $a x^{2} + b x + c = t (x - λ)$ ，此时 $x = \frac{- a μ + λ t ^{2}}{t ^{2} - a}$ ， $a x^{2} + b x + c = \frac{a ( λ - μ ) t}{t ^{2} - a}$ ， $d x = \frac{2 a ( μ - λ ) t}{( t ^{2} - a ) ^{2}} d t$ .

欧拉代换的好处在于，可以将 $x$ 和根式 $a x^{2} + b x + c$ 同时用 $t$ 有理地表示出来。

（4）万能替换：对于三角函数有理式，可以令 $t = tan \frac{x}{2}$ ，这时 $sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = \frac{2 s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2}}{s i n ^{2} \frac{x}{2} + c o s ^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 t a n \frac{x}{2}}{1 + t a n ^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ ， $cos x = 2 cos^{2} \frac{x}{2} - 1 = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ ， $tan x = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}$ ， $d t = \frac{1}{2} sec^{2} \frac{x}{2} d x$ ， $d x = \frac{2}{1 + t ^{2}} d t$ .

（5）若不能使用万能公式，则：

若 $R (sin x, - cos x) = - R (sin x, cos x)$ ，即被积函数关于 $cos x$ 为奇函数，则令 $t = sin x$ ；
若 $R (- sin x, cos x) = - R (sin x, cos x)$ ，即被积函数关于 $sin x$ 为奇函数，则令 $t = cos x$ ；
若 $R (- sin x, - cos x) = R (sin x, cos x)$ ，即被积函数关于 $sin x$ 和 $cos x$ 都为偶函数，令 $t = tan x$ ，则 $sin x = \frac{t a n x}{1 + t a n ^{2} x}$ 、 $cos x = \frac{1}{1 + t a n ^{2} x}$ 。

4. 分部积分法

设 $u (x)$ 、 $v (x)$ 均有连续的导数，则 $\int u (x) d v (x) = u (x) v (x) - \int v (x) d u (x)$ ，或 $\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x$

使用分部积分要求函数连续。

使用分部积分法时被积函数中谁看作 $u (x)$ 谁看作 $v^{'} (x)$ 有一定规律：

（1） $P_{n} (x) e^{a x}$ 、 $P_{n} (x) sin (a x)$ 、 $P_{n} (x) cos (a x)$ 的情形（其中 $P_{n} (x)$ 为 $n$ 次多项式， $a$ 为常数）：要使用 $n$ 次分部积分法，每次均取 $e^{a x}$ 、 $sin (a x)$ 、 $cos (a x)$ 为 $v^{'} (x)$ ，多项式部分为 $u (x)$ 。

（2） $P_{n} (x) ln x$ 、 $P_{n} (x) arcsin x$ 、 $P_{n} (x) arctan x$ 等情形（其中 $P_{n} (x)$ 为 $n$ 次多项式）：取 $P_{n} (x)$ 为 $v^{'} (x)$ ，取 $ln x$ 、 $arcsin x$ 、 $arctan x$ 为 $u (x)$ ，用一次分部积分法，被积函数形式发生改变，再考虑其他方法。

（3） $e^{a x} sin (a x)$ 、 $e^{a x} cos (a x)$ 等情形：取 $e^{a x}$ 为 $v^{'} (x)$ ，进行两次分部积分法后会出现原来的积分。

（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微分法，使尽量多的因子和 $d x$ 凑成。

速记口诀：反对幂指三。口诀中任意两种函数相乘的积分，按口诀顺序靠前的选为 $v^{'} (x)$ ；如果是其中一种与多项式 $P_{n} (x)$ 相乘的积分，反三角函数和对数函数的情形要取 $P_{n} (x)$ 为 $v^{'} (x)$ ；而幂函数、指数函数、三角函数与多项式 $P_{n} (x)$ 相乘的积分，则把自身视作 $v^{'} (x)$ ，把 $P_{n} (x)$ 视作 $u (x)$ 。

一些常见的递推积分：

$\int e^{a x} sin (b x) d x = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} (e^{a x})^{'} e^{a x} [sin (b x)]^{'} sin (b x)$ ，将 $sin$ 换成 $cos$ ，此形式也成立，该公式可以通过分部积分法推导出来；
$\int sin^{n} (x) d x = - \int sin^{n - 1} (x) d (cos x)$ ，可以通过分部积分法得到递推公式； $cos^{n} (x)$ 同理；
$\int tan^{n} (x) d x = \int tan^{n - 2} (x) \cdot (sec^{2} (x) - 1) d x$ ，可以通过分部积分法得到递推公式； $cot^{n} (x)$ 同理；
$\int sec^{n} (x) d x = \int sec^{n - 2} (x) d (tan x)$ ，分部积分后将 $tan x$ 化为 $sec x$ ，即可得到递推公式； $csc^{n} (x)$ 同理；
$\int \frac{1}{x ^{n} \cdot 1 + x ^{2}} d x = \int \frac{1}{x ^{n + 1}} d (1 + x^{2})$ ，可以通过分部积分计算。

如果连续使用多次分部积分，可以使用列表积分法，它是分部积分法的推广，或者说是总结出来的规律：

连续使用两次分部积分就会发现，第一次使用分部积分时求导的函数，如果它在第二次使用分部积分时变成求积分，会变回原来的式子。即 $\int f (x) g (x) d x = \int f (x) d G (x) = f (x) G (x) - \int f^{'} (x) G (x) d x$ ，其中 $f (x)$ 进行了一次求导，如果换成 $f$ 放进 $d$ 后面，变成 $f (x) G (x) - \int G (x) df (x) = f (x) G (x) - G (x) f (x) + \int g (x) f (x) d x$ .

因此在连续使用分部积分时求导的函数会继续求导，而积分的函数会继续积分，而且由于积分的部分有减号，因此积分项的符号会正负正负来回变换，可以用上图表示出这个规律。

比如， $\int f (x) g (x) d x = f (x) G (x) - \int f^{'} (x) d [\int G (x) d x] = f (x) G (x) - f^{'} (x) [\int G (x) d x] + \int f^{''} (x) \cdot [\int G (x) d x]$ ，因此连续使用两次分部积分可以简写成 $\int f (x) g (x) d x = f (x) [\int g (x)] - f^{'} (x) [\int\int g (x)] + \int f^{''} (x) [\int\int g (x)]$ ，其中最后一项为了用图中的列表表示出来，需要特殊处理。

如果一个函数求导到一个常数，就不用继续往下算了：

根据列表积分法，可以快速判断出什么时候可以使用连续多次的分部积分：某一个函数能求导到一个常数，且另一个函数能比较简单地连续积分求导的次数那么多次；或者求导以及积分若干次后会出现循环；比如 $\int x^{n} sin (a x) d x$ 、 $\int x^{n} e^{a x} d x$ 等都是常见的情况。注意，每次计算后，积分的形式应该是越来越简单的，如果发现越来越复杂，那么可能求导和积分的函数选错了，可以互换试试。

5. 技巧：多项式分式的部分分式法

对于 $\frac{P ( x )}{\prod ( x - x _{i} )}$ 的分式，总能拆解成 $\sum \frac{A _{i}}{x - x _{i}}$ 的形式；

对于分母次数大于1的多项式分式 $\frac{P ( x )}{( x - x _{0} ) ^{n}}$ ，总能拆解成 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{A _{i}}{( x - x _{0} ) ^{i}}$ ；

比如： $\frac{x ^{2} + 2}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{C}{x + 2}$

要求出 $C$ ，两边同乘 $x + 2$ ，然后令 $x = - 2$ ，于是 $C = \frac{2}{3}$ ；求 $B$ 就是两边同乘 $(x - 1)^{2}$ 再令 $x = 1$ ，于是 $B = 1$ ；剩下的 $A$ ，可以让 $x$ 取 $- 2$ 、 $1$ 以外的任意值，比如 $x = 0$ ，再代入求出来的 $B$ 和 $C$ ，解出 $A = \frac{1}{3}$ 。

比如： $\frac{x ^{3} + 1}{x ( x - 1 ) ^{3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{D}{( x - 1 ) ^{3}} = \frac{A ( x - 1 ) ^{3} + B x ( x - 1 ) ^{2} + C x ( x - 1 ) + D x}{x ( x - 1 ) ^{3}} = \frac{A ( x ^{3} - 3 x ^{2} + x - 1 ) + B ( x ^{3} - 2 x ^{2} + x ) + C ( x ^{2} - x ) + D x}{x ( x - 1 ) ^{3}} = \frac{( A + B ) x ^{3} + ( - 3 A - 2 B + C ) x ^{2} + ( A + B - C + D ) x + A}{x ( x - 1 ) ^{3}}$

通过比较系数法得 $⎩ ⎨ ⎧ 1 = A + B 0 = - 3 A - 2 B + C 0 = 3 A + B - C + D 1 = - A$ ，解方程得 $A = - 1$ 、 $B = 2$ 、 $C = 1$ 、 $D = 2$ 。

比如： $\frac{4}{x ^{3} + 4 x}$ ，分母有实根0和复根 $2 i$ 、 $- 2 i$ ，可设 $\frac{4}{x ^{3} + 4 x} = \frac{A}{x} + \frac{B x + c}{x ^{2} + 4}$ ，通分后得 $\frac{4}{x ^{3} + 4 x} = \frac{A ( x ^{2} + 4 ) + B x ^{2} + C x}{x ^{3} + 4 x}$ ，通过比较系数法得 $A = 1$ 、 $B = - 1$ 、 $C = 0$ 。

比如： $\frac{x ^{3} + x ^{2} + 2}{x ( x ^{2} + 2 ) ^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B _{1} x + C _{1}}{x ^{2} + 2} + \frac{B _{2} x + C _{2}}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$ ，解出 $A = \frac{1}{2}$ 、 $B_{1} = - \frac{1}{2}$ 、 $C_{1} = 1$ 、 $B_{2} = 0$ 、 $C_{2} = - 2$ 。

(二)定积分

定积分的性质

（1） $\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

（2） $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ .

（3） $\int_{a}^{b} [k_{1} f_{1} (x) + k_{2} f_{2} (x)] d x = k_{1} \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x + k_{2} \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x$ .

（4） $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ （ $c$ 是任意数，可以在 $[a, b]$ 之外）

（5）设 $a \leq b$ ， $f (x) \leq g (x)$ （ $a \leq x \leq b$ ），则 $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

（6）设 $a < b$ ， $m \leq f (x) \leq M$ （ $a \leq x \leq b$ ），则 $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$ .

（7）设 $a < b$ ，则 $∣ \int_{a}^{b} f (x) d x ∣ \leq \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ .

（8）积分形式的柯西-施瓦茨不等式： $[\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x]^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x \cdot \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x$ .

（9）积分形式的闵可夫斯基不等式： $(\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)]^{2} d x)^{\frac{1}{2}} \leq (\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x)^{\frac{1}{2}} + (\int_{a}^{b} g^{2} (x) d x)^{\frac{1}{2}}$ .

(三)定积分中值定理

1. 积分平均值定理

设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $g (x)$ 在 $[a, b]$ 不变号，并且 $g (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 是可积的，则在 $[a, b]$ 上存在一点 $ϵ$ ，使得

$\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = f (ε) \int_{a}^{b} g (x) d x$

证明：因为 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 不变号，不妨设 $g (x) \geq 0$ ，由函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续可知， $f (x)$ 在 $[a, b]$ 存在最大值 $M$ 和最小值 $m$ ，即 $m \leq f (x) \leq M$

两边同乘 $g (x)$ ，得 $m g (x) \leq f (x) g (x) \leq M g (x)$ ，其中 $x \in [a, b]$

再两边同时取积分，得 $m \int_{a}^{b} g (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x \leq M \int_{a}^{b} g (x) d x$ ，分情况讨论：

（1）若 $\int_{b}^{a} g (x) d x = 0$ ，那么 $\int_{a}^{b} f (x) g (x) = 0$ 上式成立；

（2）若 $\int_{a}^{b} g (x) d x \neq = 0$ ，那么 $m \leq \frac{\int _{a}^{b} f ( x ) g ( x ) d x}{\int _{a}^{b} g ( x ) d x} \leq M$

因为 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 连续，由介值定理可知， $\exists ε > 0$ ，使得 $f (ε) = \frac{\int _{a}^{b} f ( x ) g ( x ) d x}{\int _{a}^{b} g ( x ) d x}$ ，即 $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = f (ε) \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

2. 积分第一中值定理

设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $ξ \in [a, b]$ ，使得

$\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a)$

我们称 $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的积分平均值。

当积分平均值定理中的 $g (x) = 1$ ，就得到了积分第一中值定理。

3. 定积分第二中值定理

设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上单调，则 $\exists ξ \in [a, b]$ ，使得

$\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = g (a) \int_{a}^{ξ} f (x) d x + g (b) \int_{ξ}^{b} f (x) d x$

证明：由于 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，因此可设 $F (x) = \int_{a}^{b} f (t) f t$ ，则 $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = \int_{a}^{b} g (x) d F (x) = g (x) F (x) ∣_{a}^{b} - \int_{a}^{b} F (x) g^{'} (x) d x = g (b) \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} F (x) g^{'} (x) d x$

因为 $g^{'} (x)$ 在 $[a, b]$ 上不变号，则由积分第一中值定理可知，在 $[a, b]$ 上至少存在一点 $ξ$ ，使得 $\int_{a}^{b} F (x) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} F (x) d g (x) = F (ξ) [g (b) - g (a)]$

于是有

$\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = g (b) \int_{a}^{b} f (x) d x - [g (b) - g (a)] F (ξ) = g (b) \int_{a}^{b} f (x) d x - [g (b) - g (a)] \int_{a}^{ξ} f (x) d x = g (b) [\int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{ξ} f (x) d x] + g (a) \int_{a}^{ξ} f (x) d x = g (a) \int_{a}^{ξ} f (x) d x + g (b) \int_{ξ}^{b} f (x) d x$

（其实这个证明有问题， $f (x)$ 可积不能保证 $f (x)$ 连续（应该是除去有限间断点外连续），而 $f (x)$ 有原函数 $F (x)$ 的条件是 $f (x)$ 在区间上绝对连续；还有就是 $g (x)$ 单调不能保证 $g (x)$ 可导。所以这个证明是在 $f (x)$ 连续、 $g (x)$ 可导的特殊情况下的证明）

(四)变上限积分、定积分求法

1. 变上限积分的导数

定义：设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。则 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ， $x \in [a, b]$ 称为变上限积分的函数。

性质：

（1）若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ 在 $[a, b]$ 上连续。

（2）若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $F^{'} (x) = f (x)$ 。

先积再导等于不积不导。

（3）若上/下限是关于 $x$ 的函数， $F (x) = \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (t) d t$ ，如果 $φ_{1} (x)$ 、 $φ_{2} (x)$ 可导，且 $f (x)$ 连续，则 $F^{'} (x) = f [φ_{2} (x)] φ_{2}^{'} (x) - f [φ_{1} (x)] φ_{1}^{'} (x)$ .

先积再导，上/下限函数直接代入积分变量，再乘以上/下限的导数，然后上限减下限。

2. 牛顿-莱布尼兹公式

设函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， $F (x)$ 为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上任意一个原函数，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) ∣_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .

（注：若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有瑕点，要分段再用反常积分求，不能用该公式）

3. 定积分的换元积分法

设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，若变量替换 $x = φ (t)$ 满足

（1） $φ^{'} (t)$ 在 $[α, β]$ （或 $[β, α]$ ）上连续；

（2） $φ (α) = a$ ， $φ (β) = b$ ，且当 $α \leq t \leq β$ 时， $a \leq φ (t) \leq b$ ；

则 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f [φ (t)] φ^{'} (t) d t$ .

换元一定要同时改变积分上下限。

4. 定积分的分部积分法

设 $u^{'} (x)$ 、 $v^{'} (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\int_{a}^{b} u (x) d v (x) = u (x) v (x) ∣_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v (x) d u (x)$ 或 $\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) ∣_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x$ .

5. 换元技巧：区间再现

区间再现公式： $\int_{a}^{b} f (x) d x = x = a + b - u \int_{b}^{a} f (a + b - u) (- d u) = \int_{a}^{b} f (a + b - u) d u = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x$

推广： $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{\frac{a + b}{2}} [f (x) + f (a + b - x)] d x = \int_{\frac{a + b}{2}}^{b} [f (x) + f (a + b - x)] d x$

证明： $\int_{a}^{\frac{a + b}{2}} f (x) d x = x = a + b - u \int_{b}^{\frac{a + b}{2}} f (a + b - u) \cdot (- d u) = \int_{\frac{a + b}{2}}^{b} f (a + b - u) d u = \int_{\frac{a + b}{2}}^{b} f (a + b - x) d x$

而 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{\frac{a + b}{2}} f (x) d x + \int_{\frac{a + b}{2}}^{b} f (x) d x = \int_{\frac{a + b}{2}}^{b} f (a + b - x) + \int_{\frac{a + b}{2}}^{b} f (x) d x$ .

对于三角函数等，可以利用函数的对称性，通过区间再现公式进行积分

6. 技巧：利用周期性质、函数奇偶性

奇、偶函数的积分性质：

（1）若 $f (x)$ 为奇函数 $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$ ；

（2）若 $f (x)$ 为偶函数， $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ .

注意：有瑕点的时候以上性质不成立，比如 $\int_{- 1}^{1} \frac{1}{s i n x} d x$ ，虽然 $\frac{1}{s i n x}$ 是奇函数，但是由于0是瑕点，因此该定积分不等于零，实际上该积分是没有定义的。

一些三角函数在其周期、半周期上的积分：

$\int_{0}^{2 π} sin x d x = 0$ ；
$\int_{0}^{2 π} cos x d x = \int_{- π}^{π} cos x d x = 0$ ；
$\int_{0}^{π} sin x d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x$ ，故 $\int_{0}^{π} f (sin x) d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (sin x) d x$ ；
$\int_{0}^{π} cos x d x = \int_{π}^{2 π} cos x d x = 0$ ，故 $\int_{0}^{π} f (cos x) d x = \int_{π}^{2 π} f (cos x) d x = 0$ .

周期函数的积分性质：设 $f (x)$ 以 $T$ 为周期，则

（1） $\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x$ ；

（2） $\int_{a}^{a + n T} f (x) d x = \int_{0}^{n T} f (x) d x = n \int_{0}^{T} f (x) d x$ .

华理士(Wallis)公式： ${\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 k} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2 k} x d x = \frac{( 2 k - 1 )!!}{( 2 k )!!} \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 k + 1} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2 k + 1} x d x = \frac{( 2 k )!!}{( 2 k + 1 )!!}$

其中 $k$ 是正整数， $n!!$ 表示不超过 $n$ 的“二进阶乘”，比如 $8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2$ ， $7!! = 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1$ .

结合区间再现，可以在如下的情况使用以上公式：

$\int_{0}^{π} sin^{n} x d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$

$\int_{0}^{π} cos^{n} x d x = {2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} x d x 0, n 为偶数, n 为奇数$

$\int_{0}^{2 π} sin^{n} x d x = \int_{0}^{2 π} cos^{n} x d x = {4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x 0, n 为偶数, n 为奇数$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (sin x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (cos x) d x$ ，注意， $\int_{0}^{π} f (sin x) d x \neq = \int_{0}^{π} f (cos x) d x$

$\int_{0}^{π} x f (sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (sin x) d x = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (sin x) d x$

其中由于 $∣ cos x ∣ = cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ ，因此 $f (∣ cos ∣)$ 可以看作是 $f (sin x)$ ，但是由于 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (sin x) d x$ 和 $\int_{0}^{π} x f (sin x) d x$ 这两条公式的证明使用了区间再现公式，必需要满足 $sin (π - x) = sin x$ 才能用，而 $cos$ 不满足，所以 $∣ sin x ∣$ 的函数不能看作是 $cos x$ 的函数。

由于这里没有给出证明，下面用一个例题来说明证明过程是如何使用 $sin (π - x) = sin x$ 的：

求 $I = \int_{0}^{π} x sin^{9} x d x$ ：

为消去 $x$ ，使用区间再现公式，令 $x = π - t$ ，则 $I = \int_{0}^{π} x sin^{9} x d x = \int_{π}^{0} (π - t) sin^{9} t \cdot d (- t) = \int_{0}^{π} π sin^{9} t d t - \int_{0}^{π} t sin^{9} t d t$

出现了原来的积分，因此

$I = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} sin^{9} t d t = \frac{π}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{9} t d t + \int_{\frac{π}{2}}^{π} sin^{9} t d t) = \frac{π}{2} [\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{9} t d t + \int_{\frac{π}{2}}^{0} sin^{9} (π - t) (- d t)] = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{9} t d t = π \times \frac{8}{9} \times \frac{6}{7} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{128 π}{315}$

(五)定积分的应用

1. 求平面图形的面积

（1）直角坐标系

模型Ⅰ： $S_{1} = \int_{a}^{b} [y_{2} (x) - y_{1} (x)] d x$ ，其中 $x \in [a, b]$ ， $y_{2} (x) \geq y_{1} (x)$ 。

模型②： $S_{2} = \int_{c}^{d} [x_{2} (y) - x_{1} (y)] d y$ ，其中 $y \in [c, d]$ ， $x_{2} (y) \geq x_{1} (y)$ 。

（2）构坐标系

模型Ⅰ： $S_{1} = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} r^{2} (θ) d θ$

模型Ⅱ： $S_{2} = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} [r_{2}^{2} (θ) - r_{1}^{2} (θ)] d θ$

（3）参数形式表示的曲线所围成的面积

设曲线 $C$ 的参数方程 ${x = φ (t) y = ψ (t)$ ， $α \leq t \leq β$ ， $φ (α) = a$ ， $ψ (β) = b$ ， $φ (t)$ 在 $[α, β]$ （或 $[β, α]$ ）上有连续导数，且 $φ^{'} (t)$ 不变号， $ψ (t) \geq 0$ 且连续，则曲边梯形面积（曲线 $C$ 与直线 $x = a$ ， $x = b$ 和 $x$ 轴所围成） $S = \int_{a}^{b} y d x = \int_{α}^{β} ψ (t) φ^{'} (t) d t$ .

2. 平面曲线的弧长

（1）直角坐标系

设光滑曲线 $y = y (x)$ ，（ $a \leq x \leq b$ ）（也即 $y (x)$ 有连续的导数），其弧长 $S = \int_{a}^{b} 1 + [y^{'} (x)]^{2} d x$ ，而 $d S = 1 + [y^{'} (x)]^{2} d x$ 也称为弧长微分

（2）构坐标系

设光滑曲线 $r = r (θ)$ ，（ $α \leq θ \leq β$ ）（也即 $r (θ)$ 在 $[α, β]$ 上有连续导数），弧长 $S = \int_{α}^{β} [r^{'} (θ)]^{2} + [r^{'} (θ)]^{2} d θ$

（3）参数方程所表示的曲线的弧长

设光滑曲线 $C$ ： ${x = x (t) y = y (t)$ ，（ $α \leq t \leq β$ ）（光滑即 $x (t)$ 、 $y (t)$ 在 $[α, β]$ 上有连续的导数），曲线 $C$ 的弧长 $S = \int_{α}^{β} [x^{'} (t)]^{2} + [y^{'} (t)]^{2} d t$

证明：弧长用直线拟合，根据勾股定理， $d s = (d x)^{2} + (d y)^{2}$ ，复合函数求导 $d x = x^{'} (t) d t$ 、 $d y = y^{'} (t) d t$ ，代入得 $d s = [x^{'} (t)]^{2} + [y^{'} (t)]^{2} d t$ ，对每一段弧长求和再加极限 $t \to 0 lim$ ，根据导数定义就可以写成上述形式。

3. 特殊的空间图形的体积

（一般图形的体积要用二重积分）

（1）已知平行截面面积的立体体积

设空间一个立体图形由一个曲面和垂直于 $z$ 轴的两个平面 $z = c$ 和 $z = d$ 所围成， $z$ 轴每一点 $z$ （ $c \leq z \leq d$ ）垂直于 $z$ 轴的立体截面的面积 $S (z)$ 为已知的连续函数，则立体体积 $V = \int_{c}^{d} S (z) d z$

（2）绕坐标轴旋转的旋转体的体积

①平面图形由曲线 $y = y (x)$ （ $y \geq 0$ ）与直线 $x = a$ 、 $x = b$ 和 $x$ 轴围成。

该平面图形绕 $x$ 轴旋转一周的体积 $V_{x} = π \int_{a}^{b} y^{2} (x) d x$
该平面图形绕 $y$ 轴旋转一周的体积 $V_{y} = 2 π \int_{a}^{b} x y (x) d x$

②平面图形由曲线 $x = x (y)$ （ $x \geq 0$ ）与直线 $y = c$ 、 $y = d$ 和 $y$ 轴围成。

该平面图形绕 $y$ 轴旋转一周的体积 $V_{y} = π \int_{c}^{d} x^{2} (y) d y$

绕 $y$ 轴旋转， $x$ 的值是半径，算出底面积 $π x^{2} (y)$ 后，乘以高度 $Δ y$ ，对每一段求和后取极限变成积分。
该平面图形绕 $x$ 轴旋转一周的体积 $V_{x} = 2 π \int_{c}^{d} y x (y) d y$

4. 求旋转曲面表面积

设平面曲线 $C = A B ⌢$ 位于 $x$ 轴上方，它绕 $x$ 轴一周所得旋转曲面的表面积为 $S$

该平面图形绕 $x$ 轴旋转一周的表面积 $S$

Ⅰ. 设 $A B ⌢$ 的方程为 $y = y (x)$ （ $a \leq x \leq b$ ），则 $S = 2 π \int_{a}^{b} y (x) 1 + [y^{'} (x)]^{2} d x$

Ⅱ. 设 $A B ⌢$ 的极坐标方程为 $r = r (θ)$ （ $α \leq θ \leq β$ ），则 $S = 2 π \int_{α}^{β} r (θ) sin θ [r (θ)]^{2} + [r^{'} (θ)]^{2} d θ$

Ⅲ. 设 $A B ⌢$ 的参数方程为 $x = x (t)$ ， $y = y (t)$ （ $α \leq t \leq β$ ），则 $S = 2 π \int_{α}^{β} y (t) [x^{'} (t)]^{2} + [y^{'} (t)]^{2} d t$

旋转体用垂直于 $x$ 轴的线切成很多块小圆台，要求表面积，将每一块剪开，然后近似成矩形，此时每一个矩形的长是以 $y$ 的值为半径沿 $x$ 轴旋转的圆的周长 $2 π y (t)$ ，宽度是弧长 $d S$ ， $d S$ 用前面定积分求弧长的公式代入就行了。

(六)广义积分

广义积分包括无穷积分和瑕积分。

无穷积分：在无穷区间上的积分，形如 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = b \to + \infty lim \int_{a}^{b} f (x) d x$ ，其中 $b > a$ ，当极限存在时无穷积分收敛，否则称其发散。

类似地，可以定义在 $(- \infty, b]$ 上的无穷积分 $\int_{- \infty}^{b} f (x) d x = a \to - \infty lim \int_{a}^{b} f (x) d x$ ；在 $(- \infty, + \infty)$ 上的无穷积分 $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{+ \infty} f (x) d x$ ，其中 $c$ 为任一实数，当右边这两个无穷积分同时收敛，则称 $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛，否则称其发散。

绝对收敛：指 $\int_{a}^{+ \infty} ∣ f (x) ∣ d x$ 收敛。

条件收敛：指 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛，但 $\int_{a}^{+ \infty} ∣ f (x) ∣ d x$ 发散。

无穷积分的审敛法：

比较判别法的极限形式： $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = k$
- 当 $0 \leq k < + \infty$ 时，若 $\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x$ 收敛，则 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛；
- 当 $0 < k \leq + \infty$ 时，若 $\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x$ 发散，则 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 发散；
- 当 $0 < k < + \infty$ 时，两个无穷积分敛散性相同。
狄利克雷判别法：若同时满足1. $\exists M > 0$ ，使得 $∣ \int_{a}^{b} f (x) d x ∣ \leq M$ ，其中 $b > a$ （即该积分有界）；2. $g (x)$ 在区间上单调且趋于零。则 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) g (x) d x$ 收敛。
阿贝尔判别法：若同时满足1. $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛；2. $g (x)$ 在区间上单调有界。则 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) g (x) d x$ 收敛。

瑕积分： $\int_{a}^{b} f (x) d x = ε \to 0 + 0 lim \int_{a + ε}^{b} f (x) d x$ ，其中 $a$ 是瑕点，函数在该点附近无界。当极限存在时瑕积分收敛，否则称其发散。

瑕积分指被积函数在积分区间内某一点附近是无界的，比如 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{p}} d x$

无穷积分的审敛法也可以用到瑕积分上。

四、常微分方程

(一)一阶常微分方程

1. 变量可分离的方程

（1）方程形式： $\frac{d y}{d x} = P (x) Q (y)$ （ $Q (y) \neq = 0$ ），通解 $\int \frac{d y}{Q ( y )} = \int P (x) d x + C$ .

（2）方程形式： $M_{1} (x) N_{1} (y) d x + M_{2} (x) N_{2} (y) d y = 0$ ，通解 $\int \frac{M _{1} ( x )}{M _{2} ( x )} d x + \int \frac{N _{2} ( y )}{N _{1} ( y )} d y = C$ （ $M_{2} (x) \neq = 0$ ， $N_{1} (y) \neq = 0$ ）.

2. 变量可分离方程的推广形式

（1）齐次方程 $\frac{d y}{d x} = f (\frac{y}{x})$ ，令 $\frac{y}{x} = u$ ，则 $\frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x} = f (u)$ ， $\int \frac{d u}{f ( u ) - u} = \int \frac{d x}{x} + C = ln ∣ x ∣ + C$ .

（2） $\frac{d y}{d x} = f (a x + b y + c)$ （ $a \neq = 0$ ， $b \neq = 0$ ），令 $a x + b y + c = u$ ，则 $\frac{d u}{d x} = a + b f (u)$ ， $\int \frac{d u}{a + b f ( u )} = \int d x = x + C$

（3） $\frac{d y}{d x} = f (\frac{a _{1} x + b _{1} y + c _{1}}{a _{2} x + b _{2} y + c _{2}})$

当 $Δ = a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} \neq = 0$ 时，先求出 ${a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ 的解 $x = α$ ， $y = β$ ，再令 $u = x - α$ ， $v = y - β$ ，则 $\frac{d v}{d u} = f (\frac{a _{1} u + b _{1} v}{a _{2} u + b _{2} v}) = f (\frac{a _{1} + b _{1} \frac{v}{u}}{a _{2} + b _{2} \frac{v}{u}})$ 属于齐次方程情形
当 $Δ = a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} = 0$ 时，令 $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{b _{2}}{b _{1}} = λ$ ，则 $\frac{d y}{d x} = f (\frac{a _{1} x + b _{1} y + c _{1}}{λ ( a _{1} x + b _{1} y ) + c _{2}})$ ，令 $u = a_{1} x + b_{1} y$ ，则 $\frac{d u}{d x} = a_{1} + b_{1} \frac{d y}{d x} = a_{1} + b_{1} f (\frac{u + c _{1}}{λ u + c _{2}})$ 属于变量可分离方程的情形。

3. 一阶线性齐次方程

对于 $\frac{d y}{d x} + P (x) y = 0$ 的情形，有通解公式 $y = C e^{- \int P (x) d x}$ ，其中 $C$ 为任意常数。

4. 一阶线性非齐次方程

对于 $\frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 的情形，用常数变易法可求出通解公式。令 $y = C (x) e^{- \int P (x) d x}$ ，代入方程求出 $C (x)$ ，得到 $y = e^{- \int P (x) d x} [\int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x + C]$

5. 贝努利方程

对于 $\frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x) y^{α}$ （ $α \neq = 0, 1$ ）的情形，令 $z = y^{1 - α}$ ，把原方程化为 $\frac{d z}{d x} + (1 - α) P (x) z = (1 - α) Q (x)$ ，再按照一阶线性非齐次方程求解。

方程两边同除 $y^{α}$ ，其中 $y^{- α} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - α} \frac{d ( y ^{1 - α} )}{d x}$ ，再换元即可。

6. 特殊的分式

对于 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{Q ( y ) - p ( y ) x}$ ，可化为 $\frac{d x}{d y} + P (y) x = Q (y)$ ，以 $y$ 为自变量， $x$ 为未知函数，再按照一阶线性非齐次方程求解。

(二)高阶常微分方程

1. 可降阶的高阶微分方程

①. 对于 $y^{(n)} = f (x)$ 的情形，积 $n$ 次分即可，通解形式为 $y = n 次 \int \dots \int f (x) (d x)^{n} + C_{1} x^{n - 1} + C_{2} x^{n - 2} + ...$ .

②. 对于 $y^{''} = f (x, y^{'})$ 的情形，令 $y^{'} = p$ ，则 $y^{''} = p^{'}$ ，原方程变为 $p^{'} = f (x, p)$ ，按一阶微分方程解出 $p = y^{'} = g (x, C_{1})$ ，则原方程的通解为 $y = \int g (x, C_{1}) d x + C_{2}$ .

③. 对于 $y^{''} = f (y, y^{'})$ 的情形，令 $y^{'} = p$ ，把 $p$ 看作是 $y$ 的函数，则 $y^{''} = \frac{d p}{d x} = \frac{d p}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} = p \frac{d p}{d y}$ ，把 $y^{'}$ 、 $y^{''}$ 代入原方程，得 $\frac{d p}{d y} = \frac{1}{p} f (y, p)$ ，按一阶微分方程解出 $p = \frac{d y}{d x} = g (y, C_{1})$ ，则原方程的通解为 $\int \frac{d y}{g ( y , C _{1} )} = x + C_{2}$ .

2. 线性微分方程解的性质与结构

这里讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，然后推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程： $y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = 0$

二阶非齐次线性方程： $y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)$

解的性质：

（1）. 若 $y_{1} (x)$ 、 $y_{2} (x)$ 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合 $C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x)$ （ $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 均为任意常数）仍为方程的解。特别地，当 $y_{1} (x) \neq = λ y_{2} (x)$ （ $λ$ 为常数），也即 $y_{1} (x)$ 与 $y_{2} (x)$ 线性无关时，方程的通解为 $y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x)$

（2）. 若 $y_{1} (x)$ 、 $y_{2} (x)$ 为二阶非齐次线性方程的两个特解，则 $y_{1} (x) - y_{2} (x)$ 为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

（3）若 $\overline{y} (x)$ 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 $y (x)$ 为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则 $\overline{y} (x) + y (x)$ 为此二阶非齐次线性方程的一个特解。

（4）若 $\overline{y} (x)$ 为二阶非其次线性方程的一个特解，而 $C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x)$ 为对应的二阶齐次线性方程的通解（ $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 为独立的任意常数），则 $y = \overline{y} (x) + C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x)$ 是此二阶非齐次线性方程的通解。

（5）设 $y_{1} (x)$ 与 $y_{2} (x)$ 分别是 $y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f_{1} (x)$ 与 $y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f_{2} (x)$ 的特解，则 $y_{1} (x) + y_{2} (x)$ 是 $y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f_{1} (x) + f_{2} (x)$ 的特解。

3. 二阶和某些高阶常系数齐次线性方程

（1）二阶常系数齐次线性方程： $y^{''} + p y^{'} + q y = 0$ ，其中 $p$ 、 $q$ 为常数

其特征方程 $λ^{2} + p λ + q = 0$ ，特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式：

当 $Δ = p^{2} - 4 q > 0$ ，特征方程有两个不同的实根 $λ_{1}$ 、 $λ_{2}$ ，则方程的通解为 $y = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x}$ .
当 $Δ = p^{2} - 4 q = 0$ ，特征方程有二重根 $λ_{1} = λ_{2}$ ，则方程的通解为 $y = (C_{1} + C_{2} x) e^{λ_{1} x}$ .
当 $Δ = p^{2} - 4 q < 0$ ，特征方程有共轭复根 $α \pm i β$ ，则方程的通解为 $y = e^{αx} [C_{1} cos (β x) + C_{2} sin (β x)]$ .

（2） $n$ 阶常系数齐次线性方程： $y^{(n)} + p_{1} y^{(n - 1)} + p_{2} y^{(n - 2)} + \dots + p_{n - 1} y^{'} + p_{n} y = 0$ ，其中 $p_{i}$ （ $i = 1, 2, \dots, n$ ）为常数。

相应的特征方程 $λ^{n} + p_{1} λ^{n - 1} + p_{2} λ^{n - 2} + \dots + p_{n - 1} λ = P_{n} = 0$

特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似：

若特征方程有 $n$ 个不同的实根 $λ_{1}$ 、 $λ_{2}$ 、 $\dots$ 、 $λ_{n}$ ，则方程通解 $y = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x} + \dots + C_{n} e^{λ_{n} x}$ .
若 $λ_{0}$ 为特征方程的 $k$ 重实根（ $k \leq n$ ），则方程通解中含有 $(C_{1} + C_{2} x + \dots + C_{k} x^{k - 1}) e^{λ_{0} x}$ .
若 $α \pm i β$ 为特征方程的 $k$ 重共轭复根（ $2 k \leq n$ ），则方程通解中含有 $e^{αx} [(C_{1} + C_{2} x + \dots + C_{k} x^{k - 1}) cos (β x) + (D_{1} + D_{2} x + \dots + D_{k} x^{k - 1}) sin (β x)]$ .

由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。

4. 二阶常系数非齐次线性方程

方程： $y^{''} + p y^{'} + q y = f (x)$ ，其中 $p$ 、 $q$ 为常数

通解： $y = \overline{y} (x) + C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x)$

其中 $C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x)$ 为对应二阶常系数其次线性方程的通解（前面已经讨论过）。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解 $\overline{y}$ 如何求。

根据 $f (x)$ 的形式，先确定特解 $\overline{y}$ 的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解 $\overline{y}$ ，常见的 $f (x)$ 的形式和相对应的 $\overline{y}$ 的形式如下：

（1） $f (x) = P_{n} (x)$ ，其中 $P_{n} (x)$ 为 $n$ 次多项式

若0不是特征根，则令 $\overline{y} = R_{n} (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$ ，其中 $a_{i}$ （ $i = 0, 1, 2, \dots, n$ ）为待定系数。
若0是特征方程的单根，则令 $\overline{y} = x R_{n} (x)$ .
若0是特征方程的重根，则令 $\overline{y} = x^{2} R_{n} (x)$ .

（2） $f (x) = P_{n} (x) e^{αx}$ 其中 $P_{n} (x)$ 为 $n$ 次多项式， $α$ 为实常数

若 $α$ 不是特征根，则令 $\overline{y} = R_{n} (x) e^{αx}$ .
若 $α$ 是特征单根，则令 $\overline{y} = x R_{n} (x) e^{αx}$ .
若 $α$ 是特征方程的重根，则令 $\overline{y} = x^{2} R_{n} (x) e^{αx}$ .

（3） $f (x) = P_{n} (x) e^{αx} sin (β x)$ 或 $f (x) = P_{n} (x) e^{αx} cos (β x)$ ，其中 $P_{n} (x)$ 为 $n$ 次多项式， $α$ 、 $β$ 皆为实常数

若 $α \pm i β$ 不是特征根，则令 $\overline{y} = e^{αx} [R_{n} (x) cos (β x) + T_{n} (x) sin (β x)]$ ，其中 $R_{n} (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$ ， $T_{n} (x) = b_{0} x^{n} + b_{1} x^{n - 1} + \dots + b_{n - 1} x + b_{n}$ ，且 $a_{i}$ （ $i = 0, 1, \dots, n$ ）， $b_{i}$ （ $i = 0, 1, \dots, n$ ）为待定系数
若 $α \pm i β$ 是特征根，则令 $\overline{y} = x e^{αx} [R_{n} (x) cos (β x) + T_{n} (x) sin (β x)]$

5. 欧拉方程

$n$ 阶欧拉方程： $x^{n} y^{(n)} + p_{1} x^{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1} x y^{'} + p_{n} y = 0$ ，其中 $p_{i}$ （ $i = 1, 2, \dots, n$ ）为常数。

令 $x = e^{t}$ 代入方程，变为 $t$ 是自变量， $y$ 是未知函数的微分方程，一定是常系数其次线性微分方程。

此时 $y^{'} = \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = e^{- t} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{x} \frac{d y}{d t}$ ，于是 $x \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t}$

同样 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d t}{d x} \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x}) = e^{- t} \frac{d}{d t} (e^{- t} \frac{d y}{d t}) = e^{- 2 t} \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - e^{- 2 t} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{x ^{2}} (\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - \frac{d y}{d t})$ ， $x^{2} \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - \frac{d y}{d t}$

(三)全微分方程

1. 全微分方程定义

$P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ ，若满足 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ ，定义其通解 $u (x, y) + C$ ，其中 $u (x, y)$ 满足 $d u (x, y) = P (x, y) d x + Q (x, y) d y$

求 $u (x, y)$ 的常用方法：

2. 凑全微分法

常用公式：

（1） $x d x + y d y = d (\frac{x ^{2} + y ^{2}}{2})$ .

（2） $x d x - y d y = d (\frac{x ^{2} - y ^{2}}{2})$ .

（3） $y d x + x d y = d (x y)$ .

（4） $\frac{y d x + x d y}{x y} = d [ln (x y)]$ .

（5） $\frac{x d x + y d x}{x ^{2} + y ^{2}} = d [\frac{1}{2} ln (x^{2} + y^{2})]$ .

（6） $\frac{x d x - y d y}{x ^{2} - y ^{2}} = d [\frac{1}{2} ln (x^{2} - y^{2})]$ .

（7） $\frac{x d y - y d x}{x ^{2}} = d (\frac{y}{x})$ .

（8） $\frac{y d x - x d y}{y ^{2}} = d (\frac{x}{y})$ .

（9） $\frac{y d x - x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = d (arctan \frac{x}{y})$ .

（10） $\frac{x d y - y d x}{x ^{2} + y ^{2}} = d (arctan \frac{y}{x})$ .

（11） $\frac{y d x - x d y}{x ^{2} - y ^{2}} = d (\frac{1}{2} ln \frac{x - y}{x + y})$ .

（12） $\frac{x d y - y d x}{x ^{2} + y ^{2}} = d (\frac{1}{2} ln \frac{x + y}{x - y})$ .

（13） $\frac{x d x + y d y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = d (- \frac{1}{2} \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}})$ .

（14） $\frac{x d x - y d y}{( x ^{2} - y ^{2} ) ^{2}} = d (- \frac{1}{2} \frac{1}{x ^{2} - y ^{2}})$ .

（15） $\frac{x d x + y d y}{1 + ( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = d [\frac{1}{2} arctan (x^{2} + y^{2})]$ .

（16） $\frac{x d x - y d y}{1 + ( x ^{2} - y ^{2} ) ^{2}} = d [\frac{1}{2} arctan (x^{2} - y^{2})]$ .

3. 特殊路径积分法

因为积分与路径无关

$u (x, y) = u (x_{0}, y_{0}) + \int_{(x_{0}, y_{0})}^{(x, y)} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = u (x_{0}, y_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} P (x, y_{0}) d x + \int_{y_{0}}^{y} Q (x, y) d y$

4. 不定积分法

由 $\frac{\partial u}{\partial x} = P (x, y)$ ，得 $u (x, y) = \int P (x, y) d x + C (y)$

对 $y$ 求导，得 $Q (x, y) = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [\int P (x, y) d x] + C^{'} (y)$ ，求出 $C^{'} (y)$ 后积分可得 $C (y)$

5. 约当因子法

设 $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ 不是全微分方程，不满足 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ ，但是存在 $R (x, y)$ ，使得 $R (x, y) P (x, y) d x + R (x, y) Q (x, y) d y = 0$ 为全微分方程，也就是说满足 $\frac{\partial [ RQ ]}{\partial x} = \frac{\partial [ RP ]}{\partial y}$ ，则称 $R (x, y)$ 为约当因子。

按全微分方程的解法仍可求出 $R (x, y) P (x, y) d x + R (x, y) Q (x, y) d y = d u (x, y)$ ，通解 $u (x, y) + C$ 。

这种情形，求约当因子是关键。

(四)差分方程

1. 差分的定义与性质

差分就是数列的后一项减前一项，用数学语言描述就是，设函数 $y = f (t)$ 中的自变量 $t$ 为自然数，并记 $y_{y} = f (t)$ ，则差 $y_{t + 1} - y_{t}$ 称为函数的一阶差分，记作 $Δ y_{t} = y_{t + 1} - y_{t}$ ；而二阶差分就是一阶差分的差分，即 $Δ^{2} y_{t} = Δ (Δ y_{t}) = Δ y_{t + 1} - Δ y_{t} = (y_{t + 2} - y_{t + 1}) - (y_{t + 1} - y_{t}) = y_{t + 2} - 2 y_{t + 1} + y_{t}$ ，三阶甚至 $n$ 阶依此类推。

差分的性质：

（1） $Δ (a u_{t} + b v_{t}) = a Δ u_{t} + b Δ v_{t}$

（2） $Δ (u_{t} v_{t}) = v_{t} Δ u_{t} + u_{t + 1} Δ v_{t} = u_{t} Δ v_{t} + v_{t + 1} Δ u_{t}$

（3） $Δ (\frac{u _{t}}{v _{t}}) = \frac{v _{t} Δ u _{t} - u _{t} Δ v _{t}}{v _{t + 1} v _{t}}$

2. 一阶常系数线性差分方程

形如 $y_{t + 1} + a y_{t} = f (t)$ 就是一阶常系数线性差分方程，其中 $a \neq = 0$ 。

一阶常系数线性齐次差分方程（齐次即 $f (t) = 0$ 的时候）：对于 $y_{t + 1} - a y_{t} = 0$ ，其通解为 $y_{t} = C (- a)^{t}$ ，这里的 $C$ 为任意常数。其实这种情况就是等比数列，公比为 $- a$ .

一阶常系数线性非齐次差分方程：解的结构是对应的齐次的通解加上非齐次特解， $f (t)$ 的形式不同，特解的形式也不同，具体如下：

$f (t) = P_{m} (t) \cdot d^{t}$ 时（其中 $P_{m} (t)$ 是 $t$ 的 $m$ 次多项式）： $y^{*} = t^{k} Q_{m} (t) d^{t}$ ，其中 $Q_{m} (t)$ 是 $t$ 的 $m$ 次一般多项式，如果 $a \neq = - d$ 则 $k = 0$ ，如果 $a = - d$ 则 $k = 1$

这里类似高阶微分方程的特征方程，把 $y_{t + 1} + a y_{t} = P_{m} (t) \cdot d^{t}$ 左边写成特征方程 $λ + a = 0$ ，则特征根 $λ = - a$ ，再看 $d$ 和特征根 $- a$ 是否相等，如果相等就多乘一个 $t$ ，否则不用乘。

例1： $y_{t + 1} - 2 y_{t} = t$ ，齐次通解为 $y_{t}^{*} = C 2^{t}$ ，求特解时可以把右边的 $t$ 写作 $t \cdot 1^{t}$ ，即 $d = 1$ ，特征根为 $2$ 不等于 $1$ ，故非齐次特解设为 $y_{t}^{**} = (a t + b) \cdot 1^{t} = a t + b$ ，代入原方程得 $a (t + 1) + b - 2 (a t + b) = t$ ，令左右两端系数相同解得 $a = b = - 1$ ，故原方程的同通解为 $y_{t} = y_{t}^{*} + y_{t}^{**} = C 2^{t} - t - 1$ ，其中 $C \in R$ .

例2： $y_{t + 1} - 2 y_{t} = t 2^{t + 1}$ ，右端写成 $2 t \cdot 2^{t}$ ，齐次通解为 $y_{t}^{*} = C 2^{t}$ ，设非齐次特解为 $y_{t}^{**} = (a t^{2} + b t) 2^{t}$ ，代入原方程并令两端系数相同，解得 $y_{t}^{**} = (t^{2} - t) 2^{t - 1}$ ，从而原方程通解为 $y_{t} = C 2^{t} + (t^{2} - t) 2^{t - 1}$ ， $C \in R$

3. 二阶常系数齐次线性差分方程

形如 $y_{t + 2} + a y_{t + 1} + b y_{t} = 0$ 就是二阶常系数齐次线性差分方程，其中 $b \neq = 0$ 。解法和二阶常系数线性齐次微分方程类似，也有特征方程 $λ^{2} + aλ + b = 0$ ，设两个特征根为 $λ_{1}$ 、 $λ_{2}$ ，根据特征根的不同情况，通解也有三种类型：

（1）两个不相等的特征根，则通解为 $y_{t} = C_{1} λ_{1}^{t} + C_{2} λ_{2}^{t}$

（2）两个相等的特征根，则通解为 $y_{t} = (C_{1} + C_{2} t) λ^{t}$

（3）一对共轭复根 $λ_{1, 2} = a \pm bi$ ，则通解为 $y_{t} = r^{t} (C_{1} cos (βt) + C_{2} sin (βt))$ ，其中 $r = a^{2} + b^{2}$ ， $β = arctan \frac{b}{a}$ ， $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 为任意常数

例：设 $y_{t} = C_{1} + C_{2} a^{t}$ 是方程 $y_{t + 2} - 4 y_{t + 1} + 3 y_{t} = 0$ 的通解，求 $a$ 的值

解：将通解代入方程，化简后可得 $C_{2} a^{t} (a^{2} - 4 a + 3) = 0$ ，由 $C_{2}$ 的任意性可得 $a^{2} - 4 a + 3 = 0$ ，解出 $a = 1$ （舍去，否则通解会变为 $C_{1} + C_{2}$ ）、 $a = 3$ 。

五、向量代数与空间解析几何

(一)向量的运算

设 $a = a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ ， $b = b_{1} i + b_{2} j + b_{3} k = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}$ ， $c = c_{1} i + c_{2} j + c_{3} k = {c_{1}, c_{2}, c_{3}}$

运算法则：

（1）加法： $a + b = {a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3}}$ ，图像上可以通过平行四边形法则画出。

（2）减法： $a - b = {a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}, a_{3} - b_{3}}$ ，图像上是从 $b$ 指向 $a$ 的向量。

（3）数乘： $λa = {λ a_{1}, λ a_{2}, λ a_{3}}$ （ $λ$ 是常数）。

向量的加、减、数乘统称线性运算。

（3）数量积： $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ \cdot cos (a, b ⌢) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ ，其中 $(a, b ⌢)$ 是向量 $a$ 、 $b$ 之间的夹角，数量积是一个常数。

$a \cdot b$ 也称作点乘。

$a \cdot b^{0}$ 表示向量 $a$ 在向量 $b$ 上的投影，记作 $a \cdot b^{0} = P r j_{b} a$

（4）向量积： $a \times b$ ，也称为叉乘， $∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin (a, b ⌢)$ 。叉乘的结果是一个向量 $a \times b = i a_{1} b_{1} j a_{2} b_{2} k a_{3} b_{3}$ ， $a \times b = - b \times a$ ， $∣ a \times b ∣$ 等于以 $a$ 、 $b$ 为邻边的平行四边形的面积。 $a \times b$ 在图像上的方向按右手法则垂直于 $a, b$ 所在平面，

（5）混合积：定义 $(a, b, c) = (a \times b) \cdot c$ ，坐标公式 $(a, b, c) = a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3}$ ，几何意义 $∣ (a, b, c) ∣$ 表示以 $a, b, c$ 为棱的平行六面体的体积。

(二)两向量的关系

设 $a = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ ， $b = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}$ ，则

关系	向量表示	向量坐标表示
$a, b$ 间夹角 $φ$	$cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$	$cos φ = \frac{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{2} + a _{3} b _{3}}{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} + a _{3}^{2} \cdot b _{1}^{2} + b _{2}^{2} + b _{3}^{2}}$
$a$ 与 $b$ 垂直	$a \cdot b = 0$	$a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$
$a$ 与 $b$ 平行	$a \times b = 0$	$\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}} = \frac{a _{3}}{b _{3}}$

(三)平面及其方程

1. 法向量（法线）

与平面 $π$ 垂直的非零向量，称为平面 $π$ 的法向量，通常记成 $n$ 。法向量 ${n_{1}, n_{2}, n_{3}}$ 的坐标称为法方向数。对于给定的平面 $π$ ，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。

2. 平面的方程

点法式：已知平面 $π$ 过 $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 点，其法向量 $n = {A, B, C}$ ，则平面 $π$ 的方程为 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ，或 $n \cdot (r - r_{0}) = 0$ ，其中 $r_{0} = {x_{0}, y_{0}, z_{0}}$ ， $r = {x, y, z}$ 。
一般式： $A x + B y + C z + D = 0$ ，其中 $A, B, C$ 不全为零， $n = {A, B, C}$ 是 $π$ 的法向量。
- $A x + B y + C z = 0$ 表示平面过原点.
- $A x + B y + D = 0$ 表示平面平行于 $z$ 轴.
- $A x + D = 0$ 表示平面平行于 $y O z$ 平面.
- $x = 0$ 表示 $y O z$ 平面.
三点式：设 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3}, z_{3})$ ，且三点不在一条直线上，则通过 $A, B, C$ 的平面方程为 $x - x_{1} x_{2} - x_{1} x_{3} - x_{1} y - y_{1} y_{2} - y_{1} y_{3} - y_{1} z - z_{1} z_{2} - z_{1} z_{3} - z_{1} = 0$ .
平面束方程：设直线 $L$ 的一般式方程为 ${A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ ，则通过 $L$ 的所有平面方程为 $k_{1} (A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1}) + k_{2} (A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2}) = 0$ ，其中 $(k_{1}, k_{2}) \neq = (0, 0)$ .
截距式： $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ，其中 $a, b, c$ 为平面分别与 $x, y, z$ 轴所截取的长度。

3.两平面的关系

设两平面为 $π_{1}$ ： $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ ， $π_{2}$ ： $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ ，则

关系	表达式
$π_{1}$ 与 $π_{2}$ 间的夹角	$cos φ = \frac{A _{1} A _{2} + B _{1} B _{2} + C _{1} C _{2}}{A _{1}^{2} + B _{1}^{2} + C _{1}^{2} \cdot A _{2}^{2} + B _{2}^{2} + C _{2}^{2}}$
垂直	$A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = 0$
平行	$\frac{A _{1}}{A _{2}} = \frac{B _{1}}{B _{2}} = \frac{C _{1}}{C _{2}} (\neq = \frac{D _{1}}{D _{2}})$
重合	$\frac{A _{1}}{A _{2}} = \frac{B _{1}}{B _{2}} = \frac{C _{1}}{C _{2}} = \frac{D _{1}}{D _{2}}$

4. 点到平面的距离

设平面 $π$ 的方程为 $A x + B y + C z + D = 0$ ，而点 $M (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 为平面 $π$ 外的一点，则 $M$ 到平面 $π$ 的距离 $d = ∣ \frac{A x _{1} + B y _{1} + C z _{1} + D}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} ∣$ .

(四)直线及其方程

1. 方向向量

与直线 $L$ 平行的非零向量 $S$ ，称为直线 $L$ 的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。

2. 直线的方程

标准方程（对称式）： $\frac{x - x _{0}}{n _{1}} = \frac{y - y _{0}}{n _{2}} = \frac{z - z _{0}}{n _{3}}$ ，其中 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 为直线上的点， $n_{1}, n_{3}, n_{3}$ 为直线的方向数。
参数式方程： $⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + n_{1} t y = y_{0} + n_{2} t z = z_{0} + n_{3} t$ ， $t$ 为参数变量。令对称式中的比值为 $t$ 即可得到该方程。
两点式：设 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 为不同的两点，则通过 $A$ 和 $B$ 的直线方程为 $\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{z - z _{1}}{z _{2} - z _{1}}$ .
一般式（作为两平面交线）： ${A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ ，方向向量 $S = {A_{1}, B_{1}, C_{1}} \times {A_{2}, B_{2}, C_{2}}$ .

3. 两直线的关系

设两直线为 $L_{1}$ ： $\frac{x - x _{1}}{l _{1}} = \frac{y - y _{1}}{m _{1}} = \frac{z - z _{1}}{n _{1}}$ ， $L_{2}$ ： $\frac{x - x _{2}}{l _{2}} = \frac{y - y _{2}}{m _{2}} = \frac{z - z _{2}}{n _{2}}$ ，则

关系	表达式
$L_{1}$ 与 $L_{2}$ 间夹角 $θ$	$cos θ = \frac{l _{1} l _{2} + m _{1} m _{2} + n _{1} n _{2}}{l _{1}^{2} + m _{1}^{2} + n _{1}^{2} \cdot l _{2}^{2} + m _{2}^{2} + n _{2}^{2}}$
垂直	$l_{1} l_{2} + m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2} = 0$
平行	$\frac{l _{1}}{l _{2}} = \frac{m _{1}}{m _{2}} = \frac{n _{1}}{n _{2}}$

(五)平面与直线的关系

设平面 $π$ 的方程为 $A x + B y + C z + D = 0$ ，直线 $L$ 的方程为 $\frac{x - x _{0}}{l} = \frac{y - y _{0}}{m} = \frac{z - z _{0}}{n}$

关系	表达式
$L$ 与 $π$ 间的夹角 $α$	$sin α = \frac{A l + B m + C n}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot l ^{2} + m ^{2} + n ^{2}}$
$L$ 与 $π$ 垂直	$\frac{l}{A} = \frac{m}{B} = \frac{n}{C}$
$L$ 与 $π$ 平行	$A l + B m + C n = 0$
$L$ 与 $π$ 重合	$A l + B m + C n = 0$ 且 $L$ 上有一点在 $π$ 上

对于空间曲线， $(\frac{d x ( t )}{d t}, \frac{d y ( t )}{d t}, \frac{d z ( t )}{d t})$ 是切向量（用参数方程表示时）

对于空间曲面， $(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$ 是法向量

六、多元函数微分

(一)方向导数与梯度

$z = f (x, y)$ 在平面上过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 沿单位向量方向 $l = (cos α, cos β)$ 的方向导数为 $\frac{\partial f}{\partial l} ∣_{(x_{0}, y_{0})} = t \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + t c o s α , y _{0} + t c o s β ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{t}$ ，若 $z = f (x, y)$ 在点 $P_{0}$ 处可微，那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且方向导数可进一步写成

$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos α + \frac{\partial f}{\partial y} cos β$

对于平面的情形，上述公式可以写成 $\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos α + \frac{\partial f}{\partial y} sin α$ ，因为 $α$ 和 $β$ 互余。

如果是 $f (x, y, z)$ ，则为 $\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos α + \frac{\partial f}{\partial y} cos β + \frac{\partial f}{\partial z} cos γ$ .

注意，方向导数仅要求 $t \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + t c o s α , y _{0} + t c o s β ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{t}$ 极限存在，只要求能沿指定的一个方向（即单位向量 $l$ 所指向的方向）逼近，而偏导要求沿各方向都能逼近于同一个值（即使是 $y = f (x)$ 的情形，也要求左右极限都存在，是两个方向），因此，即使不能写成偏导的形式，方向导数仍有可能存在。（即方向导数存在偏导不一定存在）

$z = f (x, y)$ 在点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 处的梯度为

$grad f (x_{0}, y_{0}) = (\frac{\partial f ( x _{0} , y _{0} )}{\partial x} . \frac{f ( x _{0} , y _{0} )}{\partial y})$

方向导数与梯度的关系： $\frac{\partial f}{\partial l} ∣_{(x_{0}, y_{0})} = [grad f (x_{0}, y_{0})] \cdot (cos α, cos β)$ ，即方向导数等于梯度点乘 $l$ 。

方向导数意味着沿某方向的变化量，因此要使得变化量最大， $l$ 应该取梯度的同方向或反方向（因为点乘等于两者的模乘以 $cos$ 夹角，梯度的模是固定的，而 $l$ 是单位向量，模永远为1，剩下的就是让 $cos$ 取得最大，当夹角为0或 $π$ ，即同方向或反方向时， $cos$ 最大或最小），换句话说，即梯度是函数的方向导数取最大值的方向。

(二)复合函数微分法

全微分： $u (x, y, z)$ 的全微分为 $d u = \frac{\partial u}{\partial x} d x + \frac{\partial u}{\partial y} d y + \frac{\partial u}{\partial z} d z$ ，若 $u$ 含有中间变量，则应使用链式法则，下面根据不同情形进行讨论。

（1）模型1： $z = f (u, v)$ ， $u = u (x, y)$ ， $v = v (x, y)$

可以用图形说明函数的关系

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

然后代入 $d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y$ ，可得全微分（这里省略不写）

（2）模型2： $u = f (x, y, z)$ ， $z = z (x, y)$

${\frac{\partial u}{\partial x} = f_{x}^{'} + f_{z}^{'} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} = f_{y}^{'} + f_{z}^{'} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}$

写成 $f_{x}^{'}$ 是为了和 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 区分，左边的 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 是把 $u$ 看作是 $x$ 和 $y$ （最终变量）的函数，求的是全微分（如果把 $z$ 的函数代入 $u$ ，使 $u$ 不含中间变量，就可以求偏导）；而右边的 $f_{x}^{'}$ （或写成 $\frac{\partial u}{\partial x}$ ）是把 $u$ 看作是 $x$ 、 $y$ 、 $z$ （中间变量）的函数，求的是偏导数（对 $x$ 求偏导就把 $y$ 、 $z$ 看作是常数）

（3）模型3： $u = f (x, y, z)$ ， $y = y (x)$ ， $z = z (x)$

$\frac{d u}{d x} = f_{x}^{'} + f_{y}^{'} \cdot y^{'} (x) + f_{z}^{'} \cdot z^{'} (x)$

（4）模型4： $w = f (u, v)$ ， $u = u (x, y, z)$ ， $v = v (x, y, z)$

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{\partial w}{\partial x} = f_{u}^{'} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_{v}^{'} \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial w}{\partial y} = f_{u}^{'} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{v}^{'} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial w}{\partial z} = f_{u}^{'} \cdot \frac{\partial u}{\partial z} + f_{v}^{'} \cdot \frac{\partial v}{\partial z}$

(三)隐函数微分法

已知方程 $F (x, y, z) = 0$

（1）若确定 $x = x (y, z)$ ，则 $\frac{\partial x}{\partial y} = - \frac{F _{y}^{'}}{F _{x}^{'}}$ ， $\frac{\partial x}{\partial z} = - \frac{F _{z}^{'}}{F _{x}^{'}}$

（2）若确定 $y = y (x, z)$ ，则 $\frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{F _{x}^{'}}{F _{y}^{'}}$ ， $\frac{\partial y}{\partial z} = - \frac{F _{z}^{'}}{F _{y}^{'}}$

（3）若确定 $z = z (x, y)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}^{'}}{F _{z}^{'}}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F _{y}^{'}}{F _{z}^{'}}$

实际解题只需要方程两边同时对 $x$ （或 $y$ 、 $z$ ）求偏导，解方程即可。

比如在二元的情形，已知 $F (x, y) = 0$ ，且 $y$ 是关于 $x$ 的函数，画出全微分图像，有 $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{d y}{d x} = 0$ ，整理得 $\frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}^{'}}{F _{y}^{'}}$ ，就是上面的公式。

若已知 ${F (x, y, u, v) = 0 G (x, y, u, v) = 0$ ，且 $u = u (x, y)$ ， $v = v (x, y)$ ，要求偏导，需使用雅可比行列式

雅可比行列式： $J = ∣ \frac{\partial ( F , G )}{\partial ( u , v )} ∣ = F_{u}^{'} G_{u}^{'} F_{v}^{'} G_{v}^{'}$

若 $J \neq = 0$ ，此时 $\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{1}{J} \frac{\partial ( F , G )}{\partial ( x , v )} = - \frac{F _{x}^{'} G _{x}^{'} F _{v}^{'} G _{v}^{'}}{F _{u}^{'} G _{u}^{'} F _{v}^{'} G _{v}^{'}}$

实际解题不需要那么复杂，比如

已知 ${xu - y v = 0 y u + xv = 0$ ，且 $u$ 、 $v$ 都是关于 $x$ 、 $y$ 的函数

解：同时对 $x$ 求偏导得 ${x u_{x}^{'} - y v_{x}^{'} = - u y u_{x}^{'} + x v_{x}^{'} = - v$ ，然后解方程即可（解出来会含有 $u$ 、 $v$ 、 $x$ 、 $y$ ）

其实这里可以直接算，式1整理得 $xu = y v \Rightarrow u = \frac{y v}{x}$ ，把 $u$ 代入式2，整理得 $v = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}$ ，再将 $v$ 代入 $u$ ，这样就把 $u$ 、 $v$ 都求出来了，然后求偏导即可（这样算出来的结果只有 $x$ 、 $y$ ，实际上将 $u$ 、 $v$ 的表达式代入之前的结果中，算出来的是一样的）

(四)多元函数的极值和最值

1. 求 $z = f (x, y)$ 的极值

第一步：找出驻点，即解方程组 ${f_{x}^{'} (x, y) = 0 f_{y}^{'} (x, y) = 0$ ，得到 $(x_{k}, y_{k})$ （ $k = 1, 2, \dots$ ）

第二步：判别式 $Δ_{k} = f_{xx}^{''} (x_{k}, y_{k}) \cdot f_{yy}^{''} (x_{k}, y_{k}) - [f_{x y}^{''} (x_{k}, y_{k})]^{2}$

若 $Δ_{k} < 0$ ，则 $f (x_{k}, y_{k})$ 不是极值
若 $Δ_{k} = 0$ ，则不能确定（本方法不适用）
若 $Δ_{k} > 0$ ，则 $f (x_{k}, y_{k})$ 是极值，再进一步根据 $f_{xx}^{''} (x_{k}, y_{k})$ 判断是极大值还是极小值
- 若 $f_{xx}^{''} (x_{k}, y_{k}) > 0$ ，则 $f (x_{k}, y_{k})$ 为极小值.
- 若 $f_{xx}^{''} (x_{k}, y_{k}) < 0$ ，则 $f (x_{k}, y_{k})$ 为极大值.

2. 拉格朗日乘子法

对多元函数 $u = f (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0$ （ $n \geq 2$ ），且有约束条件 $⎩ ⎨ ⎧ φ_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0 ⋮ φ_{m} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0$ （ $m < n$ ）

作 $F = F (x_{1}, \dots, x_{n}, λ_{1}, \dots, λ_{m}) = f (x_{1}, \dots, x_{n}) + \sum_{i = 1}^{m} λ_{i} φ_{i} (x_{1}, \dots, x_{n})$

然后求解 $⎩ ⎨ ⎧ F_{x_{1}}^{'} = 0 ⋮ F_{x_{n}}^{'} = 0 F_{λ_{1}}^{'} = φ_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0 ⋮ F_{λ_{m}}^{'} = φ_{m} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0$

得出 $(x_{1}^{(k)}, \dots, x_{n}^{(k)})$ （ $k = 1, 2, \dots$ ），是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。

七、多元函数积分

(一) 二重积分

1. 直角坐标系

二重积分直角坐标系上一般要先化为累次积分再计算，根据积分区域的不同，分为两种类型：

模型Ⅰ（ $X$ 型）. 设有界闭区域 $D = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, φ_{1} (x) \leq y \leq φ_{2} (x)}$ ，其中 $φ_{1} (x)$ 、 $φ_{2} (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $f (x, y)$ 在 $D$ 上连续，则 $D \iint f (x, y) d σ = D \iint f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x, y) d y$

对于 $x$ 型的二重积分，化为累次积分如何确定积分上下限：

画 $x = x_{i}$ 的线（即 $x$ 轴的一系列垂线），此时边界位置一般是直线或点，由此确定 $d x$ 的上下限（这时 $x$ 的上下限是一个常数，放到后面再积分）；然后根据垂线与区域的交点，最上面的交点对应的函数就是积分上限（该函数应该写成 $y$ 关于 $x$ 的函数），最下面的交点对应的函数就是积分下限（也是 $y$ 关于 $x$ 的函数），如果交点对应的函数有分段（分段函数），那么就要利用积分的可加性分开求。

化累次积分的思路是，作平行于 $y O z$ 的平面，与曲顶棱体相交得到一个个截面，每个截面由多个矩形拼合而成，先求 $f (x, y) Δ y$ ，求和再求极限后变成积分的形式，得到每一个截面的面积，再用每个截面的面积乘以高 $Δ x$ ，求和再求极限变成积分的形式，得到的是曲顶柱体的体积，即二重积分。

模型Ⅱ（ $Y$ 型）. 设有界闭区域 $D = {(x, y) ∣ c \leq y \leq d, ϕ_{1} (y) \leq x \leq ϕ_{2} (y)}$ ，其中 $ϕ_{1} (x)$ 、 $ϕ_{2} (x)$ 在 $[c, d]$ 上连续， $f (x, y)$ 在 $D$ 上连续，则 $D \iint f (x, y) d σ = D \iint f (x, y) d x d y = \int_{c}^{d} d y \int_{ϕ_{1} (y)}^{ϕ_{2} (y)} f (x, y) d x$

对于比较复杂的区域。既不满足模型Ⅰ，也不满足模型Ⅱ，那么就要把区域分解为一些小区域，使得每个小区域能够符合模型Ⅰ或模型Ⅱ，再根据可加性，大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和。

对于已经化为累次积分的二重积分，要更改积分次序，可以先画出区域 $D$ ，再根据区域 $D$ 写出另一种次序的积分。

2. 极坐标系

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定 $θ$ 对 $ρ$ ，进行积分，然后对 $θ$ 进行积分，根据区域 $D$ 的不同也有几种常用的模型。

设有界闭区域 $D = {(ρ, θ) ∣ α \leq θ \leq β, φ_{1} (θ) \leq ρ \leq φ_{2} (θ)}$ ，其中 $φ_{1} (θ)$ 、 $φ_{2} (θ)$ 在 $[α, β]$ 上连续， $f (x, y) = f (ρ cos θ, ρ sin θ)$ 在 $D$ 上连续，则 $D \iint f (x, y) d σ = D \iint f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ d ρ d θ = \int_{α}^{β} d θ \int_{φ_{1} (θ)}^{φ_{2} (θ)} f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ d ρ$ .

积分上下限的确定：对于 $θ$ ，可以从原点画一系列的射线，确定最大和最小的角度，此时 $ρ$ 的下限是离原点最近的点或函数（如果区域包含原点，则下限为0），上限是离原点最远的点或函数，如果射线与函数相交多于两个交点，则需要分段求。

关于为什么要多乘一个 $ρ$ ：

$Δ σ$ (即蓝色部分)可以通过大扇形面积减小扇形面积得出： $Δ σ = \frac{1}{2} (r_{i} + Δ r_{i})^{2} Δ θ_{i} - \frac{1}{2} r_{i}^{2} Δ θ_{i} = \frac{1}{2} = (2 r_{i} + Δ r_{i}) Δ r_{i} Δ θ_{i} = \frac{r _{i} + ( r _{i} + Δ r _{i} )}{2} Δ r_{i} Δ θ_{i} = \overline{r_{i}} Δ r_{i} Δ θ_{i}$ ，其中 $\overline{r_{i}}$ 表示每个网格中相邻两圆弧半径的平均值，当分段足够小， $\overline{r_{i}}$ 可以用 $r$ 近似，即上面的 $ρ$ 。

实际上要乘的 $ρ$ 可以通过雅可比行列式直接得出。

模型Ⅰ. 设有界闭区域 $D = {(ρ, θ) ∣ 0 \leq θ \leq 2 π, φ_{1} (θ) \leq ρ \leq φ_{2} (θ)}$ ，其中 $φ_{1} (θ)$ 、 $φ_{2} (θ)$ 在 $[0, 2 π]$ 上连续， $f (x, y) = f (ρ cos θ, ρ sin θ)$ 在 $D$ 上连续，则 $D \iint f (x, y) d σ = D \iint f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ d ρ d θ = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{φ_{1} (θ)}^{φ_{2} (θ)} f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ d ρ$ .

模型Ⅱ. 设有界闭区域 $D = {(ρ, θ) ∣ α \leq θ \leq β, 0 \leq ρ \leq φ (θ)}$ ，其中 $φ (θ)$ 在 $[α, β]$ 上连续， $f (x, y) = f (ρ cos θ, ρ sin θ)$ 在 $D$ 上连续，则 $D \iint f (x, y) d σ = D \iint f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ d ρ d θ = \int_{α}^{β} d θ \int_{0}^{φ (θ)} f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ d ρ$ .

模型Ⅲ. 设有界闭区域 $D = {(ρ, θ) ∣ 0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq ρ \leq φ (θ)}$ ，其中 $φ (θ)$ 在 $[0, 2 π]$ 上连续， $f (x, y) = f (ρ cos θ, ρ sin θ)$ 在 $D$ 上连续，则 $D \iint f (x, y) d σ = D \iint f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ d ρ d θ = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{φ (θ)} f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ d ρ$ .

补充：关于只有图像的情况下，如何写出 $φ (θ)$

3. 二重积分换元

换元后要乘以雅可比行列式的绝对值： $d x d y = ∣ J ∣ d u d v$ .

其中 $J = ∣ \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} ∣ = x_{u}^{'} y_{u}^{'} x_{v}^{'} y_{v}^{'}$

注意换元后积分区域要变，需要在 $u O v$ 平面上重新画出图像，确定新的累次积分上下限。

(二)二重积分在几何上的应用

1. 空间物体的体积

$V = D \iint [f_{2} (x, y) - f_{1} (x, y)] d σ$ ，其中 $D$ 为闭曲面 $S$ 在 $x O y$ 平面上投影区域， $z = f_{2} (x, y)$ 为上半曲面， $z = f_{1} (x, y)$ 为下半曲面。

2.空间曲面的面积

$A = D \iint 1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2} d σ$ ，其中 $D$ 为曲面 $S$ 在 $x O y$ 平面上的投影，曲面 $S$ 的方程 $z = z (x, y)$ .

证明：

如图，把曲面面积近似成一个个小矩形面积相加，若小矩形的面积为 $ab$ ，则其投影面的面积为 $ab cos Γ$ ，其中 $Γ$ 为两平面夹角

而投影面的面积可以写成 $d σ = d x d y$ ，即曲面面积与投影面的关系是 $d A = \frac{d σ}{c o s Γ}$

两平面夹角可以用它们的法向量得到，曲面 $z = f (x, y)$ 的法向量为 $n_{1} = (f_{x}^{'}, f_{y}^{'}, - 1)$ ， $x O y$ 平面的法向量取 $n_{2} = (0, 0, - 1)$

则 $cos Γ = \frac{n _{1} \cdot n _{2}}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣} = \frac{1}{1 + ( f _{x}^{'} ) ^{2} + ( f _{y}^{'} ) ^{2}}$ ， $∴ d A = 1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2} d σ$ ，两边再同时积分就是上面的公式。

(三) 三重积分

1. 直角坐标系

三重积分在直角坐标系上要先化为累次积分再计算，根据积分区域的不同，分为两种类型：

（1）设 $Ω$ 空间的有界闭区域， $Ω = {(x, y, z) ∣ z_{1} (x, y) \leq z \leq z_{2} (x, y), (x, y) \in D}$ ，其中 $D$ 是 $x O y$ 平面上的有界闭区域， $z_{1} (x, y)$ 、 $z_{2} (x, y)$ 在 $D$ 上连续，函数 $f (x, y, z)$ 在 $Ω$ 上连续，则 $Ω ∭ f (x, y, z) d v = D \iint d x d y \int_{z_{1} (x, y)}^{z_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z$ .

投影面如果是固定的可以用这种方法，画图，先积z，就从xoy平面上作垂线，观察z的上下限（如果垂线与函数交点多于两个，就换方向），再画xoy平面上的投影，求二重积分。

（2）设 $Ω = {(x, y, z) ∣ α \leq z \leq β, (x, y) \in D (z)}$ ，其中 $D$ 为纵坐标为 $z$ 的平面上的有界闭区域，则 $Ω ∭ f (x, y, z) d v = \int_{α}^{β} d z D (z) \iint f (x, y, z) d x d y$ .

比如椭球形可以用这种方法，此时投影面会随z的变化而变化，可以理解成画z=z0的一系列平面，把图形切成很多片，求每一片面积作为底面积，乘以高dz，再求和（此时积分区域就变成关于z的函数了）。

比如球体积分区域 $D (z)$ 就变成 $x^{2} + y^{2} \leq a^{2} - z^{2}$

2. 柱坐标

$Ω ∭ f (x, y, z) d x d y d z = Ω ∭ f (ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ d ρ d θ d z$ ，相当于把 $(x, y)$ 化为极坐标 $(ρ, θ)$ 而 $z$ 保持不变。

3. 球坐标

换元： $⎩ ⎨ ⎧ x = ρ sin θ cos φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos θ$ ， $ρ \geq 0 0 \leq θ \leq π 0 \leq φ \leq 2 π$

则 $Ω ∭ f (x, y, z) d x d y d z = Ω ∭ f (ρ sin θ cos φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos θ) ρ^{2} sin θ d ρ d θ d φ$ ，然后根据 $Ω$ 把三重积分化为关于 $ρ$ 、 $θ$ 、 $φ$ 的累次积分。

(四)曲线积分

1. 第一类曲线积分

空间情形：空间一条逐段光滑曲线 $L$ 上定义函数 $f (x, y, z)$ ，把曲线 $L$ 任意分割为 $n$ 段， $Δ S_{1}, Δ S_{2}, \dots, Δ S_{n}$ ，在 $Δ S_{k}$ （ $1 \leq k \leq n$ ）上任取一点 $(ξ_{k}, η_{k}, s_{k})$ ，如果对任意分割，任意取点，极限 $λ \to 0 lim \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}, η_{k}, s_{k}) Δ S_{k}$ 皆存在并且相等（这里 $Δ S_{k}$ 又表示第 $k$ 段曲线的弧长， $λ = 1 \leq k \leq n max Δ S_{k}$ ），则称此极限值为 $f (x, y, z)$ 在曲线 $L$ 上的第一类曲线积分，也称为对弧长的曲线积分，记作 $\int_{L} f (x, y, z) d S$ 。

如果曲线 $L$ 是封闭曲线，也可以记作 $\oint_{L} f (x, y, z) d S$ 。

参数计算公式

这里只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间曲线 $L$ 的参数方程 $x = x (t)$ ， $y = y (t)$ ， $z = z (t)$ ，（ $α \leq t \leq β$ ），则

$\int_{L} f (x . y, z) d S = \int_{α}^{β} f [x (t), y (t), z (t)] [x^{'} (t)]^{2} + [y^{'} (t)]^{2} + [z^{'} (t)]^{2} d t$

（假设 $f (x, y, z)$ 和 $x^{'} (t)$ 、 $y^{'} (t)$ 、 $z^{'} (t)$ 皆连续），这样就把曲线积分化为定积分来进行计算。

$d S$ 的由来可以参考定积分的应用。

2. 第二类曲线积分

空间情形：设空间一条逐段光滑有定向的曲线 $L = A B ⌢$ ，函数 $P (x, y, z)$ 、 $Q (x, y, z)$ 、 $R (x, y, z)$ 在 $L$ 上皆有定义，把 $L$ 任意分成 $n$ 段， $Δ S_{1}, Δ S_{2}, \dots, Δ S_{n}$ ，在 $Δ S_{k}$ （ $1 \leq k \leq n$ ）上起点坐标为 $(x_{k - 1}, y_{k - 1}, z_{k - 1})$ ，终点坐标为 $(x_{k}, y_{k}, z_{k})$ （按 $L$ 的定向决定起点和终点），令 $Δ x_{k} = x_{k} - x_{k - 1}$ ， $Δ y_{k} = y_{k} - y_{k - 1}$ ， $Δ z_{k} = z_{k} - z_{k - 1}$ ，（ $1 \leq k \leq n$ ），再在 $Δ S_{k}$ 上任意一点 $(ξ_{k}, η_{k}, s_{k})$ 考虑极限 $λ \to 0 lim \sum_{k = 1}^{n} [P (ξ_{k}, η_{k}, s_{k}) Δ x_{k} + Q (ξ_{k}, η_{k}, s_{k}) Δ y_{k} + R (ξ_{k}, η_{k}, s_{k}) Δ z_{k}]$ ，其中 $λ$ 仍是 $n$ 段弧长中最大值，如果对任意分割，任意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为 $P (x, yz)$ 、 $Q (x, y, z)$ 和 $R (x, y, z)$ 对空间曲线 $L$ 的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记作 $\int_{L} P (x, y, z) d x + Q (x, y, z) d y + R (x, y, z) d z$ ，它的向量形式为 $\int_{:} F \cdot d S$ ，其中 $F = {P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z})$ ， $d S = {d x, d y, d z}$ 。如果 $L$ 是空间封闭曲线，也要说明 $L$ 的定向，在空间不能简单地说逆时针方向或顺时针方向，必须用其他方式加以说明。

参数计算公式

这里只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间有向曲线 $L$ 的参数方程 $x = x (t)$ ， $y = y (t)$ ， $z = z (t)$ ，起点 $A$ 对应参数为 $α$ ，终点 $B$ 对应参数为 $β$ （注意：现在 $α$ 和 $β$ 的大小不一定），如果 $P (x, y, z)$ 、 $Q (x, y, z)$ 、 $R (x, y, z)$ 皆连续，又 $x^{'} (t)$ 、 $y^{'} (t)$ 、 $z^{'} (t)$ 也都连续，则

$\int_{L = A B ⌢} P (x, y, z) d x + Q (x, y, z) d y + R (x, y, z) d z = \int_{α}^{β} {P [x (t), y (t), z (t)] x^{'} (t) + Q [x (t), y (t), z (t)] y^{'} (t) + R [x (t), y (t), z (t)] z^{'} (t)} d t$

这样就把曲线积分化为定积分来计算，值得注意的是，如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。

简单地说就是利用参数方程进行换元，然后统一上下限再积分。

3. 两类曲线积分的关系

（1）平面情形：设 $L = A B ⌢$ 是平面上一条逐段光滑有定向的曲线， $P (x, y)$ 、 $Q (x, y)$ 在 $L$ 上连续，则

$\int_{A B ⌢} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \int_{A B ⌢} [P (x, y) cos α + Q (x, y) cos β] d S$

其中 $cos α$ 、 $cos β$ 为曲线在点 $(x, y)$ 曲线弧在点 $(x, y)$ 处沿定向 $A$ 到 $B$ 方向的切线的方向余弦。

（2）空间情形：设 $L = A B ⌢$ 是空间上一条逐段光滑有定向的曲线， $P (x, y, z)$ 、 $Q (x, y, z)$ 、 $R (x, y, z)$ 在 $L$ 上连续，则

$\int_{A B ⌢} P (x, y, z) d x + Q (x, y, z) d y + R (x, y, z) d z = \int_{A B ⌢} [P (x, y, z) cos α + Q (x, y, z) cos β + R (x, y, z) cos γ] d S$

其中 $cos α$ 、 $cos β$ 、 $cos γ$ 为曲线弧 $A B ⌢$ 上点 $(x, y, z)$ 处沿定向 $A$ 到 $B$ 方向的切线的方向余弦。

4. 格林公式

规定正方向（正定向）为，沿着曲线走，区域在左手边。对于单连通区域为逆时针，复连通区域内部的孔为顺时针。

（1）定理1. （单连通区域情形）

设 $x O y$ 平面上有界闭区域 $D$ 由一条逐段光滑闭曲线 $L$ 所围成的单连通区域。当沿 $L$ 正定向移动时，区域 $D$ 在 $L$ 的左边，函数 $P (x, y)$ 、 $Q (x, y)$ 在 $D$ 上有连续的一阶偏导数，则有：

$D \iint (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = \oint_{L} P d x + Q d y$

(2）定理2. （多连通区域情形）

设 $x O y$ 平面上有界闭区域 $D$ 是 $(n + 1)$ 连通区域（也即有 $n$ 个“洞”），它的边界 $L = C_{0} \cup C_{1} \cup \dots \cup C_{n}$ ，其中 $C_{0}$ 的定向为逆时针方向， $C_{1}, \dots, C_{n}$ 定向皆为顺时针方向，仍符合沿 $L$ 的正定向移动时区域 $D$ 在它的左边这个原则。函数 $P (x, y)$ 、 $Q (x, y)$ 在 $D$ 上有连续的一阶偏导数，则

$D \iint (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = \int_{L} P d x + Q d y = \int_{C_{0}} P d x + Q d y + k = 1 \sum n (\int_{C_{k}} P d x + Q d y)$

用格林公式求面积：令 $Q (x, y) = x$ ， $P (x, y) = - y$ ，得到等式 $\oint_{L} x d y - y d x = 2 \iint_{D} d x d y$ ，整理得到面积公式 $S = \frac{1}{2} \oint_{L} (x d y - y d x)$

5. 平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价条件

设 $F {P (x, y), Q (x, y)}$ 的分量 $P (x, y)$ 、 $Q (x, y)$ 在单连通区域 $D$ 内有一阶连续偏导数，则下面几条彼此等价：

（1）对 $D$ 内任意一条逐段光滑闭曲线 $L$ ，都有 $\oint_{L} P d x + Q d y = 0$

（2）任意 $L = A B ⌢$ 在 $D$ 内，则 $\int_{A B ⌢} P d x + Q d y$ 只依赖于起点 $A$ 和终点 $B$ ，与曲线 $L = A B ⌢$ 的取法无关，称为曲线积分与路径无关。

（3） $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = d u (x, y)$ 成立。

（4） $D$ 内处处有 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ 。

（5）向量场 $F {P (x, y), Q (x, y)}$ 是有势场，即存在二元函数 $V (x, y)$ ，具有 $F = - grad V$ ， $V (x, y)$ 称为有势函数，具有 $P = - \frac{\partial V}{\partial x}$ ， $Q = - \frac{\partial V}{\partial y}$ 。

(五)曲面积分

1. 第一类曲面积分

定义：设 $S$ 为分块光滑曲面， $f (x, y, z)$ 在 $S$ 上有定义，把曲面 $S$ 任意分成 $n$ 块小曲面 $Δ S_{1}, Δ S_{2}, \dots, Δ S_{n}$ ，在 $Δ S_{k}$ （ $1 \leq k \leq n$ ）上任取一点 $(ξ_{k}, η_{k}, s_{k})$ ，把小曲面 $Δ S_{k}$ 的面积也记作 $Δ S_{k}$ ，而 $λ$ 表示各小块曲面直径的最大值。如果对任意分割和任意取点，下列极限皆存在且相等 $λ \to 0 lim \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}, η_{k}, s_{k}) Δ S_{k}$ ，则称该极限值为 $f (x, y, z)$ 在曲面 $S$ 上的第一类曲面积分，也称对面积的曲面积分，记作 $S \iint f (x, y, z) d S$ 。

基本计算公式

设曲面 $S$ 的方程 $z = z (x, y)$ ， $(x, y) \in D$ ， $z (x, y)$ 在 $D$ 上有连续偏导数。 $f (x, y, z)$ 在 $S$ 上连续，则

$S \iint f (x, y, z) d S = D \iint f [x, y, z (x, y)] 1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2} d x d y$

这样就把第一类曲面积分化为二重积分进行计算。

2. 第二类曲面积分

定义：设 $S$ 为分块光滑有向曲面（一指定一侧为定向）， $P (x, y, z)$ 、 $Q (x, y, z)$ 、 $R (x, y, z)$ 皆在 $S$ 上有定义，把曲面 $S$ 任意分成 $n$ 个小曲面 $Δ S_{1}, Δ S_{2}, \dots, Δ S_{n}$ ，而 $Δ S_{k}$ （ $1 \leq k \leq n$ ）在 $y O z$ 平面上的投影面积记作 $(Δ S_{k})_{yz}$ ，在 $z O x$ 平面上投影面积记作 $(Δ S_{k})_{z x}$ ，在 $x O y$ 平面上的投影面积记作 $(Δ S_{k})_{x y}$ ，又在 $Δ S_{k}$ （ $1 \leq k \leq n$ ）上任取一点 $(ξ_{k}, η_{k}, s_{k})$ ，令 $λ$ 是各小块曲面直径的最大值，考虑极限 $λ \to 0 lim \sum_{k = 1}^{n} [P (ξ_{k}, η_{k}, s_{k}) (Δ S_{k})_{yz} + Q (ξ_{k}, η_{k}, s_{k}) (Δ S_{k})_{z x} + R (ξ_{k}, η_{k}, s_{k}) (Δ S_{k})_{x y}]$ ，如果对任意分割，任意取点，极限值都存在且相等，则这个极限称为 $P (x, y, z)$ 、 $Q (x, y, z)$ 、 $R (x, y, z)$ 在有向曲面 $S$ 上的第二类曲面积分，也称为对面积的曲面积分，记作 $S \iint P (x, y, z) d y d z + Q (x, y, z) d z d x + R (x, y, z) d x d y$ ,如果令 $F = {P, Q, R}$ ， $d S = {d y d z . d z d x, d x d y}$ ，则向量形式为 $S \iint F \cdot d S$ 。

基本计算公式

如果曲面 $S$ 的方程 $z = z (x, y)$ ， $(x, y) \in D_{x y}$ ， $z (x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上连续， $R (x, y, z)$ 在 $S$ 上连续，则

$S \iint R (x, y, z) d x d y = \pm D_{x y} \iint R [x, y, z (x, y)] d x d y$

若曲面 $S$ 指定一侧的法向量与 $z$ 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号。

这样就把这部分曲面积分化为 $x O y$ 平面上的二重积分。

类似地，若曲面 $S$ 的方程表示为 $x = x (y, z)$ ， $(y, z) \in D_{yz}$ ，则

$S \iint P (x, y, z) d y d z = \pm D_{yz} \iint P [x (y, z), y, z] d y d z$

曲面 $S$ 指定一侧的法向量与 $x$ 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号。

若曲面 $S$ 的方程表示为 $y = y (z, x)$ ， $(z, x) \in D_{z x}$ ，则

$S \iint Q (x, y, z) d z d x = \pm D_{z x} \iint Q [x, y (z, x), z] d z d x$

曲面 $S$ 指定一侧的法向量与 $y$ 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号。

3. 两类曲面积分的关系

$S \iint P d y d z + Q d z d x + R d x d y = S \iint [P cos α + Q cos β + R cos γ] d S$

其中 $cos α$ 、 $cos β$ 、 $cos γ$ 为曲面 $S$ 在点 $(x, y, z)$ 处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦。

若令 $F = {P, Q, R}$ ， $n_{0} = {cos α, cos β cos γ}$ ，则 $S \iint P d y d z + Q d z d x + R d x d y = S \iint F \cdot n_{0} d S$

4. 高斯公式

定理1. （单连通区域）

设 $Ω$ 是由分块光滑曲面 $S$ 围成的单连通有界闭区域， $P (x, y, z)$ 、 $Q (x, y, z)$ 、 $R (x, y, z)$ 在 $Ω$ 上有连续的一阶偏导数，则

$Ω ∭ (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) d v = S （外侧） \iint P d y d z + Q d z d x + R d x d y = S （外侧） \iint [P cos α + Q cos β + R cos γ] d S$

其中 $cos α$ 、 $cos β$ 、 $cos γ$ 为 $S$ 在点 $(x, y, z)$ 处的法向量的方向余弦。

定理2. （多连通区域）

设 $Ω$ 是 $(n + 1)$ 连通区域，外面边界曲面 $S_{0}$ 为外侧，每一个“洞”的边界曲面 $S_{k}^{'}$ （ $1 \leq k \leq n$ ）为内侧，彼此不重叠，都在 $S_{0}$ 的内部。这些曲面都是分块光滑的， $Ω$ 是有界闭区域， $P (x, y, z)$ 、 $Q (x, y, z)$ 、 $R (x, y, z)$ 在 $Ω$ 上有连续的一阶偏导数，则

$Ω ∭ (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) d v = S_{0} （外侧） \iint P d y d z + Q d z d x + R d x d y + k = 1 \sum n (s_{k} （内侧） \iint P d y d z + Q d z d x + R d x d y)$

5. 斯托克斯公式

定理：设 $L$ 是逐段光滑的有向闭曲线， $S$ 是以 $L$ 为边界的分块光滑有向曲面， $L$ 的正向与 $S$ 的侧（即法向量的指向）符合右手法则，函数 $P (x, y, z)$ 、 $Q (x, y, z)$ 、 $R (x, y, z)$ 在包含 $S$ 的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有

$\oint_{L} P d x + Q d y + R d z = S \iint d y d z \frac{\partial}{\partial x} P d z d x \frac{\partial}{\partial y} Q d x d y \frac{\partial}{\partial z} R = S \iint (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) d y d z + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}) d z d x + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$

也可以用第一类曲线积分表示

$\oint_{L} P d x + Q d y + R d z = S \iint cos α \frac{\partial}{\partial x} P cos β \frac{\partial}{\partial y} Q cos γ \frac{\partial}{\partial z} R d S$

6. 散度与旋度

Del算符：设 $u = u (x, y, z)$ ， $\partial \nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$ ，则梯度可以写成 $grad u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}) = \nabla u$ .

（1）散度

设 $F = (P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z))$

散度：

$div F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

观察散度的表达式，其实就是高斯公式的被积函数，因此高斯公式可以写成

$Ω ∭ div F d v = S （外侧） \iint F \cdot n_{0} d S$ ，其中 $n_{0} = (cos α, cos β cos γ)$

（2）旋度

设 $F = (P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z))$

旋度：

$rot F = \nabla \times F = i \frac{\partial}{\partial x} P j \frac{\partial}{\partial y} Q k \frac{\partial}{\partial z} R = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) i + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}) j + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) k$

斯托克斯公式可以写成 $\oint_{L} F \cdot d r = S \iint (rot F) \cdot n_{0} d S$ ，其中 $d r = (d x, d y . d z)$ ， $n_{0} = (cos α, cos β, cos γ)$

八、级数

(一)常数项级数

1. 无穷级数的基本性质

（1）如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}$ 皆收敛， $a$ 、 $b$ 为常数，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} (a u_{n} + b v_{n})$ 收敛，且等于 $a \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} + b \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}$ .

（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变.

（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，所以加不同括号后得到级数的情形就不同。

（4）级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛的必要条件是 $n \to \infty lim u_{n} = 0$ 。（收敛则 $S_{n} \to S$ ， $S_{n - 1} \to S$ ， $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 0$ ，但反过来不一定成立，即使通项趋于0，级数也有可能是发散的，比如 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 就是发散的）

2. 几类重要的级数

（1）等比级数

等比级数： $\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n}$ （ $a \neq = 0$ ）

当 $∣ r ∣ < 1$ 时， $\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1 - r}$ 收敛。
当 $∣ r ∣ \geq 1$ 时， $\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n}$ 发散。

回顾数列的知识：

等差数列求和公式： $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$

等比数列求和公式： $S_{n} = \frac{a _{1} \cdot ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$

这里用的就是等比数列求和公式，如果收敛的话，通项 $u_{n}$ 趋于0，也即 $a_{1} \cdot q^{n} \to 0$ ，就可以写成上面的公式

注意：如果公式要反过来用， $\frac{a}{1 - r} = \sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n}$ 的前提条件是级数收敛，也即 $r < 1$ 。

（2）p-级数

p-级数： $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{p}}$

当 $p > 1$ 时， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{p}}$ 收敛。
当 $p \leq 1$ 时， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{p}}$ 发散。

如果 $p = 1$ ，级数变成 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ，叫做调和级数，它是发散的。

调和级数发散的证明：

$S_{2 n} - S_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n} > \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n} + \dots + \frac{1}{2 n} = \frac{n}{2 n} = \frac{1}{2}$

如果收敛的话 $S_{2 n} \to S$ ， $S_{n} \to S$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ 一定是等于0的，但是现在 $S_{2 n} - S_{n} = \frac{1}{2} \neq = 0$ ，所以发散。

注： $p > 1$ 时， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{p}}$ 的和一般不作要求，但是后面用特殊的方法可知， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ .

（3）p-级数的交错形式

设 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{p}}$

当 $p > 1$ 时， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{p}}$ 是绝对收敛的。
当 $0 < p \leq 1$ 时， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{p}}$ 是条件收敛的。
当 $p \leq 0$ 时， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{p}}$ 是发散的。

关于绝对收敛的定义在后面。

(二)级数审敛法

1. 正项级数

若 $u_{n} \geq 0$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ），则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 称为正项级数，这时 $S_{n + 1} \geq S_{n}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ），所以 ${S_{n}}$ 是单调增加数列，它是否收敛只取决于 $S_{n}$ 是否有上界

因此 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛 $\Leftrightarrow S_{n}$ 有上界，这是正项级数各种判别法的基础。

（1）比较判别法

设 $c > 0$ ，当 $n \geq N$ 时， $c v_{n} \geq u_{n} > 0$ 皆成立，这时，

如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛.
如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}$ 发散.

使用时要构造另一个级数和它比较，最常用的就是前面提到的等比级数和p-级数。

（2）比较判别法的极限形式

设 $u_{n} \geq 0$ ， $v_{n} \geq 0$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ），若 $n \to \infty lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = A$

当 $0 < A < + \infty$ 时， $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 与 $\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}$ 同时收敛或发散（敛散性相同）.
当 $A = 0$ 时，若 $\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛.
当 $A = + \infty$ 时，若 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}$ 收敛.

（3）比值判别法（达朗倍尔）

设 $u_{n} > 0$ ，而 $n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = ρ$

若 $ρ < 1$ ，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛.
若 $ρ > 1$ （包括 $ρ = + \infty$ ），则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 发散.
若 $ρ = 1$ ，或者 $n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ 不存在，本方法无法判断.

（4）根植判别法（柯西）

设 $u_{n} \geq 0$ ，而 $n \to \infty lim n u_{n} = ρ$

若 $ρ < 1$ ，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛.
若 $ρ > 1$ （包括 $ρ = + \infty$ ），则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 发散.
若 $ρ = 1$ ，本方法无法判断.

2. 交错级数

若 $u_{n} > 0$ ， $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} u_{n}$ 称为交错级数。

莱布尼兹判别法

若交错级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} u_{n}$ 满足

（1） $u_{n + 1} \leq u_{n}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）

（2） $n \to \infty lim u_{n} = 1$

则 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} u_{n}$ 收敛，且 $0 < \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} u_{n} < u_{1}$ .

3. 绝对收敛与条件收敛

定理

对于任意级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ ，若 $\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ u_{n} ∣$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 一定收敛（但反过来不一定成立）。

定义

如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ u_{n} ∣$ 收敛，则称 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛。

如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，但 $\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ u_{n} ∣$ 发散，则称 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛。

性质

（1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到的级数仍是绝对收敛的，且其和不变。

（2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2} (∣ u_{n} ∣ + u_{n})$ 或 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2} (u_{n} - ∣ u_{n} ∣)$ 一定是发散的。

(三)幂级数

1. 函数项级数

函数项级数：设 $u_{n} (x)$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）皆定义在区间 $I$ 上，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ 称为区间 $I$ 上的函数项级数。

收敛域：设 $x_{0} \in I$ ，如果常数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x_{0})$ 收敛，则称 $x_{0}$ 是函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ 的收敛点。类似地，如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x_{0})$ 发散，则称 $x_{0}$ 是 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ 的发散点。

函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ 的所有收敛点构成的集合称为收敛域。所有发散点构成的集合称为发散域。

和函数：在 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ 的收敛域的每一点都有和，它与 $x$ 有关， $S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ ， $x \in$ 收敛域。称 $S (x)$ 为函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ 的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。

2. 幂级数及其收敛域

幂级数： $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}$ 称为 $(x - x_{0})$ 的幂级数， $a_{n}$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）称为幂级数的系数，是常数。

当 $x_{0} = 0$ 时， $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 称为 $x$ 的幂级数。

一般讨论 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 有关问题，作平移替换就可以得出关于 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}$ 的结论。

幂级数的收敛域

幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域分三种情形

（1）收敛域为 $(- \infty, + \infty)$ ，亦即 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 对每一个 $x$ 皆收敛，我们称它的收敛半径 $R = + \infty$ .

（2）收敛域仅为原点，除原点外幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 皆发散，我们称它的收敛半径 $R = 0$ .

（3）收敛域为 $(- R, R)$ 或 $(- R, R]$ 或 $[- R, R)$ 或 $[- R, R]$ 中的一种，我们称它的收敛半径为 $R$ （ $0 < R < + \infty$ ）.

所以求幂级数的收敛半径 $R$ 非常重要。其中第1、2种情形收敛域是确定的，但是第3种情形，还需讨论 $\pm R$ 两点上的敛散性。

如果 $n \to \infty lim ∣ \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} ∣ = l$ （包括 $+ \infty$ ）或 $n \to \infty lim n ∣ a_{n} ∣ = l$ （包括 $+ \infty$ ），则收敛半径 $R = \frac{1}{l}$ （若 $l = + \infty$ ，则 $R = 0$ ；若 $l = 0$ ，则 $R = + \infty$ ），

如果上述两极限不存在，那么就要用其它方法来求收敛半径。

注意这里的比值或根值，用的只是系数，而之前的比值判别法和根植判别法，用的是整个 $u_{n}$ 。

这两种方法求出的是 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径，如果是 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}$ 的形式，要先作平移，求出收敛半径后再平移回去。

3. 幂级数的性质

四则运算

设 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = f (x)$ ， $∣ x ∣ < R_{1}$ ； $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n} = g (x)$ ， $∣ x ∣ < R_{2}$ ，则

$\sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) x^{n} = f (x) \pm g (x)$ ， $∣ x ∣ < min (R_{1}, R_{2})$ .
$(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{0} b_{n} + \dots + a_{k} b_{n - k} + \dots + a_{n} b_{0}) x^{n} = f (x) \cdot g (x)$ ， $∣ x ∣ < min (R_{1}, R_{2})$ .

分析性质

设幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径 $R > 0$ ， $S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 为和函数，则有下列重要性质

（1）逐项求导

$S (x)$ 在 $(- R, R)$ 内可导，且有逐项求导公式 $S^{'} (x) = (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n})^{'} = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} x^{n})^{'} = \sum_{n = 0}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$ ，且求导后幂级数的收敛半径不变（但是在 $\pm R$ 处是否收敛要重新考虑），因此得出 $S (x)$ 在 $(- R, R)$ 内有任意阶导数，公式为：

$S^{(k)} (x) = n = k \sum \infty n (n - 1) \dots (n - k + 1) x^{n - k}, 其中 ∣ x ∣ < R, k = 1, 2, 3, \dots$

（2）逐项积分

$S (x)$ 在 $(- R, R)$ 内有逐项积分公式

$\int_{0}^{x} S (t) d t = n = 0 \sum \infty \int_{0}^{x} a_{n} t^{n} d t = n = 0 \sum \infty \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$

且这个幂级数的收敛半径也不变（但是在 $\pm R$ 处是否收敛要重新考虑）

（3）在端点 $\pm R$ 处：

若 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = S (x)$ 在 $x = R$ （或 $- R$ ）处成立，则有下列性质：

$x \to R^{-} lim S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} R^{n}$ 成立（或 $x \to (- R)^{+} lim S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (- R)^{n}$ 成立）
$\int_{0}^{R} S (x) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a _{n}}{n + 1} R^{n + 1}$ 成立（或 $\int_{- R}^{0} S (x) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{- a _{n}}{n + 1} (- R)^{n + 1}$ 成立）
$\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$ 在 $x = R$ （或 $- R$ ）不一定收敛，也即 $\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} R^{n - 1} = S_{-}^{'} (R)$ 不一定成立（或 $S_{+}^{'} (- R)$ ）。如果 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x = R$ （或 $- R$ ）发散，那么逐项求导后的级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$ 在 $x = R$ （或 $- R$ ）处一定发散，而逐项积分后的级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$ 在 $x = R$ （或 $- R$ ）有可能收敛。

4. 幂级数求和函数的方法

方法一：把已知函数的幂级数展开式反过来用。常用的公式有：

（1） $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}$ ， $∣ x ∣ < 1$ .

（2） $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}$ ， $∣ x ∣ < + \infty$ .

（3） $\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = sin x$ ， $∣ x ∣ < + \infty$ .

（4） $\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} = cos x$ ， $∣ x ∣ < + \infty$ .

（5） $\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} = ln (1 + x)$ ， $- 1 < x \leq 1$ .

（6） $1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n} = (1 + x)^{α}$ ， $- 1 < x < 1$ ， $α$ 为实常数.

方法二：用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和公式。

例如： $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} x^{2}$ ，由 $∣ \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} ∣ = 1$ 知收敛半径为1，且 $x = \pm 1$ 时发散，故收敛域为 $(- 1, 1)$ ，

$S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} x^{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} [n (n - 1) + n] x^{n} = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) x^{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n} = x^{2} \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) x^{n - 2} + x \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n - 1} = x^{2} (\sum_{n = 2}^{\infty} x^{n})^{''} + x (\sum_{n = 1}^{\infty} x^{n})^{'} = x^{2} (\frac{x ^{2}}{1 - x})^{''} + x (\frac{x}{1 - x})^{'} = \frac{x + x ^{2}}{( 1 - x ) ^{3}}$

方法三：用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程，从而求微分方程的解。

5.泰勒级数

设函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某一邻域 $∣ x - x_{0} ∣ < δ$ 内具有任意阶导数，则级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}$ 称为函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的泰勒级数。

特别地，当 $x_{0} = 0$ ，则级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}$ 称为 $f (x)$ 的麦克劳林级数。

函数展成幂级数的条件

设 $f (x)$ 在 $∣ x - x_{0} ∣ < R$ 内有任意阶导数，它的泰勒公式 $f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)$ ，其中 $R_{n} (x)$ 为 $n$ 阶余项，它的拉格朗日型为 $R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} [ x _{0} + θ ( x - x _{0} )]}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}$ （ $0 < θ < 1$ ）

则 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}$ ， $∣ x - x_{0} ∣ < R$ ，的充要条件为 $n \to \infty lim R_{n} (x) = 0$ ， $∣ x - x_{0} ∣ < R$ ，而且 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处幂级数展开式是唯一的。特别地， $x_{0} = 0$ 时可得到函数展成麦克劳林级数的充要条件。

函数展成幂级数的方法

（1）套公式， $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}$ ， $∣ x - x_{0} ∣ < R$ ， $a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !}$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）

例如：

$e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}$ ， $∣ x ∣ < + \infty$ .

$sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$ ， $∣ x ∣ < + \infty$ .

$(1 + x)^{α} = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n}$ ， $∣ x ∣ < 1$ ， $α$ 为实常数.

（2）逐项求导

例如：

$cos x = (sin x)^{'} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!}$ ， $∣ x ∣ < + \infty$ .

$\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} = (\frac{1}{1 - x})^{'} = (\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n})^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n - 1}$ ， $∣ x ∣ < 1$ .

（3）变量替换法

例如：

$e^{x^{2}} = e^{t} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n !} t^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{2 n}$ ， $∣ x ∣ < + \infty$ .

$\frac{1}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{1 - ( - x ^{2} )} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- x^{2})^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} x^{2 n}$ ， $∣ x ∣ < 1$ .

（4）逐项积分法

例如：

$ln (1 + x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t} d t = \int_{0}^{x} \sum_{n = 0}^{\infty} (- t)^{n} d t = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{n + 1}}{n + 1}$ ， $- 1 < x \leq 1$ .

$arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t ^{2}} d t = \int_{0}^{x} \sum_{n = 0}^{\infty} (- t^{2})^{n} d t = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$ ，（ $- 1 \leq x \leq 1$ ）

附录

常用公式（三角、双曲等）

常用三角公式

三角函数：

$sec x = \frac{1}{c o s x}$ 、 $csc x = \frac{1}{s i n x}$ 、 $cot x = \frac{c o s x}{s i n x} = \frac{1}{t a n x}$ 、 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 、 $1 + (tan x)^{2} = (sec x)^{2}$ 、 $1 + (cot x)^{2} = (csc x)^{2}$

反三角函数：

$y = arcsin (x)$ ，定义域 $[- 1, 1]$ ，值域 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$y = arccos (x)$ ，定义域 $[- 1, 1]$ ，值域 $[0, π]$
$y = arctan (x)$ ，定义域 $(- \infty, + \infty)$ ，值域 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$
$sin (arcsin X) = X$ 、 $arcsin (sin x) = x$ ，注意这两个 $x$ 的定义域是不同的，其他的类似

正弦定理： $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$ ，其中 $a$ 是角 $A$ 对着的边的长度，其他的同理， $R$ 是 $△ A BC$ 外接圆的半径

余弦定理：

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos A$
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot cos B$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot cos C$

三角形面积公式：

$S_{△ A BC} = \frac{1}{2} 底 \times 高$
$S_{△ A BC} = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c a sin B = \frac{ab c}{4 R}$
$S_{△ A BC} = \frac{a + b + c}{2} \cdot r$ ，其中 $r$ 为 $△ A BC$ 内切圆的半径
$S_{△ A BC} = p (p - a) (p - b) (p - c)$ ，其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ （海伦公式）

诱导公式（根据函数图像可得，也可由和差公式推导得到）：

$sin (2 kπ + x) = sin x$ 、 $cos (2 kπ + x) = cos x$ 、 $tan (2 kπ + x) = tan x$ 、 $cot (2 kπ + x) = cot x$ ，其中 $k \in Z$
$sin (- x) = - sin x$ 、 $cos (- x) = cos x$ 、 $tan (- x) = - tan x$ 、 $cot (- x) = - cot x$
$sin (π + x) = - sin x$ 、 $cos (π + x) = - cos x$ 、 $tan (π + x) = tan x$ 、 $cot (π + x) = cot x$
$sin (π - x) = sin x$ 、 $cos (π - x) = - cos x$ 、 $tan (π - x) = - tan x$ 、 $cot (π - x) = - cot x$
$sin (\frac{π}{2} + x) = cos x$ 、 $cos (\frac{π}{2} + x) = - sin x$ 、 $tan (\frac{π}{2} + x) = - cot x$ 、 $cot (\frac{π}{2} + x) = - tan x$
$sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ 、 $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ 、 $tan (\frac{π}{2} - x) = cot x$ 、 $cot (\frac{π}{2} - x) = tan x$
$arcsin (- x) = - arcsin (x)$ 、 $arccos (- x) = π - arccos (x)$ 、 $arccot (- x) = π - arccot (x)$ 、 $arcsec (- x) = π - arcsec (x)$ 、 $arccsc (- x) = - arccsc (x)$
$arccos x = \frac{π}{2} - arcsin x$ 、 $arccot x = \frac{π}{2} - arctan x$ 、 $arccsc x = \frac{π}{2} - arcsec x$
倒数关系：
- $arccos (\frac{1}{x}) = arcsec (x)$
- $arcsin (\frac{1}{x}) = arccsc (x)$
- 若 $x > 0$ ， $arctan (\frac{1}{x}) = \frac{π}{2} - arctan (x) = arccot (x)$ ；若 $x < 0$ ， $arctan (\frac{1}{x}) = - \frac{π}{2} - arctan (x) = arccot (x) - π$
- 若 $x > 0$ ， $arccot (\frac{1}{x}) = \frac{π}{2} - arccot (x) = arctan (x)$ ；若 $x < 0$ ， $arccot (\frac{1}{x}) = \frac{3 π}{2} - arccot (x) = π + arctan (x)$
- $arcsec (\frac{1}{x}) = arccos (x)$
- $arccsc (\frac{1}{x}) = arcsin (x)$
同角关系：
- $arccos (x) = arcsin (1 - x^{2})$ ，其中 $0 \leq x \leq 1$
- $arccos (\frac{1 - x ^{2}}{1 + x ^{2}}) = arcsin (\frac{2 x}{1 + x ^{2}})$ ，其中 $0 \leq x \leq 1$
- $arccos (x) = \frac{1}{2} arccos (2 x^{2} - 1)$ ，其中 $0 \leq x \leq 1$
- $arcsin (x) = \frac{1}{2} arccos (1 - 2 x^{2})$
- $arcsin (x) = arctan (\frac{x}{1 - x ^{2}})$
- $arctan (x) = arcsin (\frac{x}{1 + x ^{2}})$
- $arccot (x) = arccos (\frac{x}{1 + x ^{2}})$

两角和差公式：

$sin (x + y) = sin (x) cos (y) + sin (y) cos (x)$ 、 $sin (x - y) = sin (x) cos (y) - sin (y) cos (x)$
$cos (x + y) = cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y)$ 、 $cos (x - y) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)$
$tan (x + y) = \frac{t a n ( x ) + t a n ( y )}{1 - t a n ( x ) t a n ( y )}$ 、 $tan (x - y) = \frac{t a n ( x ) - t a n ( y )}{1 + t a n ( x ) t a n ( y )}$
$cot (x + y) = \frac{c o t ( x ) c o t ( y ) - 1}{c o t ( y ) + c o t ( x )}$ 、 $cot (x - y) = \frac{c o t ( x ) c o t ( y ) + 1}{c o t ( y ) - c o t ( x )}$
$arcsin X + arcsin Y = arcsin (X 1 - Y^{2} + Y 1 - X^{2})$ 、 $arcsin X - arcsin Y = arcsin (X 1 - Y^{2} - Y 1 - X^{2})$
$arccos X + arccos Y = arccos (X Y - (1 - X^{2}) (1 - Y^{2}))$ 、 $arccos X - arccos Y = - arccos (X Y + (1 - X^{2}) (1 - Y^{2}))$
$arctan X + arctan Y = arctan \frac{X + Y}{1 - X Y}$ 、 $arctan X - arctan Y = arctan \frac{X - Y}{1 + X Y}$

推导： $tan (x + y) = \frac{s in ( x + y )}{cos ( x + y )} = \frac{s i n ( x ) cos ( y ) + s i n ( y ) c o s ( x )}{c o s ( x ) c o s ( y ) - s i n ( x ) s i n ( y )} = \frac{t a n ( x ) + t a n ( y )}{1 - t a n ( x ) t a n ( y )}$

$tan (x - y) = \frac{s i n ( x - y )}{c o s ( x - y )} = \frac{s i n ( x ) c o s ( y ) - s i n ( y ) c o s ( x )}{c o s ( x ) c o s ( y ) + s i n ( x ) s i n ( y )} = \frac{t a n ( x ) - t a n ( y )}{1 + t a n ( x ) t a n ( y )}$

设 $sin x = X$ 、 $sin y = Y$ ，则 $sin (x + y) = sin (x) cos (y) + sin (y) cos (x) = X 1 - Y^{2} + Y 1 - X^{2}$ ， $arccos$ 同理

三角和公式：

$sin (x + y + z) = sin (x) cos (y) cos (z) + + cos (x) sin (y) cos (z) + cos (x) cos (y) sin (z) - sin (x) sin (y) sin (z)$
$cos (x + y + z) = cos (x) cos (y) cos (z) - cos (x) sin (y) sin (z) - sin (x) cos (y) sin (z) - sin (x) sin (y) cos (z)$

半角公式（符号由 $\frac{x}{2}$ 所在象限决定）（由倍角公式推导得到）：

$sin (\frac{x}{2}) = \pm \frac{1 - c o s x}{2}$
$cos (\frac{x}{2}) = \pm \frac{1 + c o s x}{2}$
$tan (\frac{x}{2}) = \pm \frac{1 - c o s x}{1 + c o s x} = \frac{s i n x}{1 + c o s x} = \frac{1 - c o s x}{s i n x}$

倍角公式：

$sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)$
$cos (2 x) = (cos x)^{2} - (sin x)^{2} = 2 cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 sin^{2} (x)$
$tan (2 x) = \frac{2 t a n ( x )}{1 - t a n ^{2} ( x )}$

推导： $sin (2 x) = sin (x + x) = sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) = 2 sin (x) cos (x)$

$cos (2 x) = cos (x + x) = cos (x) cos (x) - sin (x) sin (x) = cos^{2} x - sin^{2} x$

$tan (2 x) = \frac{s i n ( 2 x )}{c o s ( 2 x )} = \frac{2 s i n ( x ) c o s ( x )}{c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x )} = \frac{2 t a n ( x )}{1 - t a n ^{2} ( x )}$

三倍角公式：

$sin (3 x) = 3 sin x - 4 sin^{3} x = 4 sin (x) sin (\frac{π}{3} + x) sin (\frac{π}{3} - x)$
$cos (3 x) = 4 cos^{3} x - 3 cos x = 4 cos (x) cos (\frac{π}{3} + x) cos (\frac{π}{3} - x)$
$tan (3 x) = \frac{3 t a n ( x ) - t a n ^{3} ( x )}{1 - 3 t a n ^{2} ( x )} = tan (x) tan (\frac{π}{3} + x) tan (\frac{π}{3} - x)$

推导： $sin (3 x) = sin (2 x + x) = sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x) = 2 sin x (1 - sin^{2} x) + (1 - 2 sin^{2} x) sin x = 3 sin x - 4 sin^{3} x$

$cos (3 x) = cos (2 x + x) = cos (2 x) cos (x) - sin (x) sin (2 x) = (2 cos^{2} x - 1) cos x - 2 cos x (1 - cos^{2} x) = 4 cos^{3} x - 3 cos x$

$tan (3 x) = tan (2 x + x) = \frac{t a n ( 2 x ) + t a n ( x )}{1 - t a n ( 2 x ) t a n ( x )} = 代入 t a n 2 x 公式 \frac{2 t a n x + t a n x ( 1 - ( t a n x ) ^{2} )}{1 - ( t a n x ) ^{2} + 2 t a n x \cdot t a n x} = \frac{3 t a n ( x ) - t a n ^{3} ( x )}{1 - 3 t a n ^{2} ( x )}$

四倍角公式：

$sin (4 x) = - 4 cos (x) sin (x) \cdot (2 sin^{2} (x) - 1)$
$cos (4 x) = 1 - 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{4} (x)$
$tan (4 x) = \frac{4 t a n ( x ) - 4 t a n ^{3} ( x )}{1 - 6 t a n ^{2} ( x ) + t a n ^{4} ( x )}$

五倍角公式：

$sin (5 x) = 16 sin^{5} (x) - 20 sin^{3} (x) + 5 sin (x)$
$cos (5 x) = 16 cos^{5} (x) - 20 cos^{3} (x) + 5 cos (x)$
$tan (5 x) = tan (x) \cdot \frac{5 - 10 t a n ^{2} ( x ) + t a n ^{4} ( x )}{1 - 10 t a n ^{2} ( x ) + 5 t a n ^{4} ( x )}$

棣莫弗公式： $cos (n x) + i sin (n x) = (cos x + i sin x)^{n}$ ，其中 $n \in N$ .

余弦反余弦复合的关系公式： $cos (n arccos (x)) = \frac{( x + x ^{2} - 1 ) ^{n} + ( x - x ^{2} - 1 ) ^{n}}{2}$ ，其中 $n \geq 1$

和差化积： $⎩ ⎨ ⎧ sin α + sin β = 2 sin (\frac{α + β}{2}) cos (\frac{α - β}{2}) sin α - sin β = 2 sin (\frac{α - β}{2}) cos (\frac{α + β}{2}) cos α + cos β = 2 cos (\frac{α + β}{2}) cos (\frac{α - β}{2}) cos α - cos β = - 2 sin (\frac{α + β}{2}) sin (\frac{α - β}{2})$

（记忆方法： $sin α = sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2})$ ， $sin β = sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2})$ ）

积化和差： $⎩ ⎨ ⎧ sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)] cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)] cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)] sin α sin β = - \frac{1}{2} [cos (α + β) - cos (α - β)]$

（记忆方法： $sin sin$ 、 $cos cos$ 只能由 $cos$ 形式产生； $sin cos$ 、 $cos sin$ 只能由 $sin$ 形式产生）

三角平方差公式：

$sin^{2} x - sin^{2} y = cos^{2} y - cos^{2} x = sin (x + y) sin (x - y)$
$cos^{2} x - sin^{2} y = cos^{2} y - sin^{2} x = cos (x + y) cos (x - y)$

三角函数之间的转换关系：

	$sin$	$cos$	$tan$	$cot$	$sec$	$csc$
$sin x$	$sin x$	$1 - cos^{2} x$	$\frac{t a n x}{1 + t a n ^{2} x}$	$\frac{1}{1 + c o t ^{2} x}$	$\frac{s e c ^{2} x - 1}{s e c x}$	$\frac{1}{c s c x}$
$cos x$	$1 - sin^{2} x$	$cos x$	$\frac{1}{1 + t a n ^{2} x}$	$\frac{c o t x}{1 + c o t ^{2} x}$	$\frac{1}{s e c x}$	$\frac{c s c ^{2} x - 1}{c s c x}$
$tan x$	$\frac{s i n x}{1 - s i n ^{2} x}$	$\frac{1 - c o s ^{2} x}{c o s x}$	$tan x$	$\frac{1}{c o t x}$	$sec^{2} x - 1$	$\frac{1}{c s c ^{2} x - 1}$
$cot x$	$\frac{1 - s i n ^{2} x}{s i n x}$	$\frac{c o s x}{1 - c o s ^{2} x}$	$\frac{1}{t a n x}$	$cot x$	$\frac{1}{s e c ^{2} x - 1}$	$csc^{2} x - 1$
$sec x$	$\frac{1}{1 - s i n ^{2} x}$	$\frac{1}{c o s x}$	$1 + tan^{2} x$	$\frac{1 + c o t ^{2} x}{c o t x}$	$sec x$	$\frac{c s c x}{c s c ^{2} x - 1}$
$csc x$	$\frac{1}{s i n x}$	$\frac{1}{1 - c o s ^{2} x}$	$\frac{1 + t a n ^{2} x}{t a n x}$	$1 + cot^{2} x$	$\frac{s e c x}{s e c ^{2} x - 1}$	$csc x$

注意：这个表格没有考虑正负号，涉及到开根号的公式要根据 $x$ 的象限来判断符号。

常用双曲函数公式

定义：

双曲正弦： $sh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ ，又写做 $sinh x$ ，定义域 $(- \infty, + \infty)$ ，是奇函数，在定义域内单调递增；
双曲余弦： $ch x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ ，又写做 $cosh x$ ，定义域 $(- \infty, + \infty)$ ，是偶函数，图像过点 $(0, 1)$ ；
双曲正切： $th x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}$ ，又写做 $tanh x$ ，定义域 $(- \infty, + \infty)$ ，是奇函数，其图形夹在水平线 $y = 1$ 和 $y = - 1$ 之间，在定义域内单调递增；
反双曲正弦： $arsinh (z) = ln (z + z^{2} + 1)$
反双曲余弦： $arcosh (z) = ln (z + z^{2} - 1)$
反双曲正切： $artanh (z) = ln (\frac{1 - z ^{2}}{1 - z}) = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + z}{1 - z})$
$arcoth (z) = ln (\frac{z ^{2} - 1}{z - 1}) = \frac{1}{2} ln (\frac{z + 1}{z - 1})$
$arcsch (z) = {ln (1 + \frac{1 + z ^{2}}{z}) ln (1 - \frac{1 + z ^{2}}{z}), x > 0, x < 0$
$arsech (z) = ln (\frac{1}{x} \pm \frac{1}{x ^{2}} - 1) = \pm ln (1 + \frac{1 - z ^{2}}{z})$

反三角函数用arc，这是因为反三角函数可以用弧长定义，arc在英文中有弧长的意思；而反双曲函数用ar，是因为反双曲函数用面积定义，表示对应双曲扇形面积的二倍，ar表示area，在英文中有面积的意思。

双曲函数与反双曲函数的导数：

$[sh (x)]^{'} = ch (x)$
$[ch (x)]^{'} = sh (x)$
$[th (x)]^{'} = sech^{2} (x)$
$[coth (x)]^{'} = - csch^{2} (x)$
$[sech (x)]^{'} = - sech (x) th (x)$
$[csch (x)]^{'} = - csch (x) coth (x)$
$[arsinh (x)]^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1}$
$[arcosh (x)]^{'} = \frac{1}{x ^{2} - 1}$ （其中 $> 1$ ）
$[artanh (x)]^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ （其中 $∣ x ∣ < 1$ ）
$[arcoth (x)]^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ （其中 $∣ x ∣ > 1$ ）

不定积分：

$\int th (x) d x = ln [ch (x)] + C$
$\int coth (x) d x = ln ∣ sh (x) ∣ + C$
$\int sech (x) d x = arctan [s h (x)] + C = 2 arctan (e^{x}) + C_{1} = 2 arctan [t h (\frac{x}{2})] + C_{2}$
$\int csch (x) d x = ln ∣ coth (x) - csch (x) ∣ + C = ln ∣ th (\frac{x}{2}) ∣ + C$

基本性质：

$th x = \frac{sh x}{ch x}$ 、 $cth x = \frac{ch x}{sh x}$ 、 $sech x = \frac{1}{ch x}$ 、 $csch x = \frac{1}{sh x}$

$ch x + sh x = e^{x}$ 、 $ch x - sh x = e^{- x}$ 、 $ch^{2} x - sh^{2} x = 1$ 、 $th^{2} x + sech^{2} x = 1$ 、 $cth^{2} x - csch^{2} x = 1$

奇偶性： $sh (- x) = - sh x$ 、 $ch (- x) = ch x$ 、 $th (- x) = - th x$

两角和差公式：

$sh (x + y) = sh (x) ch (y) + ch (x) sh (y)$ 、 $sh (x - y) = sh (x) ch (y) - ch (x) sh (y)$
$ch (x + y) = ch (x) ch (y) + sh (x) sh (y)$ 、 $ch (x - y) = ch (x) ch (y) - sh (x) sh (y)$
$th (x + y) = \frac{th ( x ) + th ( y )}{1 + th ( x ) th ( y )}$ 、 $th (x - y) = \frac{th ( x ) - th ( y )}{1 - th ( x ) th ( y )}$

倍角公式：

$sh (2 x) = 2 sh (x) ch (x)$
$ch (2 x) = ch^{2} (x) + sh^{2} (x) = 2 ch^{2} (x) - 1 = 1 + 2 sh^{2} (x)$
$th (2 x) = \frac{2 th ( x )}{1 + th ^{2} ( x )}$

半角公式：

$sh (\frac{x}{2}) = \pm \frac{ch ( x ) - 1}{2}$ ，其中 $x > 0$ 取正号， $x < 0$ 取负号
$ch (\frac{x}{2}) = \frac{ch ( x ) + 1}{2}$
$th (\frac{x}{2}) = \frac{sh ( x )}{ch ( x ) + 1} = \frac{ch ( x ) - 1}{sh ( x )}$

三倍角公式：

$sh (3 x) = 3 sh (x) + 4 sh^{3} (x)$
$ch (3 x) = 4 ch^{3} (x) - 3 ch (x)$

棣莫弗公式： $[ch (x) + sh (x)]^{n} = ch (n x) + sh (n x)$ ，其中 $n \in N$ .

和差化积公式：

$sh (x) + sh (y) = 2 sh (\frac{x + y}{2}) ch (\frac{x - y}{2})$
$sh (x) - sh (y) = 2 ch (\frac{x + y}{2}) sh (\frac{x - y}{2})$
$ch (x) + ch (y) = 2 ch (\frac{x + y}{2}) ch (\frac{x - y}{2})$
$ch (x) - ch (y) = 2 sh (\frac{x + y}{2}) sh (\frac{x - y}{2})$

积化和差公式：

$sh (x) ch (y) = \frac{1}{2} [sh (x + y) + sh (x - y)]$
$ch (x) sh (y) = \frac{1}{2} [sh (x + y) - sh (x - y)]$
$ch (x) ch (y) = \frac{1}{2} [ch (x + y) + ch (x - y)]$
$sh (x) sh (y) = \frac{1}{2} [ch (x + y) - ch (x - y)]$

根据欧拉公式 $e^{i x} = cos (x) + i sin (x)$ ，用 $- x$ 替换掉 $x$ ，得到 $e^{- i x} = cos (x) - i sin (x)$ ，因此 $sin (x) = \frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i}$ 、 $cos (x) = \frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2}$ ，因此可以得到正弦余弦和双曲正弦双曲余弦的关系式： $cos (x) = ch (i x)$ 、 $sin (x) = - i sh (i x)$ .

级数展开：

$ch (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!}$
$sh (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$

积分时的万能公式：

$sh (x) = \frac{2 th ( \frac{x}{2} )}{1 - th ^{2} ( \frac{x}{2} )}$
$ch (x) = \frac{1 + th ^{2} ( \frac{x}{2} )}{1 - th ^{2} ( \frac{x}{2} )}$
$th (x) = \frac{2 th ( \frac{x}{2} )}{1 + th ^{2} ( \frac{x}{2} )}$

一元二次方程/函数公式

设 $a \neq = 0$ 、 $a, b, c \in R$ ：

对于 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，根判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ， $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

韦达定理：对于 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ 、 $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

对于 $y = a x^{2} + b x + c$ ，顶点坐标为 $(\frac{- b}{2 a}, \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a})$

对数运算法则

$lo g_{a} (BC) = lo g_{a} B + lo g_{a} C$ 、 $lo g_{a} (\frac{B}{C}) = lo g_{a} B - lo g_{a} C$ 、 $lo g_{a} B^{C} = C lo g_{a} B$

$lo g_{a} (1) = 0$ 、 $lo g_{a} (a) = 1$ 、 $lo g_{a} b \times lo g_{b} a = 1$ 、 $a^{l o g_{a} b} = b$

平方、立方、N次方公式

完全平方： $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ 、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
二项定理： $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$ ，其中 $C_{n}^{m}$ 是排列组合公式， $C_{n}^{m} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - m + 1 )}{m !}$
平方差： $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
立方和： $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
立方差： $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
N次方和： $a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} - \dots + b^{n - 1})$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，且为奇数（ $n$ 为偶数时没有N次方和公式）
N次方差： $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$ ，其中 $n \in N^{*}$

N方差公式的特殊形式 $x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1)$ 可以通过等比数列求和推导出来， $S = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n - 1} = 1 \cdot \frac{1 - x ^{n}}{1 - x}$ ，而且 $x^{n} - 1$ 可以看作是 $(\frac{a}{b})^{n} - 1$ ，代入前面的公式即可得到N方差公式。

常用等价无穷小的推导

作图可知 $x \to 0 lim \frac{s i n x}{x} = 1$

$x \to 0 lim \frac{t a n x}{x} = x \to 0 lim \frac{s i n x}{x c o s x} = x \to 0 lim \frac{1}{c o s x} = \frac{1}{1} = 1$

$x \to 0 lim \frac{a r c s i n x}{x} = x = s i n t t \to 0 lim \frac{t}{s i n t} = t \to 0 lim \frac{t}{t} = 1$

$x \to 0 lim \frac{a r c t a n x}{x} = x = t a n t t \to 0 lim \frac{t}{t a n t} = t \to 0 lim \frac{t}{t} = 1$

$x \to 0 lim \frac{1 - c o s x}{\frac{1}{2} x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{2 s i n ^{2} \frac{x}{2}}{\frac{1}{2} x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{2 ( \frac{x}{2} ) ^{2}}{\frac{1}{2} x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} x ^{2}}{\frac{1}{2} x ^{2}} = 1$

$x \to 0 lim \frac{x - s i n x}{\frac{1}{6} x ^{3}} = 洛必达 x \to 0 lim \frac{1 - c o s x}{\frac{1}{2} x ^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x ^{2}}{\frac{1}{2} x ^{2}} = 1$

$x \to 0 lim \frac{t a n x - x}{\frac{1}{3} x ^{3}} = 洛必达 x \to 0 lim \frac{s e c ^{2} x - 1}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{t a n ^{2} x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{x ^{2}}{x ^{2}} = 1$

$x \to 0 lim \frac{a r c s i n x - x}{\frac{1}{6} x ^{3}} = x = s i n t t \to 0 lim \frac{t - s i n t}{\frac{1}{6} s i n ^{3} t} = t \to 0 lim \frac{t - s i n t}{\frac{1}{6} x ^{3}} = 洛必达 t \to 0 lim \frac{1 - c o s t}{\frac{1}{2} x ^{2}} = t \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} t ^{2}}{\frac{1}{2} t ^{2}} = 1$

$x \to 0 lim \frac{x - a r c t a n x}{\frac{1}{3} x ^{3}} = x = t a n t t \to 0 lim \frac{t a n t - t}{\frac{1}{3} t a n ^{3} t} = t \to 0 lim \frac{t a n t - t}{\frac{1}{3} t ^{3}} = 洛必达 t \to 0 lim \frac{s e c ^{2} t - 1}{t ^{2}} = t \to 0 lim \frac{t a n ^{2} t}{t ^{2}} = t \to 0 lim \frac{t ^{2}}{t ^{2}} = 1$

$x \to 0 lim \frac{t a n x - s i n x}{\frac{1}{2} x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{t a n x ( 1 - c o s x )}{\frac{1}{2} x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{x \frac{1}{2} x ^{2}}{\frac{1}{2} x ^{3}} = 1$

$x \to 0 lim \frac{l n ( 1 + x )}{x} = x \to 0 lim ln (1 + x)^{\frac{1}{x}} = x \to 0 lim ln e = 1$

$x \to 0 lim \frac{l o g _{a} ( 1 + x )}{\frac{x}{l n a}} = x \to 0 lim \frac{\frac{l n ( 1 + x )}{l n a}}{\frac{x}{l n x}} = x \to 0 lim \frac{\frac{x}{l n a}}{\frac{x}{l n a}} = 1$

$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = e^{x} - 1 = t t \to 0 lim \frac{t}{l n ( t + 1 )} = t \to 0 lim \frac{t}{t} = 1$

$x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x l n a} = a^{x} - 1 = t t \to 0 lim \frac{t}{l o g _{a} ( t + 1 ) l n a} = t \to 0 lim \frac{t}{\frac{l n ( t + 1 )}{l n a} l n a} = t \to 0 lim \frac{t}{\frac{t}{l n a} l n a} = 1$

$x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{a} - 1}{a x} = x \to 0 lim \frac{e ^{a l n (1 + x)} - 1}{a x} = x \to 0 lim \frac{a l n ( 1 + x )}{a x} = x \to 0 lim \frac{a x}{a x} = 1$

证明重要极限 $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ ：

第一步：先证 $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ 极限存在（用单调有界证）：

写出 $x_{n}$ 和 $x_{n + 1}$ 的二项展开式：

$x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} = 1 + \frac{n}{1 !} \cdot \frac{1}{n} + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} \cdot \frac{1}{n ^{2}} + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{3 !} \cdot \frac{1}{n ^{3}} + \dots + \frac{n ( n - 1 ) \dots + ( n - ( n - 1 ))}{n !} \cdot \frac{1}{n ^{n}} = 1 + 1 + \frac{1}{2 !} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3 !} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) + \dots + \frac{1}{n !} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \dots (1 - \frac{n - 1}{n})$

$x_{n + 1} = 1 + 1 + \frac{1}{2 !} (1 - \frac{1}{n + 1}) + \frac{1}{3 !} (1 - \frac{1}{n + 1}) (1 - \frac{2}{n + 1}) + \dots + \frac{1}{n !} (1 - \frac{1}{n + 1}) (1 - \frac{2}{n + 1}) \dots (1 - \frac{n - 1}{n + 1}) + \frac{1}{( n + 1 )!} (1 - \frac{1}{n + 1}) (1 - \frac{2}{n + 1}) \dots (1 - \frac{n}{n + 1})$

把 $x_{n}$ 记作 $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ ，把 $x_{n + 1}$ 记作 $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n} + v_{n + 1}$ ，显然 $u_{0} \leq v_{0}$ 、 $u_{1} \leq v_{1}$ 、 $\dots$ 、 $u_{n} \leq v_{n}$ 、 $0 \leq v_{n + 1}$ ，所以 $x_{n} \leq x_{n + 1}$ ，其中 $n \in N$ ，故 ${x_{n}}$ 单调。

显然 $x_{n} > 0$ （ $n \in N$ ），由上述的 $x_{n}$ 展开式，有

$x_{n} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots + \frac{1}{n !} \leq 1 + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{2 ^{n - 1}}) = 1 + (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) \cdot 2 < 3$

故 ${x_{n}}$ 有界。

综上，因为 ${x_{n}}$ 单调有界，故 $n \to \infty lim x_{n}$ 存在。我们把它的极限记作为 $e$ ，它是一个无理实数。

第二步：前面已经求出了 $x$ 是自然数时的极限，下面再求出 $x$ 是任意数时的极限：

利用取整函数 $[x]$ 及其性质 $[x] \leq x < [x] + 1$ ，则当 $x > 1$ 时，有 $(1 + \frac{1}{[ x ] + 1})^{[x]} < (1 + \frac{1}{x})^{x} < (1 \frac{1}{[ x ]})^{[x] + 1}$

$x \to \infty lim (1 + \frac{1}{[ x ] + 1})^{[x]} = n = [x] + 1 x \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} (1 + \frac{1}{n})^{- 1} = e$

$x \to \infty lim (1 + \frac{1}{[ x ]})^{[x] + 1} = n = [x] x \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} (1 + \frac{1}{n}) = e$

由夹逼定理得 $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$

当 $x \to - \infty$ 时，令 $t = - x$ ，则有 $(1 + \frac{1}{x})^{x} = (1 - \frac{1}{t})^{- t} = (\frac{t}{t - 1})^{t} = (1 + \frac{1}{t - 1})^{t} = (1 + \frac{1}{t - 1})^{t - 1} (1 + \frac{1}{t - 1})$ ，令 $s = t - 1$ ，得 $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = x \to \infty lim (1 + \frac{1}{s})^{s} (1 + \frac{1}{s}) = e$ .

总结： $e$ 的定义就是 $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x}$ 。我们并不知道这个极限具体是什么数字，但可以证明出这个极限是存在的，并用 $e$ 表示。

常用导数的推导

常数函数 $y = C$ ： $y^{'} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{C - C}{h} = 0$

幂函数 $y = x^{α}$ ：

$y^{'} = h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{α} - x ^{α}}{h} = h \to 0 lim \frac{( C _{α}^{0} x ^{α} + C _{α}^{1} x ^{α - 1} h + C _{α}^{2} x ^{α - 2} h ^{2} + \dots + C _{α}^{α} h ^{α} ) - x ^{α}}{h} = h \to 0 lim \frac{α x ^{α - 1} h + \frac{α ( α - 1 )}{2} x ^{α - 2} h ^{2} + \dots + h ^{α}}{h} = h \to 0 lim α x^{α - 1} + \frac{α ( α - 1 )}{2} x^{α - 2} h^{2} + \dots + h^{α - 1} = α x^{α - 1}$

指数函数 $y = a^{x}$ ： $y^{'} = h \to 0 lim \frac{a ^{x + h} - a ^{x}}{h} = h \to 0 lim \frac{a ^{x} ( a ^{h} - 1 )}{h} = h \to 0 lim \frac{a ^{x} h l n a}{h} = a^{x} ln a$

对数函数 $y = lo g_{a} x$ ：

$y^{'} = h \to 0 lim \frac{l o g _{a} ( x + h ) - l o g _{a} ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{l o g _{a} ( 1 + \frac{h}{x} )}{h} = h \to 0 lim lo g_{a} (1 + \frac{h}{x})^{\frac{1}{h}} = h \to 0 lim lo g_{a} [(1 + \frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}]^{\frac{1}{x}} = lo g_{a} (e)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} lo g_{a} e = \frac{1}{x} \frac{l n e}{l n a} = \frac{1}{x l n a}$

正弦函数 $y = sin x$ ： $y^{'} = h \to 0 lim \frac{s i n ( x + h ) - s i n x}{h} = h \to 0 lim \frac{s i n ( x ) c o s ( h ) + c o s ( x ) s i n ( h ) - s i n ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{s i n ( x ) + c o s ( x ) s i n ( h ) - s i n ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{c o s ( x ) s i n ( x )}{h} = cos x$

余弦函数 $y = cos x$ ： $y^{'} = h \to 0 lim \frac{c o s ( x + h ) - c o s ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{c o s ( x ) c o s ( h ) - s i n ( x ) c o s ( h ) - s i n ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{c o s ( x ) - s i n ( x ) s i n ( h ) - c o s ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{- s i n ( x ) s i n ( h )}{h} = - sin x$

正切函数 $y = tan x$ ： $y^{'} = (\frac{s i n x}{c o s x})^{'} = \frac{c o s ( x ) c o s ( x ) - s i n ( x ) \cdot ( - s i n x )}{c o s ^{2} x} = \frac{c o s ^{2} x + s i n ^{2} x}{c o s ^{2} x} = \frac{1}{c o s ^{2} x} = sec^{2} x$

余切函数 $y = cot x$ ： $y^{'} = (\frac{c o s x}{s i n x})^{'} = \frac{( - s i n x ) \cdot s i n ( x ) - c o s ( x ) c o s ( x )}{s i n ^{2} x} = \frac{- s i n ^{2} - c o s ^{2} x}{s i n ^{2} x} = - \frac{1}{s i n ^{2} x} = - csc^{2} x$

正割函数 $y = sec x$ ： $y^{'} = (\frac{1}{c o s x})^{'} = \frac{0 \cdot c o s x - 1 \cdot ( - s i n x )}{c o s ^{2} x} = \frac{s i n x}{c o s ^{2} x} = \frac{1}{c o s x} \frac{s i n x}{c o s x} = sec x tan x$

余割函数 $y = csc x$ ： $y^{'} = (\frac{1}{s i n x})^{'} = \frac{0 \cdot s i n x - 1 \cdot c o s x}{s i n ^{2} x} = \frac{- c o s x}{s i n ^{2} x} = - \frac{1}{s i n x} \frac{c o s x}{s i n x} = - csc x cot x$

反正弦函数 $y = arcsin x$ ：则 $x = sin y$ ，由反函数求导公式得 $y^{'} = \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{( s i n y ) ^{'}} = \frac{1}{c o s y} = \frac{1}{1 - s i n ^{2} y} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$

反余弦函数 $y = arccos x$ ：则 $x = cos y$ ， $y^{'} = \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{( c o s y ) ^{'}} = \frac{1}{- s i n y} = - \frac{1}{1 - c o s ^{2} y} = - \frac{1}{1 - x ^{2}}$

反正切函数 $y = arctan x$ ：则 $x = tan y$ ， $y^{'} = \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{( t a n y ) ^{'}} = \frac{1}{s e c ^{2} y} = \frac{1}{1 + t a n ^{2} y} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$

反余切函数 $y = a rcco t x$ ：则 $x = cot y$ ， $y^{'} = \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{( c o t y ) ^{'}} = \frac{1}{- c s c ^{2} y} = - \frac{1}{1 + c o t ^{2} y} = - \frac{1}{1 + x ^{2}}$

一个特殊的导数：

$(x^{x})^{'} = Δ x \to 0 lim \frac{( x + Δ x ) ^{x + Δ x} - x ^{x}}{Δ x} = x^{x} Δ x \to 0 lim \frac{( 1 + \frac{Δ x}{x} ) ^{x} ( x + Δ x ) ^{Δ x} - 1}{Δ x} = x^{x} Δ x \to 0 lim \frac{e x p ( x l n ( 1 + \frac{Δ x}{x} ) + Δ x l n ( x + Δ x )) - 1}{Δ x} = x^{x} Δ x \to 0 lim \frac{x l n ( 1 + \frac{Δ x}{x} ) + Δ x l n ( x + Δ x )}{Δ x} = x^{x} [Δ x \to 0 lim \frac{l n ( 1 + \frac{Δ x}{x} )}{\frac{Δ x}{x}} + Δ x \to 0 lim ln (x + Δ x)] = x^{x} (1 + ln x)$

也可以通过复合函数求导计算： $(x^{x})^{'} = (e^{x l n x})^{'} = e^{x l n x} \cdot (x \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot ln x) = x^{x} (1 + ln x)$ .

常用积分公式的推导

$\int tan x d x = \int \frac{s i n x}{c o s x} d x = - \int \frac{1}{c o s x} d (cos x) = - ln ∣ cos x ∣ + C$

$\int \frac{1}{s i n x} d x = \int \frac{1}{2 s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2}} d x = \int \frac{1}{2 t a n \frac{x}{2} c o s ^{2} \frac{x}{2}} d x = \int \frac{1}{t a n \frac{x}{2} c o s ^{2} \frac{x}{2}} d (\frac{x}{2}) = \int \frac{1}{t a n \frac{x}{2}} d (tan \frac{x}{2}) = ln ∣ tan \frac{x}{2} ∣ + C = \frac{1}{2} ln ∣ \frac{1 - c o s x}{1 + c o s x} ∣ + C = ln ∣ \frac{s i n x}{1 + c o s x} ∣ + C = ln ∣ \frac{1 - c o s x}{s i n x} ∣ + C = ln ∣ csc x - cot x ∣ + C$

$\int \frac{1}{c o s x} d x = \int \frac{1}{s i n ( \frac{π}{2} + x )} d x = \int \frac{1}{s i n ( \frac{π}{2} + x )} d (\frac{π}{2} + x) = \frac{1}{2} ln ∣ \frac{1 - c o s ( \frac{π}{2} + x )}{1 + c o s ( \frac{π}{2} + x )} ∣ + C = \frac{1}{2} ln ∣ \frac{1 + s i n x}{1 - s i n x} ∣ + C = \frac{1}{2} ln \frac{( 1 + s i n x ) ^{2}}{1 - s i n ^{2} x} = ln ∣ \frac{1 + s i n x}{c o s x} ∣ + C = ln ∣ sec x + tan x ∣ + C$

$\int \frac{1}{a ^{2} + x ^{2}} d x = \frac{1}{a ^{2}} \int \frac{1}{1 + ( \frac{x}{a} ) ^{2}} d x = \frac{1}{a} \int \frac{1}{1 + ( \frac{x}{a} ) ^{2}} d (\frac{x}{a}) = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C$

$\int \frac{1}{a ^{2} - x ^{2}} d x = \int \frac{1}{2 a} (\frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x}) d x = \frac{1}{2 a} \int \frac{1}{a - x} d x + \frac{1}{2 a} \int \frac{1}{a + x} d x = - \frac{1}{2 a} ln ∣ a - x ∣ + \frac{1}{2 a} ln ∣ a + x ∣ + C = \frac{1}{2 a} ln ∣ \frac{a + x}{a - x} ∣ + C$

$\int \frac{1}{a ^{2} - x ^{2}} d x = \int \frac{1}{a \cdot 1 - ( \frac{x}{a} ) ^{2}} d x = \int \frac{1}{1 - ( \frac{x}{a} ) ^{2}} d (\frac{x}{a}) = arcsin \frac{x}{a} + C$

$\int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x = x = a t a n t \int \frac{a s e c ^{2} t}{a ^{2} s e c ^{2} t} d t = \int \frac{1}{c o s t} d t = ln ∣ sec t + tan t ∣ + C$ （其中 $a > 0$ ，设 $- \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2}$ ），若画出三角形，可看出当 $tan t = \frac{x}{a}$ 时， $sec t = \frac{x ^{2} + a ^{2}}{a}$ ，代入得 $\int \frac{1}{a ^{2} + x ^{2}} d x = ln ∣ \frac{x}{a} + \frac{x ^{2} + a ^{2}}{a} ∣ + C = ln ∣ x + x^{2} + a^{2} ∣ + C$ ，其中最后一步把 $ln a$ 合并到了常数 $C$ 中。

$\int \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} d x$ ，分为 $x > a$ 、 $x < - a$ 两种情况：

（1）当 $x > a$ 时，令 $x = a sec t$ ， $t \in (0, \frac{π}{2})$ ，此时 $\int \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} d x = \int \frac{1}{a ^{2} t a n ^{2} t} \frac{a s i n t}{c o s ^{2} t} d t = \int \frac{1}{c o s t} d t = ln ∣ sec t + tan t ∣ + C$ ，画出三角形可知，当 $sec t = \frac{x}{a}$ 时， $tan t = \frac{x ^{2} - a ^{2}}{a}$ ，代入得 $\int \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} d x = ln ∣ \frac{x}{a} + \frac{x ^{2} - a ^{2}}{a} ∣ + C = ln ∣ x + x^{2} - a^{2} ∣ + C$

（2）当 $x < - a$ 时，令 $x = - a sec t$ ， $t \in (0, \frac{π}{2})$ ，同理可得 $\int \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} d x = ln ∣ x + x^{2} - a^{2} ∣ + C$

求 $\int x^{2} + a^{2} d x$ ：

$\int x^{2} + a^{2} d x 其中 t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) = x = a t a n t \int a sec t \cdot a sec^{2} t d t = a^{2} \int sec^{3} t d t = a^{2} \int sec t d (tan t) = a^{2} (sec t tan t - \int tan^{2} t sec t d t) = a^{2} (sec t tan t - \int (sec^{2} t - 1) sec t d t) = a^{2} (sec t tan t - \int sec^{3} t d t + \int sec t d t)$

出现了重复项，因此 $\int sec^{3} t d t = \frac{1}{2} (sec t tan t + \int sec t d t)$ ，故 $\int x^{2} + a^{2} d x = \frac{a ^{2}}{2} (sec t tan t + ln ∣ sec t + tan t ∣) + C$ ，画出三角形可得 $\int x^{2} + a^{2} d x = \frac{a ^{2}}{2} (\frac{x}{a} \frac{x ^{2} + a ^{2}}{a ^{2}} + ln ∣ \frac{x}{a} + \frac{x ^{2} + a ^{2}}{a ^{2}} ∣) + C = \frac{x}{2} x^{2} + a^{2} + \frac{a ^{2}}{2} ln ∣ x + x^{2} + a^{2} ∣ + C$ ，其中最后一步把 $ln a$ 合并到了常数 $C$ 中。

求 $\int x^{2} - a^{2} d x$ ：

令 $x = a sec t$ ，则 $d x = a sec t tan t d t$ ，

$\int x^{2} - a^{2} d x = \int a tan t \cdot a sec t tan t d t = \int a^{2} sec t tan^{2} t d t = a^{2} \int sec t (sec^{2} t - 1) d t = a^{2} \int sec^{3} t d t - a^{2} \int sec t d t = \frac{a ^{2}}{2} (sec t tan t + ln ∣ sec t + tan t ∣) - a^{2} ln ∣ sec t + tan t ∣ + C = \frac{a ^{2}}{2} \frac{x}{a} \frac{x ^{2} - a ^{2}}{a} - \frac{a ^{2}}{2} ln ∣ \frac{x}{a} - \frac{x ^{2} - a ^{2}}{a} ∣ + C = \frac{x}{2} x^{2} - a^{2} - \frac{a ^{2}}{2} ln ∣ x + x^{2} - a^{2} ∣ + C$

用到了证 $\int x^{2} + a^{2} d x$ 时的一些中间结果。

设 $a > 0$ ，求 $\int a^{2} - x^{2} d x$ ：

$\int a^{2} - x^{2} d x 其中 t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) = x = a s i n t \int a^{2} - a^{2} sin^{2} t \cdot a cos t d t = a^{2} \int cos^{2} t d t = \frac{a ^{2}}{2} \int (1 + cos (2 t)) d t = \frac{a ^{2}}{2} (t + \frac{1}{2} sin (2 t)) + C = \frac{a ^{2}}{2} (t + sin t cos t) + C = \frac{a ^{2}}{2} (arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{a} 1 - (\frac{x}{a})^{2}) + C = \frac{a ^{2}}{2} arcsin \frac{x}{a} + \frac{1}{2} x a^{2} - x^{2} + C$

求 $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$ ，其中 $n \geq 2$ ：

解： $I_{n} = - \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n - 1} x d (cos x)$ ，由分部积分得

$I_{n} = - (sin^{n - 1} x cos x) ∣_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d (sin^{n - 1} x) = (n - 1) \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n - 2} x cos^{2} x d x = (n - 1) \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n - 2} x (1 - sin^{2} x) d x = (n - 1) I_{n - 2} - (n - 1) I_{n}$

于是可以得到递推公式 $I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$ ，因此 ${I_{2 k} = \frac{2 k - 1}{2 k} \frac{2 k - 3}{2 k - 2} \dots \frac{1}{2} I_{0} I_{2 k + 1} = \frac{2 k}{2 k + 1} \frac{2 k - 2}{2 k - 1} \dots \frac{2}{3} I_{1}$ ，其中 $I_{0} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (sin x)^{0} d x = \frac{π}{2}$ 、 $I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x = 1$

上式可简写为 ${\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2 k} x d x = \frac{( 2 k - 1 )!!}{( 2 k )!!} \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2 k + 1} x d x = \frac{( 2 k )!!}{( 2 k + 1 )!!}$ ，其中 $n!!$ 表示不超过 $n$ 的“二进阶乘”，比如 $8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2$ ， $7!! = 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1$ .

证明： $\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$ ：

解：令 $x = \frac{π}{2} - t$ ，其中 $0 \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，则 $\int_{0}^{\frac{p i}{2}} cos^{n} x d x = \int_{\frac{p i}{2}}^{0} sin^{n} t \cdot (- d t) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} t d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$ .

因此 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$ 的计算公式也可以用在 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} x d x$ .

例题：求极限的方法总结

1、直接代入法

$x \to 2 lim \frac{5 + x ^{2}}{3 16 - x ^{3}} = \frac{3}{2}$

$x \to \infty lim \frac{3 x ^{3} + 1}{x} = x \to \infty lim 3 \frac{x ^{3} + 1}{x ^{3}} = x \to \infty lim 3 1 + \frac{1}{x ^{3}} = 1$

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = x \to + \infty lim \frac{1 + e ^{- 2 x}}{1 - e ^{- 2 x}} = 1$

2、概念判断法

有界函数乘以无穷小等于零： $x \to \infty lim \frac{1}{x} sin \frac{1}{x} = 0$ 、 $x \to 0 lim tan (x^{2}) sin \frac{1}{x} = 0$ 、 $x \to \infty lim e^{c o s x} ln (1 + \frac{1}{x}) = 0$ 、 $x \to 0 lim (2^{x} - 1) cos (2^{\frac{1}{x}}) = 0$

有界函数除以无穷大等于零： $x \to 0^{+} lim \frac{c o s ( \frac{1}{x} )}{l n x} = 0$ 、 $x \to \frac{π}{2} lim \frac{s i n l n ∣ x - \frac{π}{2} ∣}{t a n x} = 0$ 、 $x \to \infty lim \frac{3 ^{c o s x}}{x ^{2} + s i n x} = 0$ 、 $x \to 0 lim \frac{2 + s i n ( c o t x )}{2 + c o t x} = 0$

非零常数乘以无穷大等于无穷大： $x \to 0^{+} lim x^{x} cot x = \infty$ 、 $x \to \infty lim x ln (2 + \frac{1}{x}) = \infty$

绝对值小于1的数的无穷大次幂等于零： $x \to \infty lim (\frac{e}{π})^{x} = 0$ 、 $n \to \infty lim \frac{2 ^{n} + 3 ^{n + 1}}{2 ^{n + 2} + 3 ^{n}} = n \to \infty lim \frac{( \frac{2}{3} ) ^{n} + 3}{( \frac{2}{3} ) ^{n} \times 4 + 1} = 3$

绝对值大于1的数的无穷大次幂等于 $\infty$ ： $x \to \infty lim (\frac{π}{e})^{x} = \infty$ 、 $n \to \infty lim \frac{3 ^{n} + 3 ^{n + 1}}{2 ^{n} + 2 ^{n + 1}} = n \to \infty lim (\frac{3}{2})^{n} \cdot \frac{( 1 + 3 )}{( 1 + 2 )} = \infty$

绝对值大于0小于1的数开无穷大次幂等于1： $n \to \infty lim n \frac{e}{π} = 1$ 、 $x \to \pm \infty lim (\frac{3 + 5}{3 + 6})^{x^{- 1}} = 1$

3、因式分解法

$x \to 4 lim \frac{x - 4}{x - 2} = x \to 4 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = 4 + 2 = 4$

$x \to 1 lim \frac{x ^{m} - 1}{x ^{n} - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x ^{m - 1} + x ^{m - 2} + \dots + 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{n - 1} + x ^{n - 2} + \dots + 1 )} = \frac{m}{n}$

4、化无穷大为无穷小

$x \to \infty lim \frac{x + s i n x}{x - c o s x} = x \to \infty lim \frac{1 + \frac{s i n x}{x}}{1 - \frac{c o s x}{x}} = 1$

$x \to + \infty lim \frac{x + l n x}{x l n x} = x \to + \infty lim \frac{1 + \frac{l n x}{x}}{l n x} = 0$ （其中 $\frac{\infty}{\infty} ⟶ \frac{1 + 0}{\infty}$ ）

$x \to \infty lim \frac{( 2 x - 1 ) ^{2} ( 3 x + 2 ) ^{3}}{( 6 x + 1 ) ^{5}} = x \to \infty lim (\frac{2 - \frac{1}{x}}{6 + \frac{1}{x}})^{2} (\frac{3 + \frac{2}{x}}{6 + \frac{1}{x}})^{3} = \frac{1}{72}$

5、有理化

（1）有理化——分子有理化：

$x \to + \infty lim arcsin (x^{2} + x - x) = x \to + \infty lim arcsin \frac{( x ^{2} + x - x ) ( x ^{2} + x + x )}{x ^{2} + x + x} = x \to + \infty lim arcsin \frac{x}{x ^{2} + x + x} = arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$

$x \to + \infty lim (3 x^{3} + 2 x^{2} + 1 - x) = x \to + \infty lim x (3 1 + 2 x^{- 1} + x^{- 3} - 1) = x \to + \infty lim \frac{x ( 2 x ^{- 1} + x ^{- 3} )}{( 1 + 2 x ^{- 1} + x ^{- 3} ) ^{\frac{2}{3}} + ( 1 + 2 x ^{- 1} + x ^{- 3} ) ^{\frac{1}{3}} + 1} = \frac{2}{3}$

（2）有理化——分母有理化：

$x \to 0 lim \frac{x}{1 + x - 1 - x} = x \to 0 lim \frac{1 + x + 1 - x}{2} = 1$

（3）有理化——分子、分母同时有理化：

$x \to - 8 lim \frac{2 + 3 x}{1 - x - 3} = x \to - 8 lim \frac{[ 8 + ( 3 x ) ^{3} ] ( 1 - x + 3 )}{[( 1 - x ) - 9 ] ( 4 - 2 3 x + 3 x ^{2} )} = - \frac{1}{2}$

$n \to \infty lim \frac{n + 4 - n}{n + 5 - n} = n \to \infty lim \frac{4 ( n + 5 + n )}{5 ( n + 4 + n )} = \frac{4}{5}$

$x \to 5 lim \frac{3 x - 3 5}{x - 5} = x \to 5 lim \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{( x - 5 ) ( 3 x ^{2} + 3 5 x + 3 25 )} = \frac{2}{3 6 5}$

6、变量代换

$x \to 1 lim \frac{3 x - 1}{x - 1} = x = t^{6} t \to 1 lim \frac{t ^{2} - 1}{t ^{3} - 1} = t \to 1 lim \frac{t + 1}{t ^{2} + t + 1} = \frac{2}{3}$

$n \to \infty lim n [ln (n + 1) - ln n] = n = \frac{1}{x} x \to 0 lim \frac{l n ( 1 + x ^{- 1} ) + l n x}{x} = x \to 0 lim \frac{l n ( \frac{x + 1}{x} ) + l n x}{x} = x \to 0 lim \frac{l n ( x + 1 )}{x} = 1$

$x \to \frac{π}{4} lim tan (2 x) tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{π}{4} - x = u = u \to 0 lim tan (\frac{π}{2} - 2 u) tan u = u \to 0 lim \frac{1}{t a n ( 2 u )} tan u = u \to 0 lim \frac{1 - t a n ^{2} u}{2 t a n u} tan u = \frac{1}{2}$

$x \to - \infty lim (x^{2} + x x^{2} + 2) = x = - u u \to + \infty lim \frac{u ( u - u ^{2} + 2 ) ( u + u ^{2} + 2 )}{u + u ^{2} + 2} = u \to + \infty lim \frac{- 2 u}{u + u ^{2} + 2} = u \to + \infty lim \frac{- 2}{1 + 1 + \frac{2}{u ^{2}}} = - 1$

$x \to + \infty lim 2 x^{2} (1 - cos \frac{1}{2 x}) = \frac{1}{2 x} = u u \to 0^{+} lim \frac{1}{4 u ^{2}} (1 - cos u) = 1 - c o s u \sim \frac{1}{2} u^{2} \frac{1}{4} u \to 0^{+} lim \frac{\frac{1}{2} u ^{2}}{u ^{2}} = \frac{1}{8}$

$x \to 0 lim \frac{[ s i n x - s i n ( s i n x )] s i n x}{x ^{4}} = s i n x \sim x x \to 0 lim \frac{s i n x - s i n ( s i n x )}{x ^{3}} s i n t \sim t = s i n x = t t \to 0 lim \frac{t - s i n t}{t ^{3}} = 洛必达 t \to 0 lim \frac{1 - c o s t}{3 t ^{2}} = 1 - c o s t \sim \frac{1}{2} t^{2} t \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} t ^{2}}{3 t ^{2}} = \frac{1}{6}$

$n \to \infty lim n^{2} (e^{2 + \frac{1}{n}} + e^{2 - \frac{1}{n}} - 2 e^{2}) = e^{2} n \to \infty lim n^{2} (e^{\frac{1}{n}} + e^{- \frac{1}{n}} - 2) = e^{2} n \to \infty lim n^{2} (e^{\frac{1}{2 n}} - e^{- \frac{1}{2 n}})^{2} = \frac{1}{2 n} = x e^{2} x \to 0 lim \frac{( e ^{x} - e ^{- x} ) ^{2}}{4 x ^{2}} = e^{2} x \to 0 lim \frac{( e ^{2 x} - 1 ) ^{2}}{4 x ^{2} e ^{2 x}} = e^{2} x \to 0 lim \frac{( 2 x ) ^{2}}{4 x ^{2} e ^{2 x}} = e^{2} (等价无穷小 e^{x} - 1 \sim x)$

$(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y - s i n ( x y )}{x y - x y c o s ( x y )} = x y = u u \to 0 lim \frac{u - s i n u}{u - u c o s u} = 1 - c o s u \sim \frac{1}{2} u^{2} u \to 0 lim \frac{u - s i n u}{\frac{1}{2} u ^{3}} = 洛必达 u \to 0 lim \frac{1 - c o s u}{\frac{3}{2} u ^{2}} = 1 - c o s u \sim \frac{1}{2} u^{2} u \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} u ^{2}}{\frac{3}{2} u ^{2}} = \frac{1}{3}$

7、三角函数恒等变换

$n \to \infty lim n^{2} + 1 (arctan (\frac{n + 1}{n}) - \frac{π}{4}) = n \to \infty lim n^{2} + 1 (arctan (\frac{n + 1}{n}) - arctan 1) = n \to \infty lim n^{2} + 1 arctan \frac{\frac{n + 1}{n} - 1}{1 + \frac{n + 1}{n} \times 1} = \frac{1}{2}$

$n \to \infty lim n^{2} (arctan \frac{a}{n} - arctan \frac{a}{n + 1}) = n \to \infty lim n^{2} arctan \frac{\frac{a}{n ( n + 1 )}}{1 + \frac{a ^{2}}{n ( n + 1 )}} = n \to \infty lim n^{2} arctan \frac{a}{n ( n + 1 ) + a ^{2}} = a r c t a n x \sim x n \to \infty lim \frac{a n ^{2}}{a ^{2} + n ^{2} + n} = a$

$n \to \infty lim sin (π n^{2} + 1) = s i n (nπ + x) = \pm s i n (x) \pm n \to \infty lim sin [π (n - n^{2} + 1)] = n \to \infty lim sin \frac{\pm π}{n + n ^{2} + 1} = 0$

$n \to \infty lim [1 + sin (π 1 + 4 n^{2})]^{n} = exp (n \to \infty lim n ln [1 + sin (π 1 + 4 n^{2})]) = s i n (x - 2 nπ) = s i n x exp (n \to \infty lim n ln [1 + sin (π 1 + 4 n^{2} - 2 nπ)]) = exp (n \to \infty lim n ln [1 + sin (π \frac{( 1 + 4 n ^{2} - 2 n ) ( 1 + 4 n ^{2} + 2 n )}{1 + 4 n ^{2} + 2 n})]) = exp (n \to \infty lim n ln [1 + sin (π \frac{4 n ^{2} + 1 - 4 n ^{2}}{2 n + 1 + 4 n ^{2}})]) = exp (n \to \infty lim n ln [1 + sin (\frac{π}{2 n + 1 + 4 n ^{2}})]) s i n x \sim x = l n (1 + x) \sim x = exp (n \to \infty lim \frac{π}{\frac{1}{n} ( 1 + 4 n ^{2} + 2 n )}) = e^{\frac{4}{π}}$

$n \to \infty lim sin^{2} (π n^{2} + n) = n \to \infty lim \frac{1 - c o s ( 2 π n ^{2} + n )}{2} = c o s (x - 2 nπ) = c o s x n \to \infty lim \frac{1 - c o s ( 2 π ( n ^{2} + n - n ))}{2} = n \to \infty lim \frac{1 - c o s ( 2 π \frac{n}{n ^{2} + n + n} )}{2} = n \to \infty lim \frac{1 - c o s ( 2 π \frac{1}{1 + \frac{1}{n} + 1} )}{2} = \frac{1 - c o s π}{2} = 1$

8、单调有界函数的解方程法

单调有界必有极限，然后写出递推公式，解方程。

$n 项 2 + 2 + 2 + \dots$ ， $x_{n + 1} = 2 + x_{n}$ ，由于 $x_{n + 1} = 2 + x_{n} > x_{n}$ ，故单调递增；凭借直觉可知 ${x_{n}} < 2$ ，下面用数学归纳法证明：因为 $x_{1} = 2 < 2$ ，设 $x_{n} < 2$ ，那么 $x_{n + 1} = 2 + x_{n} < 2 + 2 = 2$ 成立，故 $x_{n} < 2$ ，该数列有界。通过“单调有界必有极限”定理可知原式的极限存在，设其极限为 $a$ ，那么 $x_{n + 1} = 2 + x_{n}$ 两边同时取极限，得 $a = 2 + a$ ，解出 $a = 2$ ，因此极限为2。

$\frac{1}{5 + \frac{1}{5 + \frac{1}{5 + \dots}}}$ ， $x_{n + 1} = \frac{1}{5 + x _{n}}$ ，易知单调递减且有界，设极限为 $a$ ，则 $a = \frac{1}{5 + a}$ ，解出 $a = \frac{- 5 \pm 3}{2}$ ，由于是正数，取 $a = \frac{3 - 5}{2}$

$\frac{6}{5 + \frac{6}{5 + \frac{6}{5 + \dots}}}$ ， $x_{n + 1} = \frac{6}{5 + x _{n}}$ ，易知单调递减且有界，设极限为 $a$ ，则 $a = \frac{6}{5 + a}$ ，因此极限为 $1$ .

$n \to \infty lim u_{n} = n \to \infty lim u_{n - 1} + 6$ ，可解出 $n \to \infty lim u_{n} = 3$ .

9、重要极限

（1）重要极限—— $x \to 0 lim \frac{s i n x}{x} = 1$

$x \to 0 lim \frac{1}{x} (\frac{1}{s i n x} - \frac{1}{t a n x}) = x \to 0 lim \frac{1 - c o s x}{x s i n x} = x \to 0 lim \frac{s i n \frac{x}{2}}{x c o s \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}$

$x \to 1^{+} lim \frac{s i n ( π x )}{x - 1} \cdot e^{\frac{1}{( x - 1 ) ^{3}}} = x \to 1^{+} lim \frac{π s i n [ π ( 1 - x )]}{- π ( 1 - x )} \cdot e^{\frac{1}{( x - 1 ) ^{3}}} = - π \cdot e^{\infty} = - \infty$ ，其中 $sin (π x) = sin (π - π x) = sin [π (1 - x)]$

$x \to 0 lim \frac{t a n x - s i n x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{s i n x}{x} \frac{1 - c o s x}{x ^{2} c o s x} = x \to 0 lim \frac{2 s i n ^{2} \frac{x}{2}}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$

$x \to 1 lim (1 - x) tan \frac{π x}{2} = \frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + u u \to 0 lim \frac{- \frac{2 u}{π} s i n ( \frac{π}{2} + u )}{c o s ( \frac{π}{2} + u )} = \frac{2}{π} u \to 0 lim \frac{u c o s u}{s i n u} = \frac{2}{π}$

（2）重要极限—— $x \to 0^{\pm} lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ 、 $x \to \pm \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ 、 $n \to \pm \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e$

$x \to \infty lim (\frac{x + 2}{x + 3})^{x} = x \to \infty lim (1 + \frac{- 1}{x + 3})^{x} = x \to \infty lim e^{\frac{- x}{x + 3}} = \frac{1}{e}$

$x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = a^{x} - 1 = t ln a t \to 0 lim \frac{t}{l n ( 1 + t )} = ln a t \to 0 lim \frac{1}{l n ( 1 + t ) ^{\frac{1}{t}}} = ln a$ ，其中 $a^{x} = t + 1 ⟶ x ln a = ln (t + 1) ⟶ x = \frac{l n ( t + 1 )}{l n a}$

$n \to \infty lim n [ln (n + 1) - ln n] = n \to \infty lim n ln (1 + \frac{1}{n}) = n \to \infty lim ln (1 + \frac{1}{n})^{n} = 1$

$x \to 0 lim (1 - 2 x)^{\frac{3}{s i n x}} = x \to 0 lim [(1 - 2 x)^{\frac{1}{- 2 x}}]^{(- 6) \cdot \frac{x}{s i n x}} = e^{(- 6) \cdot 1} = e^{- 6}$

$x \to \frac{π}{2} lim (sin x)^{t a n x} = x \to \frac{π}{2} lim (1 + sin x - 1)^{\frac{1}{s i n x - 1} (s i n x - 1) t a n x} = exp (x \to \frac{π}{2} lim \frac{( s i n x - 1 ) s i n x}{c o s x}) = 洛必达 exp (x \to \frac{π}{2} lim \frac{2 s i n x \cdot c o s x - c o s x}{- s i n x}) = e^{0} = 1$

$x \to \infty lim (sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x})^{x} = t \to 0 lim (sin t + cos t)^{\frac{1}{t}} = t \to 0 lim (1 + sin t + cos t - 1)^{\frac{1}{s i n t + c o s t - 1} \cdot \frac{s i n t + c o s t - 1}{t}} = e^{t \to 0 l i m \frac{s i n t - c o s t - 1}{t}} = e^{t \to 0 l i m \frac{s i n t}{t} + t \to 0 l i m \frac{c o s - 1}{t}} = e^{t \to 0 l i m \frac{t}{t} + t \to 0 l i m \frac{- \frac{1}{2} t ^{2}}{t}} = e$

10、等价无穷小代换

$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{s i n x} = x \to 0 lim \frac{x}{x} = 1$

$x \to 0 lim \frac{l n ( 1 + s i n x )}{t a n x} = x \to 0 lim \frac{s i n x}{t a n x} = x \to 0 lim \frac{x}{x} = 1$

$x \to 0 lim \frac{1 - c o s x}{s i n ^{2} x} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} x ^{2}}{s i n ^{2} x} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} s i n ^{2} x}{s i n ^{2} x} = \frac{1}{2}$

$x \to 0 lim \frac{a r c t a n x}{2 ^{x} - 1} = x \to 0 lim \frac{x}{x l n 2} = \frac{1}{l n 2}$

$x \to 0 lim (1 - 2 sin x)^{c s c x} = x \to 0 lim e^{\frac{l n ( 1 - 2 s i n x )}{s i n x}} = e^{- 2}$

$x \to 0 lim \frac{t a n x - x}{x ^{2} s i n x} = x \to 0 lim \frac{t a n x - x}{x ^{2} \cdot x} = 洛必达 x \to 0 lim \frac{s e c ^{2} x - 1}{3 x ^{2}} = \frac{t a n ^{2} x}{3 x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{x ^{2}}{3 x ^{2}} = \frac{1}{3}$ ，或者也可以直接用 $tan x - x \sim \frac{1}{3} x^{3}$

$x \to 0^{+} lim \frac{e ^{x^{3}} - 1}{1 - c o s ( x - s i n x )} = x \to 0^{+} lim \frac{x ^{3}}{\frac{1}{2} ( x - s i n x ) ^{2}} = x \to 0^{+} lim \frac{2 x ^{3}}{\frac{1}{6} x ^{3}} = 12$

$x \to 0 lim \frac{4 1 + x ^{2} - 1}{1 - c o s x} = x \to 0 lim \frac{2 1 + x ^{2} - 1}{( \frac{1}{2} x ^{2} ) ( 4 1 + x ^{2} )} = x \to 0 lim \frac{x ^{2}}{( \frac{x ^{2}}{2} ) ( 4 1 + x ^{2} + 1 ) ( 2 1 + x ^{2} + 1 )} = \frac{1}{2}$

$x \to 0 lim \frac{e ^{s i n x} - e ^{t a n x}}{s i n x - t a n x} = x \to 0 lim \frac{e ^{t a n x} ( e ^{s i n x - t a n x} - 1 )}{s i n x - t a n x} = x \to 0 lim \frac{e ^{t a n x} ( s i n x - t a n x )}{s i n x - t a n x} = x \to 0 lim e^{t a n x} = 1$

$x \to 0 lim \frac{3 s i n x + x ^{2} c o s \frac{1}{x}}{( 1 + c o s x ) l n ( 1 + x )} = x \to 0 lim \frac{3 s i n x + x ^{2} c o s \frac{1}{x}}{2 x} = x \to 0 lim \frac{3 s i n x}{2 x} + \frac{x c o s \frac{1}{x}}{2} = \frac{3}{2}$

11、洛必达法则

（1）洛必达法则

$x \to 1 lim (x - 1) tan \frac{3 π x}{2} = x \to 1 lim \frac{x - 1}{c o t \frac{3 π x}{2}} = 洛必达 \frac{- 2}{3 π} x \to 1 lim sin^{2} \frac{3 π x}{2} = - \frac{2}{3 π}$

$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - e ^{s i n x}}{x - s i n x} = 洛必达 x \to 0 lim \frac{e ^{x} - e ^{s i n x} c o s x}{1 - c o s x} = 洛必达 x \to 0 lim \frac{e ^{x} - e ^{s i n x} c o s ^{2} x + e ^{s i n x} s i n x}{s i n x} = x \to 0 lim \frac{1 - 1 + e ^{s i n x} s i n x}{s i n x} = 1$

$x \to 0^{+} lim (ln \frac{1}{x})^{x} = x \to 0^{+} lim e^{l n (l n \frac{1}{x})^{x}} = x \to 0^{+} lim e^{\frac{l n ( - l n x )}{\frac{1}{x}}} = 洛必达 x \to 0^{+} lim e^{\frac{- \frac{1}{l n x} \cdot ( - \frac{1}{x} )}{- \frac{1}{x ^{2}}}} = x \to 0^{+} lim e^{- \frac{x}{l n x}} = 洛必达 x \to 0 lim e^{- \frac{1}{\frac{1}{x}}} = x \to 0 lim e^{- x} = 1$

$x \to 0 lim (\frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x t a n x}) = x \to 0 lim \frac{t a n x - x}{x ^{2} t a n x} = x \to 0 lim \frac{s i n x - x c o s x}{x ^{2} s i n x} = 洛必达 x \to 0 lim \frac{c o s x - c o s x + x s i n x}{2 x s i n x + x ^{2} c o s x} = 洛必达 x \to 0 lim \frac{c o s x}{2 c o s x + c o s x - x s i n x} = \frac{1}{3}$

$x \to \infty lim \frac{[( 1 + \frac{1}{x} ) ^{x} ] ^{x}}{e ^{x}} = x \to \infty lim \frac{e x p ( x ^{2} l n ( 1 + \frac{1}{x} ))}{e ^{x}} = x \to \infty lim exp (x^{2} ln (1 + \frac{1}{x}) - x) = exp (x \to 0 lim \frac{l n ( 1 + x )}{x ^{2}} + \frac{1}{x}) = exp (x \to 0 lim \frac{l n ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}) = exp (x \to 0 lim \frac{\frac{1}{x + 1} - 1}{2 x}) = exp (x \to 0 lim \frac{- x}{2 x ( 1 + x )}) = e^{- \frac{1}{2}}$

（2）变限积分符号下的求导

$x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x^{2}} s i n t ^{2} d t}{\int _{x}^{0} t [ l n ( 1 + t ^{2} ) ] ^{2} d t} = 洛必达 \frac{2 x s i n x ^{4}}{- x [ l n ( 1 + x ^{2} ) ] ^{2}} = \frac{2 x \cdot x ^{4}}{- x \cdot ( x ^{2} ) ^{2}} = - 2$

12、用级数求极限

（1）麦克劳林级数展开

$x \to 0 lim \frac{s i n x - t a n x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{( x - \frac{x ^{3}}{3 !} ) - ( x + \frac{x ^{3}}{3} )}{x ^{3}} = - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2}$

$x \to 0 lim \frac{1 + \frac{x ^{2}}{2} - 1 + x ^{2}}{x ^{2} ( c o s x - e ^{x^{2}} )} = x \to 0 lim \frac{1 + \frac{x ^{2}}{2} - ( 1 + \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{\frac{1}{2} ( \frac{1}{2} - 1 )}{2 !} x ^{4} )}{x ^{2} [( 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} ) - ( 1 + x ^{2} )]} = x \to 0 lim \frac{\frac{x ^{4}}{8}}{x ^{2} \cdot ( - \frac{3}{2} x ^{2} )} = - \frac{1}{12}$

$x \to 0 lim (\frac{1}{x} - \frac{1}{e ^{x} - 1}) = x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ( e ^{x} - 1 )} = x \to 0 lim \frac{( 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} ) - 1 - x}{x [( 1 + x ) - 1 ]} = x \to 0 lim \frac{\frac{x ^{2}}{2}}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$

$x \to + \infty lim (3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 2 x^{3}) = x \to + \infty lim \frac{3 1 + 3 x ^{- 1} - 4 1 - 2 x ^{- 1}}{x ^{- 1}} = x \to 0 lim \frac{( 1 + x ^{- 1} + o ( x ^{- 1} )) - ( 1 - \frac{2}{4} x ^{- 1} + o ( x ^{- 1} ))}{x ^{- 1}} = \frac{3}{2}$

$x \to 0 lim (\frac{1}{s i n ^{2} x} - \frac{1}{x ^{2} c o s ^{2} x}) = x \to 0 lim \frac{x ^{2} c o s ^{2} x - s i n ^{2} x}{x ^{2} s i n ^{2} x c o s ^{2} x} = x \to 0 lim \frac{x ^{2} ( 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots ) ^{2} - ( x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots ) ^{2}}{x ^{2} s i n ^{2} x c o s ^{2} x} = - \frac{2}{3}$

（2）泰勒级数展开

$x \to 2 lim (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{s i n ( x - 2 )}) = x \to 2 lim \frac{s i n ( x - 2 ) - ( x - 2 )}{( x - 2 ) s i n ( x - 2 )} = x \to 2 lim \frac{[( x - 2 ) - \frac{1}{3 !} ( x - 2 ) ^{3} + \dots ] - ( x - 2 )}{( x - 2 ) s i n ( x - 2 )} = x \to 0 lim \frac{- \frac{1}{3 !} ( x - 2 ) ^{3} + \dots}{( x - 2 ) ^{2}} = 0$

（3）傅里叶级数展开

求 $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}})$ ：

由于 $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ ，因此可以转换为求级数的和函数。设 $f (x)$ 是周期为 $2 π$ 的周期函数，它在 $[- π, π)$ 上的表达式为 $f (x) = {- x x, - π \leq x < 0, 0 \leq x < π$ ，因为 $f (x)$ 满足迪利克雷定理的条件，且 $f (x)$ 在整个数轴上连续，故其傅里叶级数在整个数轴上都收敛于 $f (x)$ ，将 $f (x)$ 展开成傅里叶级数，得 $f (x) = \frac{π}{2} - \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{( 2 n - 1 ) ^{2}} cos (2 n - 1) x$ ，其中 $x \in (- \infty, + \infty)$ ，因为 $f (0) = 0$ ，代入傅里叶级数得 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{( 2 n - 1 ) ^{2}} = \frac{π}{8}$

而 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{( 2 n - 1 ) ^{2}} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{( 2 n ) ^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{( 2 n - 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ ，移项可得 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{4}{3} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{( 2 n - 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$

（4）利用级数审敛法

求 $n \to \infty lim \frac{5 ^{n} \cdot n !}{( 2 n ) ^{n}}$ ：令 $u_{n} = \frac{5 ^{n} \cdot n !}{( 2 n ) ^{n}}$ ，则 $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{\frac{5 ^{n + 1} \cdot ( n + 1 )!}{( 2 ( n + 1 ) ) ^{n + 1}}}{\frac{5 ^{n} \cdot n !}{( 2 n ) ^{n}}} = \frac{5}{2} (\frac{n}{n + 1})^{n} = \frac{5}{2} \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}} = \frac{5}{2 e} < 1$ ，由比值判别法可知级数收敛，由级数收敛的必要条件可知 $n \to \infty lim \frac{5 ^{n} \cdot n !}{( 2 n ) ^{n}} = 0$

（5）利用级数和函数

求 $n \to \infty lim (arctan \frac{1}{2} + arctan \frac{1}{8} + \dots + arctan \frac{1}{2 n ^{2}})$ ：

令 $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} arctan \frac{1}{2 k ^{2}}$ ，则 $s_{1} = arctan \frac{1}{2}$ ，根据 $arctan x + arctan y = arctan \frac{x + y}{1 - x y}$ 得 $s_{2} = arctan \frac{1}{2} + arctan \frac{1}{8} = arctan \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}} = arctan \frac{2}{3}$ 、 $s_{3} = s_{2} + arctan \frac{1}{18} = arctan \frac{2}{3} + arctan \frac{1}{18} = arctan \frac{3}{4}$

假设 $s_{k + 1} = arctan \frac{k - 1}{k}$ ， $s_{k} = arctan \frac{k - 1}{k} + arctan \frac{1}{2 k ^{2}} = arctan \frac{k}{k + 1}$ ，故当 $n \to \infty$ 时 $s_{n} = arctan \frac{n}{n + 1} = arctan 1 = \frac{π}{4}$ .

故 $n \to \infty lim (arctan \frac{1}{2} + arctan \frac{1}{8} + \dots + arctan \frac{1}{2 n ^{2}}) = s_{n} = \frac{π}{4}$

求 $n \to \infty lim (\frac{1}{2} + \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3 ^{2} \cdot 4} + \frac{1}{3 ^{n - 1} \cdot ( n + 1 )})$ ：

问题可以转化为求级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3 ^{n - 1} \cdot ( n - 1 )}$ 的和函数，先求 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n - 1}}{n + 1}$ 的和函数： $s (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n - 1}}{n + 1}$ 是一个幂级数，它的收敛半径为 $n \to \infty lim (\frac{\frac{1}{n + 2}}{\frac{1}{n + 1}}) = 1$ ，收敛区间为 $(- 1, 1)$ ，设 $x \in (- 1, 1)$ ，对 $x^{2} s (x)$ 逐项求导得 $(x^{2} s (x))^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{x ^{n + 1}}{n + 1})^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n} = \frac{x}{1 - x}$ ，再从 $0$ 到 $x$ 积分得 $\int_{0}^{x} (x^{2} s (x))^{'} = x^{2} s (x) = \int_{0}^{x} \frac{x}{1 - x} d x = - x - ln (1 - x)$ ，当 $x \neq = 0$ 时， $s (x) = - \frac{x + l n ( 1 - x )}{x ^{2}}$ ，而当 $x = 0$ 时，代入原式得 $s (0) = \frac{1}{2}$ 。显然， $n \to \infty lim (\frac{1}{2} + \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3 ^{2} \cdot 4} + \frac{1}{3 ^{n - 1} \cdot ( n + 1 )}) = s (\frac{1}{3}) = - 3 - 9 ln \frac{2}{3}$

13、夹逼定理

$1 = n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2} + n} \leq n \to \infty lim \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2} + i} \leq n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2} + 1} = 1$

$\frac{1}{2} = n \to \infty lim \sum_{i = 0}^{n} \frac{i}{n n ^{2} + i} = n \to \infty lim \sum_{i = 0}^{n} \frac{i \cdot ( i + 1 )}{n n ^{2} + 1} \leq n \to \infty lim \sum_{i = 0}^{n} \frac{i + 1}{n n ^{2} + i} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{3} = n \to \infty lim \frac{i ^{2}}{n ^{6} + n} \leq n \to \infty lim \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{i ^{2}}{n ^{6} + in} \leq n \to \infty lim \frac{i ^{2}}{n ^{6} + n ^{2}} = \frac{1}{3}$

14、定积分法

这种题的特点是，能够提出来一个 $\frac{1}{n}$ ，剩下的部分能找出规律。通常可以化为分子分母都齐次，且分母比分子多一次的形式。

$n \to \infty lim (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n}) = n \to \infty lim \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{i}{n}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} d x = ln (1 + x) ∣_{0}^{1} = ln 2$

$n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + 1 ^{2}} + \frac{2}{n ^{2} + 2 ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n ^{2}}) = n \to \infty lim \frac{1}{n} (\frac{\frac{1}{n}}{1 + ( \frac{1}{n} ) ^{2}} + \frac{\frac{2}{n}}{1 + ( \frac{2}{n} ) ^{2}} + \dots + \frac{\frac{n}{n}}{1 + ( \frac{n}{n} ) ^{2}}) = n \to \infty lim \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{\frac{i}{n}}{1 + ( \frac{i}{n} ) ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) ∣_{0}^{1} = \frac{1}{2} ln 2$

$n \to \infty lim n (1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{2}{n}) \dots (1 + \frac{n}{n}) = n \to \infty lim e^{\frac{1}{n} [l n (1 + \frac{1}{n}) + l n (1 + \frac{2}{n}) + \dots + l n (1 + \frac{n}{n})]} = n \to \infty lim e^{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} l n (1 + \frac{i}{n})} = e^{\int_{0}^{1} l n (1 + x) d x} = \frac{4}{e}$

$n \to \infty lim \frac{l n ( n !) - n l n n}{n} = n \to \infty lim \frac{1}{n} ln (\frac{n}{n} \frac{n - 1}{n} \dots \frac{1}{n}) = n \to \infty lim \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ln (\frac{i}{n}) = \int_{0}^{1} ln x d x = - 1$

$n \to \infty lim \frac{n}{n n !} = n \to \infty lim n \frac{n ^{n}}{n !} = n \to \infty lim e^{l n (n \frac{n ^{n}}{n !})} = n \to \infty lim e^{l n (- n \frac{n !}{n ^{n}})} = n \to \infty lim \frac{1}{e ^{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} l n (\frac{i}{n})}} = \frac{1}{e ^{\int_{0}^{1} l n x d x}} = e$

$n \to \infty lim \frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} ln (1 + \frac{i}{n}) = 2 \int_{0}^{1} ln (1 + x) d x = 2 (2 ln 2 - 1)$

$n \to \infty lim \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} sin \frac{iπ}{n} = \int_{0}^{1} sin (π x) d x = - \frac{1}{π} cos (π x) ∣_{0}^{1} = \frac{2}{π}$

求 $n \to \infty lim \sum_{i = 1}^{n} \frac{n t a n \frac{i}{n}}{n ^{2} + i}$ ：注意到 $n \to \infty lim \sum_{i = 1}^{n} \frac{t a n \frac{i}{n}}{n} = n \to \infty lim \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} tan \frac{i}{n} = \int_{0}^{1} tan x d x = - \int_{0}^{1} \frac{1}{c o s x} d (cos x) = - ln (cos x) ∣_{0}^{1} = - ln (cos 1)$ ，对原式做缩放得 $\frac{n}{n + 1} \sum_{i = 1}^{n} \frac{t a n \frac{i}{n}}{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{n t a n \frac{i}{n}}{n ^{2} + n} \leq 原式 \leq \sum_{i = 1}^{n} \frac{n t a n \frac{i}{n}}{n ^{2}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{t a n \frac{i}{n}}{n}$ ，由夹逼定理得原式 $= - ln (cos 1)$

15、用导数定义求极限

导数的定义是 $f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}$ ，这种题的特点是括号内的两个式子相减巧好是分母。

$x \to + \infty lim \frac{l n ( 2 + \frac{1}{x} ) - l n ( 2 - \frac{1}{x} )}{\frac{2}{x}} = (ln x)^{'} ∣_{2} = \frac{1}{2}$

$x \to 0 lim \frac{a r c t a n ( x + 1 ) - a r c t a n 1}{2 x} = \frac{1}{2} x \to 0 lim \frac{a r c t a n ( x + 1 ) - a r c t a n 1}{x} = \frac{1}{2} (arctan x)^{'} ∣_{x = 1} = \frac{1}{4}$

设 $f (0) = 0$ ， $f^{'} (0) = 1$ ，问 $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x}$ 。解： $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = f^{'} (0) = 1$

设 $x \to a lim \frac{f ( x ) - b}{x - a} = A$ ，问 $x \to a lim \frac{s i n f ( x ) - s i n b}{x - a}$ 。解：设 $f (a) = b$ ，那么 $A = \frac{f ( x ) - b}{x - a} = \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = f^{'} (a)$ ，于是 $x \to a lim \frac{s i n f ( x ) - s i n b}{x - a} = x \to a lim \frac{s i n f ( x ) - s i n f ( a )}{x - a} = [sin f (x)]^{'} ∣_{x = a} = cos f (a) \cdot f^{'} (a) = A cos b$

16、用微分中值定理求极限

常用的是拉格朗日中值定理 $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = f^{'} (ξ)$ ，其中 $ξ \in (a, b)$ ，注意构造的函数要满足在区间 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。

求 $x \to \infty lim x^{2} (a^{\frac{1}{x}} - a^{\frac{1}{x + 1}})$ ，其中 $a > 0$ ：

构造 $f (x) = a^{x}$ ，则 $f^{'} (x) = a^{x} ln a$ ，令 $\frac{1}{x + 1} < ξ < \frac{1}{x}$ ，由于 $x \to \infty lim \frac{1}{x + 1} \to 0$ 、 $x \to \infty lim \frac{1}{x} \to 0$ ，由夹逼定理知 $ξ \to 0$ ，根据拉格朗日中值定理，有 $f (\frac{1}{x}) - f (\frac{1}{x + 1}) = f^{'} (ξ) (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1})$ ，故 $x \to \infty lim x^{2} (a^{\frac{1}{x}} - a^{\frac{1}{x + 1}}) = x \to \infty lim x^{2} [f^{'} (ξ) (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1})] = x \to \infty lim x^{2} (ln a \cdot \frac{1}{x ( x + 1 )}) = ln a x \to \infty lim \frac{x}{x + 1} = ln a$ .

求 $I = x \to 0 lim \frac{c o s ( s i n x ) - c o s ( s i n ( t a n x ))}{x ^{4}}$ ：

解法一：构造函数 $f_{1} (x) = cos x$ ，则 $f_{1}^{'} (x) = - sin x$ ，令 $ξ_{1} \in (sin x, sin (tan x))$ ，根据拉格朗日中值定理得 $I = x \to 0 lim \frac{c o s ( s i n x ) - c o s ( s i n ( t a n x ))}{x ^{4}} = x \to 0 lim \frac{( - s i n ξ _{1} ) ( s i n x - s i n ( t a n x ))}{x ^{4}}$ ，显然 $I_{1} = x \to 0 lim \frac{( - s i n ( s i n ( t a n x ))) ( s i n x - s i n ( t a n x ))}{x ^{4}} \leq I \leq x \to 0 lim \frac{( - s i n ( s i n x )) ( s i n x - s i n ( t a n x ))}{x ^{4}} = I_{2}$ ，为求出 $I_{1}$ 、 $I_{2}$ ，构造 $f_{2} (x) = sin x$ ，则 $f_{2}^{'} (x) = cos x$ ，令 $ξ_{2} \in (x, tan x)$ ，由拉格朗日中值定理以及等价无穷小代换，得 $I_{1} = I_{2} = x \to 0 lim \frac{- x c o s ξ _{2} ( x - t a n x )}{x ^{4}} = x \to 0 lim \frac{- x c o s ξ _{2} \cdot ( - \frac{1}{3} x ^{3} )}{x ^{4}} = \frac{1}{3}$ ，（因为 $tan x \sim x$ ，所以在应用了等价无穷小后， $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 是一样的），故由夹逼定理知 $I = \frac{1}{3}$

解法二：构造 $f (x) = cos (sin x)$ ，则 $f^{'} (x) = - sin (sin x) cos x$ ，原式 $I = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( t a n x )}{x ^{4}}$ ，令 $ξ \in (x, tan x)$ ，则 $ξ \to 0$ ，由拉格朗日中值定理得 $I = x \to 0 lim \frac{( - s i n ( s i n ξ ) c o s ξ ) ( x - t a n x )}{x ^{4}}$ ，显然 $I_{1} = x \to 0 lim \frac{( - s i n ( s i n x ) c o s x ) ( x - t a n x )}{x ^{4}} \leq I \leq x \to 0 lim \frac{[ - s i n ( s i n ( t a n x )) c o s ( t a n x )] ( x - t a n x )}{x ^{4}} = I_{2}$ ，其中 $I_{1} = x \to 0 lim \frac{- x c o s x ( - \frac{1}{3} x ^{3} )}{x ^{4}} = x \to 0 lim \frac{1}{3} cos x = \frac{1}{3}$ ， $I_{2} = x \to 0 lim \frac{- x c o s ( t a n x ) ( - \frac{1}{3} x ^{3} )}{x ^{4}} = x \to 0 lim \frac{1}{3} cos (tan x) = \frac{1}{3}$ ，故 $I = \frac{1}{3}$

求 $I = x \to 0 lim \frac{1 + t a n x - 1 + s i n x}{x l n ( 1 + x ) - x ^{2}}$ ：

构造 $f (x) = x$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ ，令 $min (1 + tan x, 1 + sin x) < ξ < max (1 + tan x, 1 + sin x)$ ，则 $ξ \to 1$ ，由拉格朗日中值定理得 $I = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2 ξ} [( 1 + t a n x ) - ( 1 + s i n x )]}{x l n ( 1 + x ) - x ^{2}} = \frac{1}{2} x \to 0 lim \frac{t a n x - s i n x}{x l n ( 1 + x ) - x ^{2}} = \frac{1}{2} x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} x ^{3}}{x ( l n ( 1 + x ) - x )} = 洛必达 \frac{1}{2} x \to 0 lim \frac{x}{\frac{1}{1 + x} - 1} = \frac{1}{2} x \to 0 lim \frac{x ( 1 + x )}{- x} = - \frac{1}{2}$

求 $I = x \to 0 lim \frac{l n ( c o s x )}{x ^{2}}$ ：

构造 $f (x) = ln x$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ，令 $cos x < ξ < 1$ ，则 $ξ \to 1$ ，由拉格朗日中值定理得 $I = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{ξ} ( c o s x - 1 )}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{- \frac{1}{2} x ^{2}}{x ^{2}} = - \frac{1}{2}$

求 $I = x \to a lim (\frac{s i n x}{s i n a})^{\frac{1}{x - a}}$ ，其中 $a \neq = kπ$ ：

原式可变形为 $I = x \to a lim e^{\frac{1}{x - a} l n (\frac{s i n x}{s i n a})} = e^{x \to a l i m \frac{1}{x - a} [l n (s i n x) - l n (s i n a)]}$ ，下面计算 $I_{1} = x \to a lim \frac{1}{x - a} [ln (sin x) - ln (sin a)]$ ：

构造 $f_{1} (x) = ln x$ ，则 $f_{1}^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ，令 $sin x < ξ_{1} < sin a$ ，则 $ξ \to sin a$ ，根据拉格朗日中值定理得 $I_{1} = x \to a lim \frac{1}{x - a} \frac{1}{ξ _{1}} (sin x - sin a) = x \to a lim \frac{s i n x - s i n a}{( x - a ) s i n a}$ ，再构造 $f_{2} (x) = sin x$ ，则 $f_{2}^{'} (x) = cos x$ ，令 $x < ξ_{2} < a$ ，则 $ξ_{2} \to a$ ，根据拉格朗日中值定理得 $x \to a lim \frac{s i n x - s i n a}{( x - a ) s i n a} = x \to a lim \frac{c o s ( ξ _{2} ) ( x - a )}{( x - a ) s i n a} = cot a$ ，故 $I = e^{c o t a}$ .

求 $I = x \to 0 lim \frac{x - l n ( 1 + t a n x )}{x ^{2}}$ ：

原式变形为 $I = x \to 0 lim \frac{[ x - l n ( 1 + x )] - [ l n ( 1 + t a n x ) - l n ( 1 + x )]}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{x - l n ( 1 + x )}{x ^{2}} - x \to 0 lim \frac{l n ( 1 + t a n x ) - l n ( 1 + x )}{x ^{2}}$ ，其中第一部分的极限可以直接算 $x \to 0 lim \frac{x - l n ( 1 + x )}{x ^{2}} = 洛必达 x \to 0 lim \frac{1 - \frac{1}{1 + x}}{2 x} = x \to 0 lim \frac{1}{2 ( 1 + x )} = \frac{1}{2}$ ；对于第二部分，构造 $f (x) = ln (1 + x)$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x}$ ，，令 $tan x < ξ < x$ ，则 $ξ \to 0$ ，由拉格朗日中值定理得 $x \to 0 lim \frac{\frac{1}{1 + ξ} ( t a n x - x )}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{3} x ^{3}}{x ^{2}} = 0$ ，故 $I = \frac{1}{2}$

求 $I = x \to 0 lim \frac{t a n ( t a n x ) - s i n ( s i n x )}{t a n x - s i n x}$ ：

$I = x \to 0 lim \frac{t a n ( t a n x ) - s i n ( s i n x )}{t a n x - s i n x} = x \to 0 lim \frac{t a n ( t a n x ) - t a n x - ( s i n ( s i n x ) - s i n x ) + t a n x - s i n x}{t a n x - s i n x} = x \to 0 lim \frac{t a n ( t a n x ) - t a n x}{t a n x - s i n x} - x \to 0 lim \frac{s i n ( s i n x ) - s i n x}{t a n x - s i n x} + 1$

分别构造 $f_{1} (x) = tan x$ 、 $f_{2} (x) = sin x$ ，则 $f_{1}^{'} (x) = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ 、 $f_{2}^{'} = cos x$ ，令 $ξ_{1} \in (tan x, x) \to 0$ 、 $ξ_{2} \in (sin x, x) \to 0$ ，则

$I = x \to 0 lim \frac{1}{c o s ^{2} ξ _{1}} \frac{t a n x - x}{t a n x - s i n x} - x \to 0 lim cos ξ_{2} \frac{s i n x - x}{t a n x - s i n x} + 1 = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{3} x ^{3}}{\frac{1}{2} x ^{3}} - x \to 0 lim \frac{- \frac{1}{6} x ^{3}}{\frac{1}{2} x ^{3}} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2$

求 $I = x \to 0 lim \frac{1 + x - 1 - x}{3 1 + x - 3 1 - x}$ ：

构造 $f_{1} (x) = 1 + x$ ，则 $f_{1}^{'} (x) = \frac{1}{2 1 + x}$ ，令 $ξ_{1} \in (x, - x)$ ，则 $ξ_{1} \to 0$ ，再构造 $f_{2} (x) = 3 1 + x$ ，则 $f_{2}^{'} (x) = \frac{1}{3 3 ( 1 + x ) ^{2}}$ ，令 $ξ_{2} \in (x, - x)$ ，则 $ξ_{2} \to 0$ ，使用两次拉格朗日定理得 $I = x \to 0 lim \frac{\frac{2 x}{2 ( 1 + x ) ^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 x}{3 ( 1 + x ) ^{\frac{2}{3}}}} = \frac{3}{2}$ （也可以用一次柯西中值定理得出）.

17、用积分中值定理求极限

求 $n \to \infty lim \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x$ ：令 $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ 、 $g (x) = x^{n}$ ，显然 $g (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续且不变号，由积分平均值定理知，存在 $ξ \in (0, 1)$ 使得 $\int_{0}^{1} f (x) g (x) d x = f (ξ) \int_{0}^{1} g (x) d x$ ，于是有 $0 \leq \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x = \frac{1}{1 + ξ} \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{( n + 1 ) ( 1 + ξ )} \leq \frac{1}{n + 1} \to 0$ ，因此 $n \to \infty lim \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x = 0$

求 $n \to \infty lim \int_{n}^{n + p} \frac{s i n x}{x} d x$ ，其中 $p > 0$ ： $n \to \infty lim \int_{n}^{n + p} \frac{s i n x}{x} d x = n \to \infty lim \frac{s i n ξ}{ξ} (n + p - n) = 0$ ，其中 $ξ \in [n, n + p]$

例题：求积分方法总结

不定积分积完不要忘记加常数 $C$ .

1、第一类换元积分法——凑微分：配项然后裂项是很常见的一个技巧；假分式可以用长除法分解成若干项；真分式可以用部分分式法进行裂项。

（1）直接凑微分

$\int \frac{1}{9 - x ^{2}} d x = \int \frac{1}{9 [ 1 - ( \frac{x}{3} ) ^{2} ]} d x = \int \frac{1}{1 - ( \frac{x}{3} ) ^{2}} d (\frac{x}{3}) = arcsin \frac{x}{3} + C$

$\int \frac{1}{x ( 1 + x ^{4} )} d x = \int \frac{x ^{3}}{x ^{4} ( 1 + x ^{4} )} d x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x ^{4} ( 1 + x ^{4} )} d (x^{4}) = \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x ^{4}} - \frac{1}{1 + x ^{4}}) d (x^{4}) = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{4} ln ∣1 + x^{4} ∣ + C$

$I = \int \frac{t a n x}{c o s ^{2} x ( t a n ^{2} x + 2 )} d x = \int \frac{t a n x}{t a n ^{2} x + 2} d (tan x) = t a n x = t \int \frac{t}{t ^{2} + 2} d t = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t ^{2} + 2} d (t^{2} + 2) = \frac{1}{2} ln ∣ tan^{2} x + 2∣ + C$

（2）分子有理化

$\int \frac{3 - 2 x}{3 + 2 x} d x = \int \frac{3 - 2 x}{9 - 4 x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{3}{( 3 ) ^{2} + ( 2 x ) ^{2}} d (2 x) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{9 - 4 x ^{2}} d (9 - 4 x^{2}) = \frac{3}{2} arctan (\frac{2 x}{3}) + \frac{1}{2} 9 - 4^{2} + C$

（3）配项

$\int \frac{1}{e ^{x} + 1} d x = \int \frac{e ^{x} + 1 - e ^{x}}{e ^{x} + 1} d x = \int 1 d x - \int \frac{1}{e ^{x} + 1} d (e^{x} + 1) = x - ln ∣ e^{x} + 1∣ + C$

$\int \frac{1 + x}{x ( 1 + x e ^{x} )} d x = \int \frac{( 1 + x ) \cdot e ^{x}}{x ( 1 + x e ^{x} ) \cdot e ^{x}} d x = \int (e^{x} + x e^{x}) (\frac{1}{x e ^{x}} - \frac{1}{1 + x e ^{x}}) d x = \int \frac{1}{x e ^{x}} - \frac{1}{1 + x e ^{x}} d (x e^{x}) = ln ∣ \frac{x e ^{x}}{1 + x e ^{x}} ∣ + C$

（4）用长除法裂项

$\int \frac{x ^{3} + 2}{x + 2} d x = \int [(x^{2} - 2 x + 4) - \frac{6}{x + 2}] d x = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x - 6 ln ∣ x + 2∣ + C$

（5）用部分分式法裂项：通常和因式分解、配项一起用。

$\int \frac{x ^{4} + 1}{x ^{6} + 1} d x = \int \frac{x ^{4} + 1}{( x ^{2} + 1 ) ( x ^{4} - x ^{2} + 1 )} d x = \int \frac{( x ^{4} - x ^{2} + 1 ) + x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ( x ^{4} - x ^{2} + 1 )} d x = \int \frac{1}{x ^{2} + 1} d x + \int \frac{x ^{2}}{x ^{6} + 1} d x = \int \frac{1}{x ^{2} + 1} d x + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x ^{6} + 1} d (x^{3}) = arctan x + \frac{1}{3} arctan (x^{3})$

求 $I = \int \frac{1}{x ^{4} + 1} d x$ ：

$\frac{1}{x ^{4} + 1} = \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2} - 2 x ^{2}} = \frac{1}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) ( x ^{2} - 2 x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{C x + D}{x ^{2} - 2 x + 1}$

通分后令各项系数和原式相等，解方程得 $A = \frac{1}{2 2}$ 、 $B = \frac{1}{2}$ 、 $C = - \frac{1}{2 2}$ 、 $D = \frac{1}{2}$

$I = \int \frac{1}{x ^{4} + 1} = \int \frac{1}{2 2} \cdot \frac{x + 2}{x ^{2} + 2 x + 1} - \frac{1}{2 2} \cdot \frac{x - 2}{x ^{2} - 2 x + 1} d x = \frac{1}{2 2} \int \frac{x + 2}{x ^{2} + 2 x + 1} d x - \frac{1}{2 2} \int \frac{x - 2}{x ^{2} - 2 x + 1} d x = \frac{1}{2 2} (I_{1} - I_{2})$

$I_{1} = \int \frac{x + 2}{x ^{2} + 2 x + 1} d x = \frac{1}{2} \int (\frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{2}{x ^{2} + 2 x + 1}) d x = \frac{1}{2} ln ∣ x^{2} + 2 x + 1∣ + \frac{2}{2} \int \frac{1}{( x + \frac{2}{2} ) ^{2} + ( \frac{1}{2} ) ^{2}} d (x + \frac{2}{2}) = \frac{1}{2} ln ∣ x^{2} + 2 x + 1∣ + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} arctan (\frac{( x + \frac{2}{2} )}{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{2} ln ∣ x^{2} + 2 x + 1∣ + arctan (2 x + 1) + C_{1}$

$I_{2} = \int \frac{x - 2}{x ^{2} - 2 x + 1} d x = \frac{1}{2} \int (\frac{2 x - 2}{x ^{2} - 2 x + 1} - \frac{2}{x ^{2} - 2 x + 1}) d x = \frac{1}{2} ln ∣ x^{2} - 2 x + 1∣ - \frac{2}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{2}{2} ) ^{2} + ( \frac{1}{2} ) ^{2}} d (x - \frac{2}{2}) = \frac{1}{2} ln ∣ x^{2} - 2 x + 1∣ - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} arctan (\frac{x - \frac{2}{2}}{\frac{1}{2}}) + C_{2} = \frac{1}{2} ln ∣ x^{2} - 2 x + 1∣ - arctan (2 x - 1)$

故 $I = \frac{1}{2 2} (I_{1} - I_{2}) = \frac{1}{4 2} ln ∣ \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 2 x + 1} ∣ + \frac{1}{2 2} [arctan (2 x + 1) + arctan (2 x - 1)] + C$

求 $I = \int \frac{1}{x ^{5} + 1} d x$ ：

$I = \int \frac{1}{x ^{5} + 1} d x = \int \frac{1}{( x + 1 ) ( x ^{4} - x ^{3} + x ^{2} - x + 1 )} d x = \int \frac{4}{4 ( x + 1 ) ( x ^{4} - x ^{3} + x ^{2} - x + 1 )} d x$

设 $4 (x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1) = (2 x^{2} + a x + 2) (2 x^{2} + b x + 2) = 4 x^{4} + (2 a + 2 b) x^{3} + (8 + ab) x^{2} + (2 a + 2 b) x + 4$ ，令各项系数相等，解得 $a = 5 - 1$ 、 $b = - 5 - 1$ ，

设 $f (x) = \frac{4}{4 ( x + 1 ) ( 2 x ^{2} + ( 5 - 1 ) x + 2 ) ( 2 x ^{2} - ( 5 + 1 ) x + 2 )} = \frac{A x + B}{2 x ^{2} + ( 5 - 1 ) x + 2} + \frac{C x + D}{2 x ^{2} - ( 5 + 1 ) x + 2} + \frac{E}{x + 1}$ ，则

$E = x + 1 \to 0 lim (x + 1) f (x) = \frac{1}{5}$

$A x + B = 2 x^{2} + (5 - 1) x + 2 \to 0 lim [2 x^{2} + (5 - 1) x + 2] f (x) = 2 x^{2} + (5 - 1) x + 2 \to 0 lim \frac{4}{( x + 1 ) [ 2 x ^{2} - ( 5 + 1 ) x + 2 ]} = \frac{4}{( x + 1 ) [ - ( 5 - 1 ) x - 2 - ( 5 + 1 ) x + 2 ]} = \frac{4}{- 5 ( 2 x ^{2} + 2 x )} = \frac{4}{- 5 ( - ( 5 - 1 ) x - 2 + 2 x )} = \frac{- 4}{5 ( 3 - 5 ) x - 2} = \frac{- 4 ( 3 + 5 )}{5 ( 3 - 5 ) ( 3 + 5 ) [ x - \frac{2 ( 3 + 5 )}{( 3 + 5 ) ( 3 - 5 )} ]} = \frac{- 4 ( 3 + 5 )}{4 5 [ x - \frac{2 ( 3 + 5 )}{4} ]} = \frac{- 2 ( 3 + 5 ) ( x + H )}{5 [( 2 x - ( 3 + 5 )] ( x + H )}$

故 $[2 x - (3 + 5)] (x + H) = 2 x^{2} + (2 H - 3 - 5) x - (3 + 5) H$ 等于 $2 x^{2} + (5 - 1) x + 2$ ，令各项系数相等，解得 $H = 5 + 1$ ，故

$A x + B = \frac{- 2 ( 3 + 5 ) ( x + 5 + 1 )}{5 [ 2 x ^{2} + ( 5 - 1 ) x - ( 3 + 5 ) ( 5 + 1 )]} = \frac{- 2 ( 3 + 5 ) ( x + 5 + 1 )}{5 [ - ( 5 - 1 ) x - 2 + ( 5 - 1 ) x - 3 5 - 3 - 5 - 5 ]} = \frac{( 3 + 5 ) ( x + 5 + 1 ) ( 5 - 2 )}{5 ( 5 + 2 ) ( 5 - 2 )} = \frac{( 5 - 1 ) x + 4}{5}$

同理可得 $C x + D = \frac{2 ( 3 - 5 ) ( x - 5 + 1 )}{5 [ 2 x ^{2} - ( 5 - 1 ) x + ( 5 - 3 ) ( 1 + 5 )]} = - \frac{( 5 + 1 ) x - 4}{5}$

$I = \int \frac{1}{x ^{5} + 1} d x = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{( 5 - 1 ) x + 4}{5 [ 2 x ^{2} + ( 5 - 1 ) x + 2 ]} d x - \int \frac{( 5 + 1 ) x - 4}{5 ( 2 x ^{2} - ( 5 + 1 ) x + 2 )} d x = \frac{l n ∣ x + 1∣}{5} + \int \frac{( 5 - 1 ) ( 4 x + 5 - 1 ) - ( 5 - 1 ) ^{2} + 16}{20 [ 2 x ^{2} + ( 5 - 1 ) x + 2 ]} d x - \int \frac{( 5 + 1 ) ( 4 x - 1 - 5 ) + ( 1 + 5 ) ^{2} - 16}{20 [ 2 x ^{2} - ( 5 + 1 ) x + 2 ]} d x = \frac{l n ∣ x + 1∣}{5} + \int \frac{( 5 - 1 ) d [ 2 x ^{2} + ( 5 - 1 ) x + 2 ]}{20 [ 2 x ^{2} + ( 5 - 1 ) x + 2 ]} + \frac{10 + 2 5}{20} \int \frac{8}{16 x ^{2} + 8 ( 5 - 1 ) x + 16} d x - \int \frac{( 5 + 1 ) d [ 2 x ^{2} - ( 5 + 1 ) x + 2 ]}{20 [ 2 x ^{2} - ( 5 + 1 ) x + 2 ]} + \frac{10 - 2 5}{20} \int \frac{8}{16 x ^{2} - 8 ( 5 + 1 ) x + 16} d x = \frac{l n ∣ x + 1∣}{5} + \frac{( 5 - 1 ) l n ∣2 x ^{2} + ( 5 - 1 ) x + 2∣}{20} - \frac{( 5 + 1 ) l n ∣2 x ^{2} - ( 5 + 1 ) x + 2∣}{20} + \frac{10 + 2 5}{20} \int \frac{2 d ( 4 x + 5 - 1 )}{( 4 x + 5 - 1 ) ^{2} + 16 - ( 5 - 1 ) ^{2}} + \frac{10 - 2 5}{20} \int \frac{2 d ( 4 x - 5 - 1 )}{( 4 x - 5 - 1 ) ^{2} + 16 - ( 5 + 1 ) ^{2}} = \frac{l n ∣ x + 1∣}{5} + \frac{1}{20} ln ∣ \frac{[ 2 x ^{2} + ( 5 - 1 ) x + 2 ] ^{5 - 1}}{[ 2 x ^{2} - ( 5 + 1 ) x + 2 ] ^{5 + 1}} ∣ + \frac{1}{10} [10 + 25 arctan (\frac{4 x + 5 - 1}{10 + 2 5}) + 10 - 25 arctan (\frac{4 x - 5 - 1}{10 - 2 5})] + C$

（6） $\int \frac{A s i n x + B c o s x}{C s i n x + D c o s x}$ 型，令 $A sin x + B cos x = a (C sin x + D cos x) + b (C sin x + D cos x)^{'}$ ，解出 $a$ 和 $b$ ，回代后原式可化简为 $a x + b \int \frac{d ( C s i n x + D c o s x )}{C s i n x + D c o s x}$ .

求 $I = \int \frac{s i n x}{s i n x + c o s x} d x$ ：

可以令 $sin x = a (sin x + cos x) + b (sin x + cos x)^{'} = a sin x + a cos x + b cos x - b sin x$ ，解出 $a = \frac{1}{2}$ 、 $b = - \frac{1}{2}$ ，故 $I = \int \frac{s i n x}{s i n x + c o s x} d x = a x + b \int \frac{d ( s i n x + c o s x )}{s i n x + c o s x} = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \int \frac{d ( s i n x + c o s x )}{s i n x + c o s x} = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} ln ∣ sin x + cos x ∣ + C$

其实如果把 $sin x = \frac{1}{2} (sin x + cos x) - \frac{1}{2} (sin x + cos x)^{'}$ 代回原来的式子，会发现和上式是一样的。

（7）对于分母是偶数次幂（比如2、4等），有时可以试出来。

求 $I = \int \frac{x + s i n x c o s x}{( x s i n x + c o s x ) ^{2}} d x$ ：

考虑函数 $\frac{y}{x s i n x + c o s x}$ ，求导为 $\frac{y ^{'} \cdot ( x s i n x + c o s x ) - y ( x c o s x )}{( x s i n x + c o s x ) ^{2}}$ ，与原式对比，有 $y cos x = sin x cos x$ ，故可令 $y = - cos x$ ，代入发现 $(\frac{- c o s x}{x s i n x + c o s x})^{'}$ 刚好就是原式的被积函数，因此可以写成如下过程：

$I = \int \frac{x + s i n x c o s x}{( x s i n x + c o s x ) ^{2}} d x = \int \frac{x + s i n x c o s x}{c o s ^{2} x ( x t a n x + 1 ) ^{2}} d x = \int \frac{x s e c ^{2} x + t a n x}{( x t a n x + 1 ) ^{2}} d x = \int \frac{1}{( x t a n x + 1 ) ^{2}} d (x tan x + 1) = - \frac{1}{x t a n x + 1} + C$

2、第二类换元积分法

（1）整体代换：通常用于替换整个根式。

$\int \frac{s i n x}{x} d x = x = t \int \frac{s i n t}{t} \cdot 2 t d t = \int 2 sin t d t = - 2 cos t + C = - 2 cos x + C$

$\int \frac{1 + x}{x ( 1 + x e ^{x} )} d x = x e^{x} = t \int \frac{1}{t ( 1 + t )} d t = \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{1 + t}) d t = ln ∣ \frac{t}{1 + t} ∣ + C = ln ∣ \frac{x e ^{x}}{1 + x e ^{x}} ∣ + C$

求 $I = \int \frac{1}{x ( 1 + 3 x )} d x$ ：

取 $x$ 和 $3 x$ 幂数的最小公倍数 $6$ ，令 $x = t^{6}$ ，则 $I = \int \frac{1}{x ( 1 + 3 x )} d x = \int \frac{1}{t ^{3} ( 1 + t ^{2} )} \cdot 6 t^{5} d t = 6 \int \frac{t ^{2} + 1 - 1}{1 + t ^{2}} d t = 6 \int 1 d t - 6 \int \frac{1}{1 + t ^{2}} d t = 6 6 x + 6 arctan (6 x) + C$

求 $I = \int \frac{1}{3 x + 1 3 ( x - 1 ) ^{4}} d x$ ：

$I = \int \frac{1}{3 x + 1 3 ( x - 1 ) ^{4}} d x = \int \frac{1}{( x + 1 ) ( x - 1 )} \frac{( x + 1 ) ^{\frac{1}{3}}}{( x - 1 ) ^{\frac{1}{3}}} d x$ ，令 $3 \frac{x + 1}{x - 1} = t$ ，则 $x = \frac{t ^{3} + 1}{t ^{3} - 1}$ ， $I = \int \frac{1}{\frac{2 t ^{2}}{t ^{3} - 1} \cdot \frac{2}{t ^{3} - 1}} \cdot \frac{3 t ^{2} ( t ^{3} - 1 ) - 3 t ^{2} ( t ^{3} + 1 )}{( t ^{3} - 1 ) ^{2}} d t = \int \frac{- 6 t ^{2}}{4 t ^{2}} d t = - \frac{3}{2} t + C$

求 $I = \int \frac{2 ^{x} 3 ^{x}}{9 ^{x} + 4 ^{x}} d x$ ：

$I = \int \frac{2 ^{x} 3 ^{x}}{9 ^{x} + 4 ^{x}} d x = \int \frac{2 ^{x} 3 ^{x}}{3 ^{2 x} + 2 ^{2 x}} = \int \frac{( \frac{3}{2} ) ^{x}}{( \frac{3}{2} ) ^{2 x} + 1} d x$ ，令 $(\frac{3}{2})^{x} = t$ ，则 $x = lo g_{\frac{3}{2}} t = \frac{l n t}{l n \frac{3}{2}} = \frac{l n t}{l n 3 - l n 2}$ ，故原式 $I = \int \frac{t}{t ^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t} \frac{1}{l n 3 - l n 2} d t = arctan t \cdot \frac{1}{l n 3 - l n 2} + C = arctan (\frac{3}{2})^{x} \frac{1}{l n 3 - l n 2} + C$

（2）倒代换：在分母次幂明显高于分子次幂时可以考虑令 $x = \frac{1}{t}$ .

$\int \frac{1}{x ^{100} + x} d x = x = \frac{1}{t} \int \frac{1}{\frac{1}{t ^{100}} + \frac{1}{t}} \cdot (- \frac{1}{t ^{2}}) d t = - \int \frac{t ^{98}}{1 + t ^{99}} d t = - \frac{1}{99} \cdot \int \frac{1}{1 + t ^{99}} d (t^{99} + 1) = - \frac{1}{99} ln ∣ t^{99} + 1∣ + C = - \frac{1}{99} ln ∣ \frac{1}{x ^{99}} + 1∣$

$\int \frac{1}{x 1 + x ^{4}} d x = x = \frac{1}{t} \int \frac{1}{\frac{1}{t} 1 + \frac{1}{t ^{4}}} \cdot (- \frac{1}{t ^{2}}) d t = - \int \frac{t}{t ^{4} + 1} d t = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{( t ^{2} ) ^{2} + 1} d (t^{2}) = - \frac{1}{2} ln ∣ t + 1 + t^{4} ∣ + C = - \frac{1}{2} ln ∣ \frac{1}{x ^{2}} + \frac{x ^{4} + 1}{x ^{2}} ∣ + C$

（3）欧拉代换：主要用来处理类似 $a^{2} x + b x + c$ 形式的根式，用来消去 $a x^{2}$ 或 $c$ 或根号内方程的一个实根。

求 $I = \int \frac{1}{x ^{2} - 4 x + 3} d x$ ：

这里三种代换的条件都满足，这里用欧拉第一代换，令 $x^{2} - 4 x + 3 = t - x$ ，则 $x = \frac{t ^{2} - 3}{2 t - 4}$ ，原式 $I = \int \frac{1}{\frac{t ^{2} - 4 t + 3}{2 t - 4}} \cdot \frac{2 ( t ^{2} - 4 t + 3 )}{( 2 t - 4 ) ^{2}} d t = \int \frac{1}{t - 2} d t = ln ∣ t - 2∣ + C = ln ∣ x^{2} - 4 x + 3 + x - 2∣ + C$

求 $I = \int \frac{1}{x + x ^{2} - x + 1} d x$ ：

令 $x^{2} - x + 1 = t - x$ ，则 $x = \frac{t ^{2} - 1}{2 t - 1}$ ， $d x = \frac{2 ( t ^{2} - t + 1 )}{( 2 t - 1 ) ^{2}}$ ，

$I = \int \frac{1}{x + x ^{2} - x + 1} d x = \int \frac{2 t ^{2} - 2 t + 2}{t ( 2 t - 1 ) ^{2}} d t = 部分分式法 \int (\frac{2}{t} - \frac{3}{2 t - 1} + \frac{3}{( 2 t - 1 ) ^{2}}) d t = 2 ln ∣ t ∣ - \frac{3}{2} \frac{1}{2 t - 1} - \frac{3}{2} ln ∣2 t - 1∣ + C = 2 ln ∣ x + x^{2} - x + 1 ∣ - \frac{3}{2} \frac{1}{2 x + 2 x ^{2} - x + 1 - 1} - \frac{3}{2} ln ∣2 x + 2 x^{2} - x + 1 - 1∣ + C$

求 $I = \int \frac{1}{( x ^{2} + a ^{2} ) a ^{2} - x ^{2}} d x$ ：

由于根号内的表达式的根是实数，这里使用欧拉第三代换，令 $a^{2} - x^{2} = t (a - x)$ ，这里 $- a < x < a$ ，且 $t > 0$ ，则 $x = a \frac{t ^{2} - 1}{t ^{2} + 1}$ 、 $d x = \frac{4 a t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}} d t$ 、 $a^{2} - x^{2} = \frac{2 a t}{t ^{2} + 1}$ 、 $x^{2} + a^{2} = \frac{2 a ^{2} ( t ^{4} + 1 )}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$ ，

$I = \int \frac{1}{( x ^{2} + a ^{2} ) a ^{2} - x ^{2}} d x = \frac{1}{2 a ^{2}} \int \frac{2 t ^{2} + 2}{t ^{4} + 1} d t = \frac{1}{2 a ^{2}} \int (\frac{1}{t ^{2} + t 2 + 1} + \frac{1}{t ^{2} - t 2 + 1}) d t = \frac{1}{a ^{2} 2} [arctan (t 2 + 1) + arctan (t 2 - 1)] + C_{1} = \frac{1}{a ^{2} 2} arctan \frac{x 2}{a ^{2} - x ^{2}} + C_{2}$

其中最后一步用了 $arctan \frac{1}{a} = - arctan (a) \pm \frac{π}{2}$ 化简。

（4）三角函数代换：用来处理形如 $a^{2} - x^{2}$ 、 $a^{2} + x^{2}$ 、 $x^{2} - a^{2}$ 等情况，用于消去根号。有时平方也可以这样换。

$\int \frac{1}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}} d x = \int \frac{1}{(( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4} ) ^{2}} d (x + \frac{1}{2}) = x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} t a n t \int \frac{1}{( \frac{3}{4} s e c ^{2} t ) ^{2}} \cdot \frac{3}{2} sec^{2} t d t = \frac{8 3}{9} \int cos^{2} t d t = \frac{8 3}{9} \int \frac{1 + c o s ( 2 t )}{2} d t = \frac{4 3}{9} (t + \frac{1}{2} sin (2 t)) + C = \frac{4 3}{9} [arctan \frac{2 x + 1}{3} + \frac{( 2 x + 1 ) 3}{4 ( x ^{2} + x + 1 )}] + C$

求 $I = \int \frac{x}{( 4 x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{2}} d x$ ：

$I = \int \frac{x}{( 4 x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{2}} d x = \frac{1}{8} \int \frac{8 x - 4 + 4}{( 4 x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{2}} d x = \frac{1}{8} \int \frac{1}{( 4 x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{2}} d (4 x^{2} - 4 x + 5) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{[( 2 x - 1 ) ^{2} + 2 ^{2} ] ^{2}} d x = \frac{1}{8} I_{1} + \frac{1}{2} I_{2}$

$I_{2} = \int \frac{1}{[( 2 x - 1 ) ^{2} + 2 ^{2} ] ^{2}} d x = 2 x - 1 = 2 t a n t \int \frac{s e c ^{2} t}{16 s e c ^{4} t} d t = \frac{1}{16} \int cos^{2} t d t = \frac{1}{32} \int (1 + cos (2 t)) d t = \frac{1}{32} t + \frac{1}{64} sin (2 t) = \frac{1}{32} arctan (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{32} \frac{x - \frac{1}{2}}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + 1} \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + 1} + C_{2} = \frac{1}{32} arctan (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{32} \frac{x - \frac{1}{2}}{x ^{2} - x + \frac{x}{4}} + C_{2}$

故 $I = - \frac{1}{8} \frac{1}{( 4 x ^{2} - 4 x + 5 )} + \frac{1}{64} arctan (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{32} \frac{2 x - 1}{4 x ^{2} - 4 x + 5} = \frac{2 x - 5}{32 ( 4 x ^{2} - 4 x + 5 )} + \frac{1}{64} arctan (x - \frac{1}{2}) + C$

（5）双曲函数代换

$\int \frac{1}{x ^{2} + 1} d x = x = c o s h (t) \int \frac{s i n h ( t )}{c o s h ^{2} t - 1} d t = a rcos h (x) + C$

（6）区间再现

求 $I = \int_{0}^{π} x sin^{9} x d x$ ：

为消去 $x$ ，使用区间再现公式，令 $x = π - t$ ，则 $I = \int_{0}^{π} x sin^{9} x d x = \int_{π}^{0} (π - t) sin^{9} t \cdot d (- t) = \int_{0}^{π} π sin^{9} t d t - \int_{0}^{π} t sin^{9} t d t$

出现了原来的积分，因此

$I = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} sin^{9} t d t = \frac{π}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{9} t d t + \int_{\frac{π}{2}}^{π} sin^{9} t d t) = \frac{π}{2} [\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{9} t d t + \int_{\frac{π}{2}}^{0} sin^{9} (π - t) (- d t)] = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{9} t d t = π \times \frac{8}{9} \times \frac{6}{7} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{128 π}{315}$

3、分部积分法

口诀是“反对幂指三”，当然，其他情况也可以用分部积分。如果出现重复项的化，可以移项，然后通过解方程解出积分的值。

求 $I = \int x^{2} e^{x} d x$ ：

根据口诀“反对幂指三”，优先尝试把指数 $e^{x}$ 放进 $d$ 后面， $I = \int x^{2} e^{x} d x = \int x^{2} d (e^{x}) = x^{2} e^{x} - \int 2 x e^{x} d x = x e^{x} - 2 x e^{x} + \int 2 \cdot e^{x} d x = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$

$\int ln x d x = \int 1 \cdot ln x d x = x ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x = x ln x - x + C$

$\int x cos x d x = \int x d (sin x) = x sin x - \int (sin x) d x = x sin x + cos x + C$

求 $I = \int e^{x} cos x d x$ ：

$I = \int e^{x} cos x d x = e^{x} sin x - \int e^{x} sin x d x = e^{x} sin x + e^{x} cos x - \int e^{x} cos x d x = e^{x} sin x + e^{x} cos x - I$

故 $2 I = e^{x} sin x + e^{x} cos x \Rightarrow I = \frac{e ^{x}}{2} (sin x + cos x) + C$

求 $I = \int \frac{x e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}} d x$ ：

由于分母有平方，可以试着用分式求导公式计算：由于 $d (\frac{1}{1 + e ^{x}}) = - \frac{e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}} d x$ ，故 $I = - \int x d (\frac{1}{1 + e ^{x}}) = - [\frac{x}{1 + e ^{x}} - \int \frac{1}{1 + e ^{x}} d x] = - \frac{x}{1 + e ^{x}} + \int \frac{1 + e ^{x} - e ^{x}}{1 + e ^{x}} d x = - \frac{x}{1 + e ^{x}} + x - ln ∣1 + e^{x} ∣ + C$

求 $I = \int \frac{x ^{2}}{a ^{2} + x ^{2}} d x$ ：

$I = \int \frac{x ^{2}}{a ^{2} + x ^{2}} d x = \int \frac{a ^{2} + x ^{2} - a ^{2}}{a ^{2} + x ^{2}} d x = \int a^{2} + x^{2} d x - a^{2} \int \frac{1}{a ^{2} + x ^{2}} d x = I_{1} + I_{2}$ ，积分分成两部分

其中 $I_{1} = \int a^{2} + x^{2} d x = x a^{2} + x^{2} - \int \frac{x}{2 a ^{2} + x ^{2}} \cdot 2 x d t = x a^{2} + x^{2} - \int \frac{x ^{2}}{a ^{2} + x ^{2}} d x = x a^{2} + x^{2} - I + C_{1}$

其中 $I_{2} = a^{2} \int \frac{1}{a ^{2} + x ^{2}} d x = a^{2} ln ∣ x + a^{2} + x^{2} ∣ + C_{2}$

故 $I = x a^{2} + x^{2} - I - a^{2} ln ∣ x + a^{2} + x^{2} ∣ \Rightarrow I = \frac{x}{2} a^{2} + x^{2} - \frac{a ^{2}}{2} ln ∣ x + a^{2} + x^{2} ∣ + C$

4、利用函数周期性、奇偶性

奇函数 $f_{odd} (- x) = - f_{odd} (x)$ ，此时 $\int_{- a}^{a} f_{odd} (x) d x = 0$ ；
偶函数 $f_{even} (- x) = f_{even} (x)$ ，此时 $\int_{- a}^{a} f_{even} (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f_{even} (x) d x$ ；
周期为 $T$ 的函数 $\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x$ ；
以上结合区间再现，会得到一些推论。

求 $\int_{0}^{\frac{π}{n}} cos (n x) d x$ ：

$cos (n x)$ 的半周期为 $π$ ，由于 $\int_{0}^{π} cos (x) d x = 0$ ，即余弦函数在其半周期上的积分等于零，故 $\int_{0}^{\frac{π}{n}} cos (n x) d x = 0$ .

求 $I = \int_{0}^{π} \frac{x s i n x}{c o s ^{2} x + 1} d x$ ：

由于 $\int_{0}^{π} x f (sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (sin x) d x$ ，故

$I = \int_{0}^{π} \frac{x s i n x}{c o s ^{2} x + 1} d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} \frac{s i n x}{c o s ^{2} x + 1} d x = - \frac{π}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{1 + c o s ^{2} x} d (cos x) = - \frac{π}{2} arctan (cos x) ∣_{0}^{π} = - \frac{π}{2} (- \frac{π}{4} - \frac{π}{4}) = \frac{π ^{2}}{4}$

求 $I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 p i}{4}} sin^{4} x d x$ ：

由于 $\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x$ ，再根据华理士(Wallis)公式，有

$I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 p i}{4}} sin^{4} x d x = \int_{0}^{π} sin^{4} x d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{4} x d x = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{p i}{2} = \frac{3}{8} π$

求 $\int_{0}^{π} x sin^{2} x - sin^{4} x d x$ ：

由于 $\int_{0}^{π} x f (sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (sin x) d x$ ，以及 $\int_{0}^{π} f (sin x) d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (sin x) d x$ ，故

$\int_{0}^{π} x sin^{2} x - sin^{4} x d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} sin^{2} x - sin^{4} x d x = 2 \cdot \frac{π}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} x - sin^{4} x d x = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x cos x d x = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d (sin x) = \frac{π}{2} sin^{2} x ∣_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{2}$

求 $I = \int_{- 1}^{4} x ∣ x ∣ d x$ ：

由于 $(- x) ∣ (- x) ∣ = - x ∣ x ∣$ 是奇函数，故 $I = \int_{1}^{4} x ∣ x ∣ d x = \int_{1}^{4} x x d x = \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} ∣_{1}^{4} = \frac{2}{5} (32 - 1) = \frac{62}{5}$

求 $\int_{- 1}^{1} ∣ x ∣ ln (x + 1 + x^{2})$ ：

由于周期是对称的，考虑能否用奇偶性，因为 $ln (1 + x^{2} + x) + ln (1 + x^{2} - x) = ln (1 + x^{2} - x^{2}) = ln 1 = 0$ ，所以被积函数是奇函数，故积分为零，即 $\int_{- 1}^{1} ∣ x ∣ ln (x + 1 + x^{2}) = 0$

求 $I = \int_{- 2}^{2} (x^{3} cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) 4 - x^{2} d x$ ：

由于 $(- x)^{3} cos \frac{- x}{2} 4 - (- x)^{2} = - x^{3} cos \frac{x}{2} 4 - x^{2} = - I$ 是奇函数，且积分区域对称，故此项积分为0；

由于 $\frac{1}{2} 4 - (- x)^{2} = \frac{1}{2} 4 - x^{2}$ 是偶函数，故 $\int_{- 2}^{2} \frac{1}{2} 4 - x^{2} d x = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int_{0}^{2} 4 - x^{2}$ ；

$I = \int_{0}^{2} 4 - x^{2} d x = x = 2 s i n t \int_{0}^{\frac{π}{2}} 4 - (4 sin t)^{2} \cdot 2 cos t d t = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2} t d t = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{c o s ( 2 t ) + 1}{2} d t = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} cos (2 t) d (2 t) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 d t) = 2 (\frac{1}{2} sin 2 t ∣_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{π}{2}) = π$

其实 $\int_{0}^{2} 4 - x^{2} d x$ 恰好就是半径为2的、圆心在原点的圆在第一象限的面积，可以不用换元直接计算。

5、三角函数恒等变换

凑微分常见的技巧有：
- 令 $1 = [sin^{2} (k x) + cos^{2} (k x)]^{n}$ ；
- 用倍角公式或半角公式升幂或降幂；
- 使用和差化积、积化和差公式；
- 碰到反三角就直接换元，注意回代时要画出三角形才能化简；
- 如果分母有 $sin x \pm cos x$ ，考虑分子分母同乘以 $sin x \mp cos x$ ，然后分母变成 $cos 2 x$ ；
同理，其他情况下也可以尝试用平方差公式让分母升幂，比如分母是 $1 \pm sin x cos x$ ，可以分子分母同乘以 $1 \mp sin x cos x$ ，变成 $1 - sin^{2} x cos^{2} x$ ，然后把 $1$ 变成 $sin^{2} x + cos^{2} x$ ，再分子分母同除以 $sin^{2} x$ ，变成关于 $tan x$ 的函数。
没有思路时可以尝试用万能公式，令 $t = tan \frac{x}{2}$ ，则 $sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ 、 $cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ 、 $d x = \frac{2}{1 + t ^{2}}$ ；
如果万能公式也不能用，①若被积函数是关于 $cos x$ 的奇函数，则令 $t = sin x$ ；②若被积函数是关于 $sin x$ 的奇函数，则令 $t = cos x$ ；③若被积函数关于 $sin x$ 、 $cos x$ 都是偶函数，令 $t = tan x$ ，则 $sin x = \frac{t a n x}{1 + t a n ^{2} x}$ 、 $cos x = \frac{1}{1 + t a n ^{2} x}$ ；

$\int cos x sin^{2} x d x = \int sin^{2} x d (sin x) = \frac{1}{3} sin^{3} x + C$

$\int cos^{3} x d x = \int cos x cos^{2} x d x = \int cos x (1 - sin^{2} x) d x = \int (cos x - cos x sin^{2} x) d x = sin x - \frac{1}{3} sin^{3} x + C$

$\int cos^{4} x d x = \int (cos^{2} x)^{2} d x = \int (\frac{c o s ( 2 x ) + 1}{2})^{2} = \int [\frac{1}{8} cos (4 x) + \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{3}{8}] d x = \frac{1}{32} sin (4 x) + \frac{1}{4} sin (2 x) + \frac{3}{8} x + C$

$\int \frac{1}{s i n ^{2} x c o s ^{2} x} d x = \int \frac{1}{s i n ^{2} x} + \frac{1}{c o s ^{2} x} d x = - cot x + tan x + C$

$\int sin^{2} x cos^{4} x d x = \int sin^{2} x cos^{2} x \cdot (\frac{1 + c o s ( 2 x )}{2}) d x = \frac{1}{8} \int sin^{2} (2 x) d (x) + \frac{1}{16} \int sin^{2} (2 x) cos (2 x) d (2 x) = \frac{1}{8} \int (\frac{1 - c o s ( 4 x )}{2}) d x + \frac{1}{16} sin^{2} (2 x) d [sin (2 x)] = \frac{1}{16} x - \frac{1}{64} sin (4 x) + \frac{1}{48} sin^{3} (2 x) + C$

求 $I = \int \frac{1}{s i n ^{4} x + c o s ^{4} x} d x$ ：

$I = \int \frac{1}{s i n ^{4} x + c o s ^{4} x} d x = \frac{1}{( \frac{1 - c o s ( 2 x )}{2} ) ^{2} + ( \frac{1 + c o s ( 2 x )}{2} ) ^{2}} d x = 4 \int \frac{1}{2 + 2 c o s ^{2} ( 2 x )} d x = 4 \int \frac{1}{2 s i n ^{2} ( 2 x ) + 2 c o s ^{2} ( 2 x ) + 2 c o s ^{2} ( 2 x )} d x = 4 \int \frac{1}{2 c o s ^{2} ( 2 x ) \cdot ( t a n ^{2} ( 2 x ) + 2 )} d x = \int \frac{1}{t a n ^{2} ( 2 x ) + ( 2 ) ^{2}} d (tan (2 x)) = \frac{1}{2} arctan \frac{t a n ( 2 x )}{2} + C = \frac{2}{2} arctan \frac{2 t a n ( 2 x )}{2} + C$

求 $I = \int sin (3 x) cos (2 x) d x$ ：

可以使用和差化积公式，得 $I = \int sin (3 x) cos (2 x) d x = \frac{1}{2} \int (sin (5 x) + sin (x)) d x = - \frac{1}{10} cos (5 x) - \frac{1}{2} cos (x) + C$

$\int \frac{1}{1 + s i n x} d x = \int \frac{1 - s i n x}{c o s ^{2} x} d x = \int \frac{1}{c o s ^{2} x} d x - \int \frac{s i n x}{c o s ^{2} x} d x = tan x - sec x + C$

求 $I = \int \frac{1}{s i n x + c o s x + 2} d x$ ：

可以使用万能公式，令 $tan \frac{x}{2} = t$ ，则 $sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ 、 $cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ 、 $d x = \frac{2}{1 + t ^{2}} d t$

$I = \int \frac{1}{s i n x + c o s x + 2} d x = \int \frac{1}{\frac{2 t}{1 + t ^{2}} + \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} + 2} \frac{2}{1 + t ^{2}} d t = \int \frac{2}{t ^{2} + 2 t + 3} d t = \int \frac{2}{( t + 1 ) ^{2} + ( 2 ) ^{2}} d t = 2 arctan \frac{t + 1}{2} + C = 2 arctan \frac{t a n \frac{x}{2} + 1}{2} + C$

求 $I = \int \frac{c o s ( 2 x )}{c o s ^{2} x ( 1 + s i n ^{2} x )} d x$ ：

$I = \int \frac{c o s ( 2 x )}{c o s ^{2} x ( 1 + s i n ^{2} x )} d x = \int \frac{c o s ^{2} x - s i n ^{2} x}{c o s ^{2} x ( 1 + s i n ^{2} x )} d x$ ，使用万能公式不好做，不难发现被积函数关于 $sin x$ 和 $cos x$ 都是偶函数，可以尝试令 $t = tan x$ ，则

$I = \int \frac{( \frac{1}{1 + t ^{2}} ) ^{2} - ( \frac{t}{1 + t ^{2}} ) ^{2}}{( \frac{1}{1 + t ^{2}} ) ^{2} [ 1 + ( \frac{t}{1 + t ^{2}} ) ^{2} ]} = \int \frac{1 - t ^{2}}{1 + 2 t ^{2}} d t = - \frac{1}{2} \int \frac{2 t ^{2} + 1 - 3}{1 + 2 t ^{2}} d t = - \frac{1}{2} \int 1 d t + \frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + 2 t ^{2}} d t = - \frac{1}{2} t + \frac{3}{2 2} arctan (2 t) + C = - \frac{1}{2} tan x + \frac{3}{2 2} arctan (2 tan x) + C$

求 $I = \int \frac{c o s ^{3} x}{s i n x + c o s x} d x$ ：

$I = \int \frac{c o s ^{3} x}{s i n x + c o s x} d x = \int \frac{c o s ^{3} x ( c o s x - s i n x )}{c o s ^{2} x - s i n ^{2} x} d x = \frac{1}{4} \int \frac{( 1 + c o s ( 2 x ) ) ^{2}}{c o s ( 2 x )} d x + \int \frac{c o s ^{3} x}{2 c o s ^{2} x - 1} d (cos x) = I_{1} + I_{2}$

$I_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{( 1 + c o s ( 2 x ) ) ^{2}}{c o s ( 2 x )} d x = \frac{1}{4} \int \frac{1 + 2 c o s ( 2 x ) + c o s ^{2} ( 2 x )}{c o s ( 2 x )} d x = \frac{1}{4} \int sec (2 x) d x + \frac{1}{2} \int 1 d x + \frac{1}{4} \int cos (2 x) d x = \frac{1}{8} ln ∣ sec (2 x) + tan (2 x) ∣ + \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} sin (2 x) + C_{1}$

$I_{2} = \int \frac{co s ^{3} x}{2 c o s ^{2} x - 1} d (cos x) = \frac{1}{2} \int \frac{c o s ^{2} x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2 c o s ^{2} x - 1} d (cos^{2} x) = \frac{1}{4} \int 1 d (cos^{2} x) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 c o s ^{2} x - 1} d (cos x) = \frac{1}{4} cos^{2} x + \frac{1}{8} ln (2 cos^{2} x - 1) + C_{2}$

$I = I_{1} + I_{2} = \frac{1}{8} ln ∣ sec (2 x) + tan (2 x) ∣ + \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} sin (2 x) + \frac{1}{4} cos^{2} x + \frac{1}{8} ln (2 cos^{2} x - 1) + C = \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} ln ∣1 + sin (2 x) ∣ + \frac{1}{4} cos x \cdot (sin x + cos x) + C$