线性代数笔记

一、行列式

1. 行列式的形式

$a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn}$

一般来说， $A$ 表示一个矩阵， $∣ A ∣$ 表示相应的行列式.

2. 行列式的直接展开

全排列：把 $n$ 个不同的数排成一列，叫做这 $n$ 个数的全排列。如果数按从小到大的顺序 $1, 2, \dots, n$ ，那么叫 $n$ 个数排列的标准次序。

逆序数：在 $n$ 个数的排列中，当某两个数的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。用 $τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})$ 来表示 $j_{1} \dots j_{n}$ 的逆序数。

大的数排在小的数前面叫逆序，比如4213的逆序数：

方法一：先看1，1前面有2个比它的大的数，2前面有1个，3前面有1个，4前面没有，所以4213的逆序数是2+1+1=4

方法二：数后面比它小的数，4后面有3个比它小的数，2后面有1个，1没有，3也没有，所以逆序数是3+1=4

像54321这种全部倒过来的排列，逆序数是 $(n - 1) + (n - 2) + \dots + 2 + 1 = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .

排列中交换任意两个数的位置，逆序数的奇偶改变（交换一次位置，逆序数 $\pm 1$ ）

行列式的逆序数定义：

$n$ 阶行列式： $a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn} = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$ .

它是 $n!$ 项的和，每一项是 $n$ 个元素的乘积 $a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$ 再乘以 $- 1$ 的列标构成的全排列（行标按顺序时）的逆序数次方，其中 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 是 $1, 2, \dots, n$ 的一个全排列（且各项的排列都不相同）

这里的定义是行取标准排列，列是任意全排列，也就是说，行按顺序取，列每次要取不同列（叫按行展开）。

比如先选第一行中的第一列 $a_{11}$ ，那么到第二行时，由于第一列已经被选过了不能选，可以选取第二列或其他列，比如选第三列 $a_{23}$ ，到第三行时，第一、三列都选过了不能选，可以选第二列或其他列…，以此类推。但是注意，每一项选择的次序都不能重复。

也可以换个选法，比如列按标准次序选，即按顺序选第1、2、3、…列，然后行随机来（叫按列展开）。但是一般来说，行和列至少要有一个是按顺序的，否则容易乱。

选完一项后，记得要乘以行标/列标的-1的逆序数次方。如果行和列都不按顺序选，那么就变成乘以-1的行标逆序数加列标逆序数次方。

特别的，二阶行列式： $a c b d = a d - b c$ 。它的绝对值的几何意义是两向量组成的平行四边形的面积。

三阶行列式：行列式-行列式的定义-三阶行列式-01 ，它的绝对值的几何意义是三向量组成的平行六面体的体积。

二阶和三阶的行列式可以看成是用主对角线减辅对角线的方法展开，（但是4阶及以上的不行）

特别地， $000 b_{n} 00 \dots * 0 b_{2} * * b_{1} * * * = (- 1)^{τ (n (n - 1) \dots 21)} b_{1} b_{2} \dots b_{n}$ ，其中 $τ (n (n - 1) \dots 21) = C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .

3. 余子式和代数余子式

余子式：设 $∣ A ∣$ 是一个 $n$ 阶行列式，划去的第 $i$ 行及第 $j$ 列，剩下的 $(n - 1)^{2}$ 个元素按照原来的顺序组成了一个 $n - 1$ 阶行列式，这个行列式称为 $∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元素的余子式，记为 $M_{ij}$ .

代数余子式： $A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$

定理（行列式的代数余子式展开）：一个行列式的值 $D$ 等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和.

比如： $D = a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + \dots + a_{2 n} A_{2 n}$ .

4. 行列式的运算法则

（1）转置：转置后的值不变 $∣ A^{T} ∣ = ∣ A ∣$ .（可以用“一个按行展开，一个按列展开”来理解）

（2）行列式数乘：用常数 $c$ 乘以行列式，等于行列式的某一行（列）的各元素乘 $c$ ；反过来说就是某一行（列）的公因数可以提到外面去.

对比矩阵数乘： $∣ c A ∣ = c^{n} ∣ A ∣$ ，矩阵数乘是每个元素都乘以 $c$ .

（3）行列式相加： $∣ α, β_{1} + β_{2}, γ ∣ = ∣ α, β_{1}, γ ∣ + ∣ α, β_{2}, γ ∣$ ，两个行列式只有当除某一行（列）以外其余元素都相同的情况下才能相加，否则无法相加。

对比矩阵相加： $A + B = (α_{1} + α_{2}, β_{1} + β_{2}, γ_{1} + γ_{2})$ ，矩阵相加是对应位置的每个元素相加。

（4）行列式相乘： $∣ A ∣∣ B ∣ = ∣ A B ∣$ ，和矩阵乘法一致，但是只有同阶才能这样相乘，不同阶要先算出行列式的值后再相乘。

（5）行列式两行（列）互换，值要变号.（因为逆序数奇偶性发生了改变）

（6）如果一个行列式某一行（列）的元素全为0，或者有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为0.（互换两行值要变号，如果 $D = - D$ ，那么 $D = 0$ ）

（7）行列式某一行（列）乘以一个数，加到另一行（列）上去，行列式的值不变.（根据第2、3条性质，写成两行列式相加，由于构造的行列式某两行成比例，该行列式的值为0，0加原来的行列式所以不变）

（8）一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0.（用一行元素乘另一行元素的代数余子式，可以看作是另一行列式的代数余子式展开，还原回去，就变成一个两行相等的行列式，值为0.）

（9）拉普拉斯定理：在 $n$ 阶行列式中任取 $k$ 行（列），那么含于这 $k$ 行（列）的所有 $k$ 阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。

（补充） $k$ 阶子式及其余子式、代数余子式：

设 $∣ A ∣$ 是一个 $n$ 阶行列式，取行列式 $∣ A ∣$ 中第 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}$ 行以及第 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}$ 列交点上的元素，按原来 $∣ A ∣$ 中的相对位置构成一个 $k$ 阶行列式，则称这个行列式是 $∣ A ∣$ 的一个 $k$ 阶子式，记作 $A (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{k} j_{k})$ 。

若划去 $∣ A ∣$ 的第 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}$ 行以及第 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}$ 列后，剩下的元素按原来的相对位置构成一个 $n - k$ 阶行列式，则称这个行列式是前述 $k$ 阶子式的余子式，记作 $M (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{k} j_{k})$ 。

若记 $p = i_{1} + i_{2} + \dots + i_{k}$ 、 $q = j_{1} + j_{2} + \dots + J_{k}$ ，则 $\hat{A} (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{k} j_{k}) = (- 1)^{p + q} M (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{k} j_{k})$ 为前述 $k$ 阶子式的代数余子式。

拉普拉斯定理是说，若取定 $k$ 个行： $∣ A ∣ = 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{k} \leq n \sum A (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{k} j_{k}) \hat{A} (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{k} j_{k})$ ，共 $C_{n}^{k}$ 项相加，取列同理。

特别地，当取的行和列都连续时，有 $A 0 * B = A * 0 B = ∣ A ∣∣ B ∣$ .

（10）范德蒙行列式：

$1 a_{1} \dots a_{1}^{n - 1} 1 a_{2} \dots a_{2}^{n - 1} \dots \dots \dots 1 a_{n} \dots a_{n}^{n - 1} = 0 < i < j < n \prod C_{n}^{2} 个 (a_{j} - a_{i})$ .

例：

原本按拉普拉斯定理，应该每个子式都要乘以各自的代数余子式，不过取定了这些行后，只有上面这种列的取法不为零。

（11）反对称行列式（ $a_{ij} = - a_{ji}$ ）如果是奇数阶的，值为0（但偶数阶不是）。比如：

$D = 0 - a - b a 0 - c b c 0 = 每行提一个 -1 (- 1)^{3} 0 a b - a 0 c - b - c 0 = - D^{T} = 0$

5. 克拉默法则

$n$ 元线性方程组 $⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} ⋮ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{nn} x_{n} = b_{n}$

令其系数行列式为 $D$ ， $D = a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn}$ ， $D_{j}$ 表示用 $b_{1} b_{2} ⋮ b_{n}$ 替换 $D$ 的第 $j$ 列， $D_{j} = \dots \dots \dots \dots a_{1 (j - 1)} a_{2 (j - 1)} \dots a_{n (j - 1)} b_{1} b_{2} \dots b_{n} a_{1 (j + 1)} a_{2 (j + 1)} \dots a_{n (j + 1)} \dots \dots \dots \dots$

对于非齐次方程，当 $D \neq = 0$ 时，方程有唯一解， $x_{j} = \frac{D _{j}}{D}$

对于齐次方程（即 $b_{i}$ 全部为0），当 $D \neq = 0$ 时，只有零解（ $x_{j} = 0$ ）；当 $D = 0$ 时，有无穷多个非零解。（求解方法： $(D ∣ β) \to 行 (E ∣ η)$ ， $η$ 就是解）

6. 行列式的计算技巧

思路：

（1）用定义展开（当每一行/列只有一个元素时）（2）化上（下）三角型，或三叉型（3）利用代数余子式按行（列）展开，比如对角线上下都有元素，其余地方为0的，展开时尽量化成非零元素在顶角位置再展开（4）拉普拉斯展开（5）特殊行列式，如范德蒙行列式，比如提公因式变成范德蒙行列式的形式

① 行和（列和）相同的行列式

$x a a a x a a a \dots a \dots \dots \dots a a x$

把第2、3、…列加到第一列上，再提取公因式，变成 $[x + (n - 1) a] 111 a x a a a \dots a \dots \dots \dots a a x$

第一列乘以 $- a$ 加到第2、3、 $\dots$ 列上，即可得到下三角型行列式 $[x + (n - 1) a] 111 0 (x - a) 0 00 \dots 0 \dots \dots \dots 00 (x - a) = [x + (n - 1) a] (x - a)^{n - 1}$

② 加边法凑三叉型

一般是对角线上元素不同，其余地方有一定规律的（比如关于对角线对称），由于只需要一条边只有1个1其余是0，另一条边上写什么要看规律。

$1 + a_{1} 11 1 1 + a_{2} 1 11 \dots 1 \dots \dots \dots 11 1 + a_{n}_{(n)}$

利用代数余子式展开的性质，加一行一列 $1000 1 1 + a_{1} 11 11 1 + a_{2} \dots 1 1111 \dots \dots \dots \dots 111 1 + a_{n}_{(n + 1)}$

第1行乘以 $- 1$ ，加到第2、3、…行上，得到三叉型行列式 $1 - 1 - 1 - 1 1 a_{1} 00 10 a_{2} 0 100 ⋱ 0 \dots \dots \dots \dots 100 a_{n}_{(n + 1)}$

第2列乘以 $\frac{1}{a _{1}}$ ，第3列乘以 $\frac{1}{a _{2}}$ ，….，加到第1列上，得到上三角型 $(1 + \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{n}}) 000 1 a_{1} 00 10 a_{2} 0 100 ⋱ 0 \dots \dots \dots \dots 100 a_{n}_{(n + 1)}$

对于 $x_{1} a a a x_{2} a a a \dots a \dots \dots \dots a a x_{n}$

也可以第2、3、…行都减去第一行 $x_{1} a - x_{1} a - x_{1} a x_{2} - a 0 a 0 \dots 0 \dots \dots \dots a 0 x_{n} - a$

就变成三叉型了。

对于 $d c c \dots c b x a \dots a b a x \dots a \dots \dots \dots \dots \dots b a a \dots x$ ，可以凑成上面的形式 $\frac{b c}{a ^{2}} \frac{a ^{2} d}{b c} a a \dots a a x a \dots a a a x \dots a \dots \dots \dots \dots \dots a a a \dots x$

例：

$1 + x_{1}^{2} x_{2} x_{1} x_{3} x_{1} \dots x_{n} x_{1} x_{1} x_{2} 1 + x_{2}^{2} x_{3} x_{2} \dots x_{n} x_{2} x_{1} x_{3} x_{2} x_{3} 1 + x_{3}^{2} \dots x_{n} x_{3} \dots \dots \dots \dots \dots x_{1} x_{n} x_{2} x_{n} x_{3} x_{n} \dots 1 + x_{n}^{2}$

加边升阶，得 $100000 x_{1} 1 + x_{1}^{2} x_{2} x_{1} x_{3} x_{1} \dots x_{n} x_{1} x_{2} x_{1} x_{2} 1 + x_{2}^{2} x_{3} x_{2} \dots x_{n} x_{2} x_{3} x_{1} x_{3} x_{2} x_{3} 1 + x_{3}^{2} \dots x_{n} x_{3} \dots \dots \dots \dots \dots \dots x_{n} x_{1} x_{n} x_{2} x_{n} x_{3} x_{n} \dots 1 + x_{n}^{2}$

第1行乘以 $- x_{1}$ 加到第2行上，第1行乘以 $- x_{2}$ 加到第3行上，…，得 $1 - x_{1} - x_{2} - x_{3} ⋮ - x_{n} x_{1} 100 ⋮ 0 x_{2} 010 ⋮ 0 x_{3} 001 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots ⋱ ... x_{n} 000 ⋮ 1$

第2列乘以 $x_{1}$ 加到第1列上，第3乘以 $x_{2}$ 加到第1列上， $\dots$ ，最后得 $D_{n} = 1 + \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}$

③ 拆分成两个行列式相加

$D_{n} = x c c c b x c c b b x \dots c \dots \dots \dots \dots b b b x = c + (x - c) c c c b x c c b b x \dots c \dots \dots \dots \dots b b b x = 1111 b x c c b b x \dots c \dots \dots \dots \dots b b b x + (x - c) 000 b x c c b b x \dots c \dots \dots \dots \dots b b b x$

第一部分是行和相同的行列式，计算出值等于 $c (x - b)^{n - 1}$ ；第二部分用代数余子式展开成 $(x - c) D_{n - 1}$ 。

即 $D_{n} = c (x - b)^{n - 1} + (x - c) D_{n - 1}$ ，如果将 $D_{n}$ 转置，将 $a_{11}$ 变成 $b + (x - b)$ ，会得到 $D_{n} = b (x - c)^{n - 1} + (x - b) D_{n - 1}$ ，联立两式，消去 $D_{n - 1}$ 即可（要分 $b = c$ 和 $b \neq = c$ 两种情况讨论）

例：

$1 + x_{1}^{2} x_{2} x_{1} ⋮ x_{n} x_{1} x_{1} x_{2} 1 + x_{2}^{2} ⋮ x_{n} x_{2} \dots \dots ⋱ \dots x_{1} x_{n} x_{2} x_{n} ⋮ 1 + x_{n}^{2} = 1 + x_{1}^{2} x_{2} x_{1} ⋮ x_{n} x_{1} x_{1} x_{2} 1 + x_{2}^{2} ⋮ x_{n} x_{2} \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ 1 + 1 + x_{1}^{2} x_{2} x_{1} ⋮ x_{n} x_{1} x_{1} x_{2} 1 + x_{2}^{2} ⋮ x_{n} x_{2} \dots \dots ⋱ \dots x_{1} x_{n} x_{2} x_{n} ⋮ x_{n}^{2}$

$= D_{n - 1} + x_{n}^{2} 1 + x_{1}^{2} x_{2} x_{1} ⋮ x_{1} x_{1} x_{2} 1 + x_{2}^{2} ⋮ x_{2} \dots \dots ⋱ \dots x_{1} x_{2} ⋮ 1 = D_{n - 1} + x_{n}^{2} 10 ⋮ x_{1} 01 ⋮ x_{2} \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ 1 = D_{n - 1} + x_{n}^{2} = 1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}$

④ 行列式的因式分解

$D_{n} = a_{1} - b_{1} a_{2} - b_{1} a_{n} - b_{1} a_{1} - b_{2} a_{2} - b_{2} a_{n} - b_{2} \dots \dots \dots \dots a_{1} - b_{n} a_{2} - b_{n} a_{n} - b_{n} = a_{1} a_{2} a_{n} - 1 - 1 - 1 00 \dots 0 \dots \dots \dots 000 \cdot 1 b_{1} 00 1 b_{2} 00 1 b_{3} 00 \cdot \dots \dots \dots 1 b_{n} 00$

当 $n \leq 2$ 时， $D_{n} = (a_{2} - a_{1}) (b_{2} - b_{1})$ ；当 $n > 2$ 时， $D_{n} = 0$ .

例：设 $S_{k} = x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \dots + x_{n}^{k}$ ，其中 $k$ 为任意非负整数，求 $D = S_{0} S_{1} ⋮ S_{n - 1} S_{1} S_{2} ⋮ S_{n} \dots \dots ⋱ \dots S_{n - 1} S_{n} ⋮ S_{2 n - 2}$

解： $D = 1 x - 1 ⋮ x_{1}^{n - 1} 1 x_{2} ⋮ x_{2}^{n - 1} \dots \dots ⋱ \dots 1 x_{n} ⋮ x_{n}^{n - 1} \cdot 11 ⋮ 1 x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} \dots \dots ⋱ \dots x_{1}^{n - 1} x_{2}^{n - 1} ⋮ x_{n}^{n - 1} = 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i}) \cdot 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i}) = 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i})^{2}$

⑤ Hessenberg型行列式

$D_{n} = x 00 ⋮ 0 a_{n} - 1 x 0 ⋮ 0 a_{n - 1} 0 - 1 x \dots 0 a_{n - 1} \dots \dots ⋱ ⋱ \dots \dots 000 ⋱ x a_{2} 000 \dots - 1 x + a_{1}$

按第1列展开： $D_{n} = x \cdot x 0 ⋮ 0 a_{n - 1} - 1 x \dots 0 a_{n - 2} \dots ⋱ ⋱ \dots \dots 00 ⋱ x a_{2} 00 \dots - 1 x + a_{1} + a_{n} \cdot (- 1)^{n + 1} \cdot (- 1)^{n - 1} = x \cdot D_{n - 1} + a_{n}$

$= x \cdot [x \cdot D_{n - 2} + a_{n - 1}] + a_{n} = \dots = x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + a_{3} x^{n - 3} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$

⑥ 特征方程法

$D_{n} = a c b a c b a \dots b \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots a c b a$

按第一列拉普拉斯展开，得： $D_{n} = a D_{n - 1} - b c D_{n - 2}$

解特征方程： $x^{2} = a x - b c$ ，得 $x_{1} = \frac{a + a ^{2} - 4 b c}{2}$ ， $x_{2} = \frac{a - a ^{2} - 4 b c}{2}$

即可得通式： $D_{n} = \frac{x _{1}^{n + 1} - x _{2}^{n + 1}}{x _{1} - x _{2}}$

二、矩阵

1. 矩阵的加减、转置

（1）矩阵相加： $A + B = (α_{1} + α_{2}, β_{1} + β_{2}, γ_{1} + γ_{2})$ ，矩阵相加是对应位置的每个元素相加。

（2）矩阵数乘： $∣ c A ∣ = c^{n} ∣ A ∣$ ，数 $c$ 乘以矩阵 $A$ 等于矩阵中每一个元素都乘以 $c$ .

矩阵相加和数乘满足：

（Ⅰ） $A + B = B + A$ .

（Ⅱ） $(A + B) + C = A + (B + C)$ .

（Ⅲ） $c (A + B) = c A + c B$ ， $(c + d) A = c A + d A$ .

（Ⅳ） $c (d A) = (c d) A$ .

（Ⅴ） $c A = 0 \Leftrightarrow c = 0$ 或 $A = 0$ .

（3）转置： $A$ 的转置 $A^{T}$ （或 $A^{'}$ ）

矩阵转置满足：

（Ⅰ） $(A^{T})^{T} = A$ .

（Ⅱ） $(A \pm B)^{T} = A^{T} \pm B^{T}$ .

（Ⅲ） $(c A)^{T} = c (A^{T})$ .

（Ⅳ） $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ .

（4）一些特殊的矩阵：

单位阵： $E = 100010001$ （有时也写成 $I$ ）

对角矩阵： $diag (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots) = * 00 0 * 0 00 *$ .

数量阵： $200020002 = 2 E$ ，若 $Λ = λ E$ ，则 $Λ_{n} \cdot A_{n} = λ E A_{n} = λ A_{n}$ .

上（下）三角阵： $* 00 * * 0 * * *$ .

对称矩阵： $A^{T} = A$ .

反对称矩阵： $A^{T} = - A$ .（由于 $a_{ii} = - a_{ii}$ ，所以对角线上元素全为0）

2. 矩阵乘法

矩阵相乘得到的是一个新的矩阵，若 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵， $B$ 是 $n \times s$ 阶矩阵，那么 $A B$ 是 $m \times s$ 阶矩阵。 $A B$ 的 $(i, j)$ 位元素是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和。（ $c_{ij} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{in} b_{nj}$ ）

只有当 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数时， $A B$ 才可以相乘。

矩阵乘法满足：

（1）线性性质

$(A_{1} + A_{2}) B = A_{1} B + A_{2} B$ .

$A (B_{1} + B_{2}) = A B_{1} + A B_{2}$ .

$(c A) B = c (A B) = A (c B)$ .

（2）结合律： $(A B) C = A (BC)$ .

（3） $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ .

（4）矩阵的行列式： $∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣$ .

（4）对于 $n$ 阶方阵， $A^{k} = k 个相乘 AA \dots A$ ， $A^{k} A^{l} = A^{k + l}$ ， $(A^{k})^{l} = A^{k l}$ ， $A^{0} = E$ .

（5）对于对角阵： $a_{1} 00 0 b_{1} 0 00 c_{1} a_{2} 00 0 b_{2} 0 00 c_{2} = a_{1} a_{2} 00 0 b_{1} b_{2} 0 00 c_{1} c_{2}$ ，即两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘，对角矩阵的 $k$ 次方幂只须把每个对角线上元素作 $k$ 次方幂。

矩阵乘法和数乘不同之处：

（1）无交换律，无消去律。

（2）左乘与右乘的结果不一定一样。

因此 $(A B)^{k} = A B A B \dots A B \neq = A^{k} B^{k}$ （除非 $A B = B A$ ）.

而 $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ ， $A B$ 和 $B A$ 不能合并成一项.

对于单位阵 $E$ ， $A E = E A = A$ ，像 $A^{2} - 2 A - 3 E$ 可以因式分解成 $(A - 3 E) (A + E)$ .

对于对角阵， $Λ = λ E$ ， $Λ A = λ E A = A (λ E) = λ A$

（2） $A B = 0$ 是指 $A$ 的行向量与 $B$ 的列向量内积为0，即 $A$ 的行向量与 $B$ 的列向量垂直，因此不能得出 $A = 0$ 或 $B = 0$ .（同理，即使 $A \neq = 0$ ， $A B = 0$ ，也不能得出 $B = 0$ ）

3. 矩阵的初等变换

三类初等行变换：

（1）换两行的上下位置.

（2）用非零常数 $c$ 乘某一行.

（3）把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）.

阶梯形矩阵：形如 $* 000 * 000 * * 00 * * * 0 * * * *$ ，它满足：

（1）如果有零行，则都在最下面.

（2）各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格单调上升。或各行左边连续出现的0的个数自上而下严格单调上升，直到全为0。

台角：各非零行第一个非0元素所在位置。

行最简型矩阵：比如， $1000 * 000 010000100001$ ，它满足：

（1）台角位置的元素都为1.

（2）台角正上方的元素都为0.（即首非零元所在列除该首非零元外其余位置全为0）

每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。

4. 矩阵的逆

定义：设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $H$ ，使得 $A H = E$ ，且 $H A = E$ ，则称 $A$ 是可逆矩阵，称 $H$ 是 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{- 1}$ .

逆是唯一的，因此 $H$ 和 $A$ 互为逆，即 $A^{- 1} = H$ ， $H^{- 1} = A$

比如要证明 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，一般用 $A B = E$ 来证。

若 $A$ 可逆，则 $A$ 有消去律。左消去律： $A B = A C \Rightarrow B = C$ ；右消去律： $B A = C A \Rightarrow B = C$ .

可逆的充要条件： $A$ 可逆 $\Leftrightarrow ∣ A ∣ \neq = 0$

左边正右边（ $\Rightarrow$ ）：若 $A A^{- 1} = E$ ，则 $∣ A ∣∣ A^{- 1} ∣ = ∣ E ∣ = 1$ ，对于 $∣ A^{- 1} ∣$ 是行列式，它是一个数， $∣ A^{- 1} ∣ = \frac{1}{∣ A ∣}$ ，此时要求 $A \neq = 0$

右边正左边（ $\Leftarrow$ ）：要找 $H$ ，它既是 $A x = E$ 的解，又是 $x A = E$ 的解，当 $∣ A ∣ \neq = 0$ ，方程 $A x = E$ 有唯一解记作 $B$ ，方程 $x A = E$ 也有唯一解记作 $C$ ，则 $A B = E$ ， $C A = E$ ， $B = (C A) B = C (A B) = C$ ，故 $B = C = A^{- 1}$ 。

逆的性质

（1）当 $A$ 可逆时， $A^{T}$ 也可逆，且 $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ .

（2）当 $A$ 可逆时， $A^{k}$ 也可逆，且 $(A^{k})^{- 1} = (A^{- 1})^{k}$ .

（3）当 $A$ 可逆时，若数 $c \neq = 0$ ，则 $(c A)^{- 1} = \frac{1}{c} A^{- 1}$ ， $(c A) (\frac{1}{c} A^{- 1}) = (c \cdot \frac{1}{c}) A A^{- 1} = E$ .

（4）若 $A$ 、 $B$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A B$ 也可逆，且 $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ .

（5）当 $A$ 可逆时， $∣ A^{- 1} ∣ = ∣ A ∣^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣}$ .

逆的求法

（1）初等变换法：对 $A$ 作增广 $(A ∣ E)$ ，然后通过初等行变换，变成 $(E ∣ A^{- 1})$

（2）伴随矩阵法： $A^{- 1} = \frac{A ^{*}}{∣ A ∣}$ .

伴随矩阵：每个 $n$ 阶矩阵 $A$ 都有伴随矩阵，记作 $A^{*}$ ， $A^{*} = A_{11} A_{12} \dots A_{1 n} A_{21} A_{22} \dots A_{2 n} \dots \dots \dots \dots A_{n 1} A_{n 2} \dots A_{nn} = (A_{ij})^{T}$ ，即 $A$ 中每个元素用它的代数余子式替换后再转置，就是 $A^{*}$ .

伴随矩阵的性质：

（1） $A A^{*} = A^{*} A = ∣ A ∣ E$ .

证明： $A A^{*} = a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn} A_{11} A_{12} \dots A_{1 n} A_{21} A_{22} \dots A_{2 n} \dots \dots \dots \dots A_{n 1} A_{n 2} \dots A_{nn} = ∣ A ∣ 000 0 ∣ A ∣ 00 00 ∣ A ∣ 0 000 ∣ A ∣ = ∣ A ∣ E$

若 $A$ 可逆，则 $\frac{A}{∣ A ∣} A^{*} = E$ ，即 $A^{- 1} = \frac{A ^{*}}{∣ A ∣}$ ，或变形成 $A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}$ .

（2） $∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}$ .

证明： $A A^{*} = ∣ A ∣ E$ ，若两边同时取行列式， $∣ A A^{*} ∣ = ∣∣ A ∣ E ∣$ ，左右分别化简得 $∣ A ∣∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n} E$ ，即 $∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}$

（3） $(A^{*})^{- 1} = (A^{- 1})^{*}$ .

证明： $\frac{A}{∣ A ∣} A^{*} = E$ ，即 $(A^{*})^{- 1} = \frac{A}{∣ A ∣}$ ，而 $(A^{- 1})^{*} = ∣ A^{- 1} ∣ (A^{- 1})^{- 1} = \frac{A}{∣ A ∣}$ ，故 $(A^{*})^{- 1} = (A^{- 1})^{*}$ .

（4） $(A^{T})^{*} = (A^{*})^{T}$ .

（5） $(A^{k})^{*} = (A^{*})^{k}$ .

（6） $(c A)^{*} = c^{n - 1} A^{*}$ .

（7） $(A B)^{*} = B^{*} A^{*}$ .

（8） $(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{n - 2} A$ .

证明： $(A^{*})^{- 1} = \frac{A}{∣ A ∣}$ ， $∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}$ ， $∴ (A^{*})^{*} = ∣ A^{*} ∣ (A^{*})^{- 1} = A^{n - 2} A$ .

目前已知的符号， $T$ 、 $k$ 、 $- 1$ 、 $*$ ，任何两个的次序可以互换，比如 $(A^{T})^{*} = (A^{*})^{T}$ ， $(A^{*})^{- 1} = (A^{- 1})^{*}$ ， $(A^{k})^{- 1} = (A^{- 1})^{k}$ .

对于 $A B$ ， $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ ， $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ ， $(A B)^{*} = A^{*} B^{*}$ ，但是 $(A B)^{k}$ 不一定等于 $B^{k} A^{k}$ .

5. 矩阵分块

一般法则：在计算两个矩阵 $A$ 和 $B$ 的乘积时，可以先把 $A$ 和 $B$ 用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求 $A$ 的纵向分割与 $B$ 的横向分割一致。

分块矩阵求转置：把子块视作元素整个矩阵做转置，并对每个子块自身作转置。

分块矩阵求逆：分块对角阵 $A_{11} 0 ⋱ 0 A_{nn}^{- 1} = A_{11}^{- 1} 0 ⋱ 0 A_{nn}^{- 1}$ ，前提是 $A_{11} \dots A_{nn}$ 都可逆.

更一般的求法：

设 $∣ H ∣ = A 0 C B = ∣ A ∣∣ B ∣ \neq = 0$ 可逆，求 $H^{- 1}$

解：假设 $H^{- 1} = (X_{1} X_{4} X_{3} X_{2})$ ，则 $H H^{- 1} = (A 0 C B) (X_{1} X_{4} X_{3} X_{2}) = (A X_{1} + C X_{4} B X_{4} A X_{3} + C X_{4} B X_{2}) = (E 0 0 E)$

$⎩ ⎨ ⎧ A X_{1} + C X_{4} = E A X_{3} + C X_{4} = 0 B X_{4} = 0 B X_{2} = E$ ，解得 $X_{2} = B^{- 1}$ 、 $X_{4} = 0$ 、 $X_{1} = A^{- 1}$ 、 $X_{3} = - A^{- 1} C B^{- 1}$

即 $H^{- 1} = (A^{- 1} 0 - A^{- 1} C B^{- 1} B^{- 1})$ .

两种常用的情况：

（1） $A$ 、 $B$ 都分成4块

$A = (A_{11} A_{21} A_{12} A_{22})$ ， $B = (B_{11} B_{21} B_{12} B_{22})$ ，其中 $A_{i 1}$ 的列数和 $B_{ij}$ 的行数相等， $A_{i 2}$ 的列数和 $B_{2 j}$ 的行数相等。

此时 $A B = (A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22})$

（2）准对角阵

$A_{11} 00 0 A_{22} 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 A_{kk} B_{11} 00 0 B_{22} 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 B_{kk} = A_{11} B_{11} 00 0 A_{22} B_{22} 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 A_{kk} B_{kk}$

矩阵的迹

对一个 $n$ 阶矩阵 $A$ ，规定 $tr (A)$ 为 $A$ 的对角线上元素之和,称为 $A$ 的迹数。

于是 $(α β^{T})^{k} = (β^{T} α)^{k - 1} α β^{T} = [tr (α β^{T})]^{k - 1} α β^{T}$

6. 矩阵的应用

Ⅰ. 方程组的矩阵表示

对于 $⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \dots a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{nn} x_{n} = b_{n}$

若令 $A = a_{11} a_{21} a_{n 1} a_{12} a_{22} a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} a_{nn}$ ， $x = x_{1} x_{2} ⋮ x_{n}$ ， $β = b_{1} b_{2} ⋮ b_{n}$ ，则上述方程可以写成 $A x = β$ 的形式

如果令 $α_{1} = (a_{11}, a_{21}, \dots, a_{n 1})^{T}$ ， $α_{2} = \dots$ ，则 $A = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})$ ，方程还可以写成 $x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{n} α_{n} = β$

Ⅱ. 用初等行变换解线性方程组

用同解变换化简方程再求解三种同解变换： ①交换两个方程的上下位置。 ②用一个非零数 $c$ 乘某一个方程。 ③把某一方程的倍数加到另一个方程上去。它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。

矩阵消元法： ①写出增广矩阵 $(A ∣ β)$ ，用初等行变换化把 $(A ∣ β)$ 化为阶梯形矩阵 $(B ∣ γ)$ 。 ②用 $(B ∣ γ)$ 判别解的情况。

如果 $(B ∣ γ)$ 最下面的非零行为 $(0, \dots, 0∣ d)$ ，则无解，否则有解。
如果有解，记 $Γ$ 是 $(B ∣ γ)$ 的非零行数，则
- $Γ = n$ 时有唯一解。
- $Γ < n$ 时无穷多解。
唯一解求解的方法（初等变换法）：去掉 $(B ∣ γ)$ 的零行，得 $(B_{0} ∣ γ_{0})$ ，它是 $n \times (n + c)$ 阶矩阵， $B_{0}$ 是 $n$ 阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

$B_{0} = b_{11} 0000 * b_{22} 000 * * ⋱ 00 * * * b_{n - 1 n - 1} 0 * * * * b_{nn}$ ，则 $b_{nn} \neq = 0$ ， $b_{n - 1 n - 1} \neq = 0$ ， $\dots b_{n}$ 都不为0. 于是把 $(B_{0} ∣ γ_{0})$ 化出的简单阶梯形矩阵应为 $B_{0} = 10000100 00 ⋱ 0 0001 c_{1} c_{2} \dots c_{n}$ ，其解为： $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = c_{1} x_{2} = c_{2} \dots x_{n} = c_{n}$

Ⅲ. 矩阵乘法在初等变换中的作用

对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。

三种初等矩阵（对应矩阵三种初等变换，由于初等变换是可逆的，因此初等矩阵也是可逆的，其逆也是初等矩阵）：

（1） $E (i, j)$ ：交换 $E$ 的第 $i, j$ 两行（或 $i, j$ 两列），比如：

$E (2, 3) = 1000001001000001$

交换两行的逆变换就是再交换一次，它的逆 $E^{- 1} (i, j) = E (i, j)$ .

（2） $E (i (c))$ ：用数 $c$ （ $c \neq = 0$ ）乘以 $E$ 的第 $i$ 行（或第 $i$ 列），比如：

$E (2 (c)) = 1000 0 c 00 00100001$

数 $c$ 乘一行的逆变换就是用 $\frac{1}{c}$ 乘以该行，它的逆 $E^{- 1} (i (c)) = E (i (\frac{1}{c}))$ .

（3） $E (i, j (c))$ ：把 $E$ 的第 $j$ 行的 $c$ 倍加到第 $i$ 行上（或把 $E$ 的第 $i$ 列的 $c$ 倍加到第 $j$ 列上，注意列的 $i, j$ 是反过来的），比如：

$E (1, 3 (c)) = 10000100 c 010 0001$

把 $E$ 的第 $j$ 行的 $c$ 倍加到第 $i$ 行上的逆变换就是，把第 $j$ 行的 $- c$ 倍加到第 $i$ 行上，它的逆 $E^{- 1} (i, j (c)) = E (i, j (- c))$ ，且 $∣ E (i, j (c)) ∣ = 1$ .

命题：初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵 $A$ 等同于对 $A$ 作一次相当的初等行（列）变换。

矩阵的初等变换都可以用左乘或右乘初等矩阵来表示。

比如： $(α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) E (1, 3 (c)) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) 10000100 c 010 0001 = (α_{1}, α_{2}, c α_{1} + α_{3}, α_{4})$

三、向量组的线性关系和秩

1. 线性表示

$β$ 可以用 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性表示（或者说 $β$ 可以表示 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 的线性组合），就是说存在 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{s}$ ，使得

$c_{1} α_{1} + c_{2} α_{2} + \dots + c_{s} α_{s} = 0$

记作 $β \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ .

$β \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} \Leftrightarrow x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{s} α_{s} = β$ 有解 $\Leftrightarrow (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) x = β$ 有解（ $x = (x_{1}, \dots, x_{s})^{T}$ ）

$A x = β$ ，即 $β$ 可以用 $A$ 的列向量线性表示。

对于多个的情况： $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t} \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ ，意味着每个 $β_{i} \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ .

写成方程的形式： $A B = C$ ，其中 $A = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})$ ， $C = (r_{1}, r_{2}, \dots, r_{s})$ ，则 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{s} \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ .

反过来说，就是：如果 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t} \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ ，则存在 $C$ ，使得 $(β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}) = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) C$ .

例如： $β_{1} = α_{1} + α_{2} + α_{3}$ ， $β_{2} = 2 α_{2} + α_{3}$ ， $β_{3} = 2 α_{2} + 3 α_{3}$

则 $(β_{1}, β_{2}, β_{3}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) 111021023$ .

线性关系具有传递性：若 $β_{1}, β_{2}, \dots β_{t} \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} \to r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ ，则 $β_{1}, β_{2}, \dots β_{t} \to r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ .

线性关系的等价：如果 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 与 $β_{1}, β_{2}, \dots β_{t}$ 可以相互表示，则称它们等价，记作 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} ⇌ β_{1}, β_{2}, \dots β_{t}$ .

2. 线性相关

线性相关：若存在向量 $α_{i}$ 可以用其他向量 $α_{1}, \dots, α_{i - 1}, α_{i + 1}, \dots, α_{s}$ 线性表示，则称 $α_{1}, \dots, α_{i - 1}, α_{i}, α_{i + 1}, \dots, α_{s}$ 是线性相关的。

线性无关：每个向量 $a_{i}$ 都不能用其他向量线性表示。

定义（用方程表示）：若存在不全为0的常数 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{s}$ ，使得 $c_{1} α_{1} + c_{2} α_{2} + \dots + c_{s} α_{s} = 0$ ，则称 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性相关；否则称 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关。

当 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性相关还要使得方程成立，则 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{s}$ 必定全为0.

即，线性相关则 $(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) x = 0$ 有非零解，线性无关则方程只有零解。

当 $s = 1$ 时，即，只有一个向量时，方程变为 $αx = 0$ ，可知， $α$ 相关 $\Leftrightarrow α = 0$ .

当 $s = 2$ 时， $α_{1}, α_{2}$ 相关 $\Leftrightarrow$ 对应分量成比例， $α_{1} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $α_{2} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，则 $a_{1} : b_{1} = a_{2} : b_{2} = \dots = a_{n} : b_{n}$ .

例：判断 $(1, 0, - 1)$ 、 $(- 1, - 1, 2)$ 、 $(2, 3, - 5)$ 是否线性相关

解：设 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，使得 $k_{1} (1, 0, - 1) + k_{2} (- 1, - 1, 2) + k_{3} (2, 3, - 5) = 0$

即 $⎩ ⎨ ⎧ k_{1} - k_{2} + 2 k_{3} = 0 - k_{2} + 3 k_{3} = 0 - k_{1} + 2 k_{2} - 5 k_{3} = 0$ ，解得 ${k_{1} = k_{3} k_{2} = 3 k_{3}$ ，任取一组不全为零的 $k_{3} = 1, k_{1} = 1, k_{2} = 3$ 都可以让方程成立

$∴$ 线性相关

线性相关的性质：

（1）向量个数 $s$ 和向量维数 $n$ 相同时（即写成矩阵方程的形式后， $A$ 是方阵）， $α_{1}, \dots, α_{s}$ 线性相关，则 $∣ A ∣ = 0$ .（线性无关则 $∣ A ∣ \neq = 0$ ）

根据克拉默法则， $A x = 0$ 有非零解，则 $∣ A ∣ = 0$ 。

（2）若向量个数 $s$ 比如维数 $n$ 大，则 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 一定线性相关。

逆否命题：如果 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 线性无关，则 $s \leq n$ .

因为 $A x = 0$ 方程的个数 $n <$ 未知数个数 $s$ .

比如4个三维向量一定线性相关。

（3）如果 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 线性无关，则它的每一个部分组都线性无关。

逆否命题：如果 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 有相关的部分组，那么它自己一定也线性相关。

比如，若 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5}$ 线性无关，则 $α_{2}, α_{4}, α_{5}$ 也线性无关。

（4）若 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 是一个极大无关组，则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β$ 一定线性相关。

逆否命题：如果 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关，且 $β ↛ α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ ，则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β$ 线性无关。

（4）当 $β \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 时，若表示方式唯一 $\Leftrightarrow α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关。（表示方式不唯一，则线性相关）

（5）若 $β_{1}, \dots, β_{t} \to α_{1}, \dots, α_{s}$ ，并且 $t > s$ ，则 $β_{1}, \dots, β_{t}$ 一定线性相关。

逆否命题：若 $β_{1}, \dots, β_{t} \to α_{1}, \dots, α_{s}$ ，且 $β_{1}, \dots, β_{t}$ 线性无关，则 $t \leq s$ .

推论：若两个无关向量组 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 和 $β_{1}, \dots, β_{t}$ 等价，则 $s = t$ .

证明：记 $A = (α_{1}, \dots, α_{s})$ ， $B = (β_{1}, \dots, β_{t})$ ，若可以被线性表示，则存在 $s \times t$ 阶矩阵 $C$ ，使得 $B = A C$

$C x = 0$ 有 $s$ 个方程， $t$ 个未知数，因此一定有非零解 $η$ ，使得 $C η = 0$

则 $B η = A C η = 0$ ，即 $η$ 也是 $B x = 0$ 的非零解，从而 $β_{1}, \dots, β_{t}$ 线性相关。

（6）若 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关，则它们的接长向量也线性无关。

比如： $⎩ ⎨ ⎧ α_{1} = (1, 3, 5) α_{2} = (6, - 1, 8) α_{3} = (- 3, 3, 9)$ 线性无关，则 $⎩ ⎨ ⎧ γ_{1} = (1, 3, 5, 1, 6) γ_{2} = (6, - 1, 8, 3, 3) γ_{3} = (- 3, 3, 9, 10, 8)$ 也线性无关

证明：设 $k_{1} γ_{1} + k_{2} γ_{2} + k_{3} γ_{3} = 0$ ，即 $⎩ ⎨ ⎧ k_{1} + 6 k_{2} - 3 k_{3} = 0 3 k_{1} - k_{2} + 3 k_{2} = 0 5 k_{1} + 8 k_{2} + 9 k_{3} = 0 k_{1} + 3 k_{2} + 10 k_{3} = 0 6 k_{1} + 3 k_{2} + 8 k_{3} = 0$

由于 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关，只看前三个方程就只有零解了，那么这五条方程也都只有零解，即 $(γ_{1}, γ_{2}, γ_{3})$ 线性无关。

3. 极大无关组和秩

极大无关组： $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 的一个部分组 $I$ ，若 $I$ 满足① $I$ 线性无关②再扩大就相关，则称 $I$ 为它的极大无关组。

秩：规定 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 的秩等于 $I$ 中向量的个数（ $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) = # (I)$ ）。 $0 \leq r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) \leq min (n, s)$ .

一个线性无关的部分组 $I$ ，若 $# (I) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})$ ，则 $I$ 一定是极大无关组。

极大无关组的求法：首先明确一个概念：初等行变换不改变列之间的线性关系。因此可以把 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 按列组成矩阵，通过初等行变换把矩阵变换成行最简型矩阵，然后看出原来的线性关系。

初等行变换不改变列之间的线性关系的证明：

举个具体的例子： $100010530 \to r_{3} = r_{1} + r_{2} 101011538$

此时 $530 = 5100 + 3010$ ，且 $538 = 5101 + 3011$ .

例： $1 - 2 2 - 1 2 - 4 80 - 2 4 - 2 3 3 - 6 0 - 6 \to 行 10000100 - 3 \frac{1}{2} 00 6 - \frac{3}{2} 00$

把右边的每一列分别记作 $β_{1}, β_{2}, β_{3}, β_{4}$ ，左边每一列记作 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，则

从右边可以看出， $β_{3} = - 3 β_{1} + \frac{1}{2} β_{2}$ ， $β_{4} = 6 β_{1} - \frac{3}{2} β_{2}$

由于变换后列之间的线性关系没有改变，因此左边列之间的关系为， $α_{3} = - 3 α_{1} + \frac{1}{2} α_{2}$ ， $α_{4} = 6 α_{1} - \frac{3}{2} α_{2}$

既然 $α_{3}$ 和 $α_{4}$ 可以用 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 线性表示（且表示方式唯一，即系数唯一），则 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 是一个极大无关组。

极大无关组的性质：

（1） $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关 $\Leftrightarrow r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) = s$ .

（2） $β \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} \Leftrightarrow r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})$ 。此时 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 是 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β$ 的极大无关组，也即， $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β$ 是线性相关的。

（3） $β ↛ α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} \Leftrightarrow r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) + 1$ .

（4） $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) = s \Leftrightarrow β$ 可以用 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 唯一线性表示.

（5） $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t} \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} \Leftrightarrow r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})$ ，且此时 $r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}) \leq r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})$ .

（6） $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} ≅ β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t} \Leftrightarrow r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}) = r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t})$ .

具有相同线性关系的向量组：两个向量组若有相同的向量个数： $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ ， $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$ ，并且方程 $x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{s} α_{s} = 0$ 与 $x_{1} β_{1} + x_{2} β_{2} + \dots + x_{s} β_{s} = 0$ 同解，则称它们有相同的线性关系。它们有如下性质：

对应的部分组有一致的相关性。若 $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ 对应的部分组为 $β_{1}, β_{2}, β_{4}$ ，若 $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ 线性相关，则存在不全为零的 $c_{1}, c_{2}, c_{4}$ 使得 $c_{1} α_{1} + c_{2} α_{2} + c_{4} α_{4} = 0$ ，此时 $c_{1}, c_{2}, c_{4}$ 也会使得 $c_{1} β_{1} + c_{2} β_{2} + c_{4} β_{4} = 0$ ，因此 $β_{1}, β_{2}, β_{4}$ 也线性相关。
极大无关组相对应，从而秩相等。
有一致的内在线性表示关系。比如 $α_{3} = 3 α_{1} + 2 α_{2} - α_{4}$ ，则 $β_{3} = 3 β_{1} + 2 β_{2} - β_{4}$ .

4. 矩阵的秩

定义： $r (A)$ 是 $A$ 的非零子式的最高阶数。

定理：矩阵 $A$ 的行向量组的秩等于列向量组的秩。 $r (A) =$ 行（列）向量组的秩。

秩的求法：将 $(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})$ 通过初等变换变成阶梯型 $B$ ，那么 $B$ 的非零行数就是 $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})$ .（初等变换不改变矩阵的秩）

比如 $A = 1 - 1 24 031230714 1 - 2 20 21510 \to 行 10000100310000102100 = C$

$A$ 的行秩= $C$ 的行秩= $C$ 的列秩= $A$ 的列秩

矩阵的秩的性质：

（1） $0 \leq r (A_{mn}) \leq min (m, n)$ .

（2） $r (A) = 0 \Leftrightarrow A = 0$ .

（3）若 $A_{mn}$ 行满秩， $r (A) = m$ ；若 $A_{mn}$ 列满秩， $r (A) = n$ .

（4）若 $A_{nn}$ 满秩，则以下几个命题等价

$r (A) = n$ .
$A$ 的行（列）向量线性无关.
$∣ A ∣ \neq = 0$ .
$A$ 可逆.
$A x = 0$ 只有零解， $A x = β$ 有唯一解.

矩阵在运算中秩的变化：

（1） $r (A^{T}) = r (A)$ .

（2） $c \neq = 0$ 时， $r (c A) = r (A)$ .

（3） $r (A \pm B) \leq r (A) + r (B)$ .

（4） $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ .

（5） $A$ 可逆时， $r (A B) = r (B)$ 。 $B$ 可逆时， $r (A B) = r (A)$ .

$B = A^{- 1} (A B)$ ， $r (B) \leq min (r (A^{- 1}), r (A B)) = r (A B)$

（6） $A$ 列满秩时， $r (A B) = r (B)$ ； $B$ 行满秩时， $r (A B) = r (A)$ .

（7）若 $A B = 0$ ，则 $r (A) + r (B) \leq n$ （ $n$ 是 $A$ 的列数、 $B$ 的行数）

证明：设 $A_{mn}$ ， $B_{n s} = (β_{1}, \dots, β_{s})$

若 $A B = 0$ ，则 $A B = A (β_{1}, \dots, β_{s}) = (A β_{1}, \dots, A β_{s}) = (0, \dots, 0)$

即 $A β_{i} = 0$ （ $i = 1, 2, \dots$ ），也就是说 $β_{i}$ 是 $A x = 0$ 的解

（1）当 $r (A) = n$ 时，有唯一的零解， $β_{i} = 0$ ， $r (A) \leq n$ 成立

（2）当 $r (A) < n$ 时，有无穷多解，基础解系中有 $n - r (A)$ 个解， $r (B) = r (β_{1}, \dots, β_{s}) \leq n - r (A)$ ，即 $r (A) + r (B) \leq n$ .

（8） $r (A B) + n \geq r (A) + r (B)$ .

证明：

四、线性方程组

1. 解的性质

对于 $A x = 0$ ：如果 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{s}$ 是一组解，则它们的任意线性组合 $c_{1} η_{1} + c_{2} η_{2} + \dots + c_{s} η_{s}$ 一定也是解。（ $\forall i$ ， $A η_{i} = 0 \Rightarrow A (c_{1} η_{n} + c_{2} η_{2} + \dots + c_{s} η_{s}) = 0$ ）

对于 $A x = β$ （ $β \neq = 0$ ）：如果 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{s}$ 是 $A x = β$ 是 $A x = β$ 的一组解，则

$c_{1} ξ_{1} + c_{2} ξ_{2} + \dots + c_{s} ξ_{s}$ 也是 $A x = β$ 的解 $\Leftrightarrow c_{1} + c_{2} + \dots c_{s} = 1$ .
$c_{1} ξ_{1} + c_{2} ξ_{2} + \dots + c_{s} ξ_{s}$ 是 $A x = 0$ 的解 $\Leftrightarrow c_{1} + c_{2} + \dots + c_{s} = 0$ .
$\forall i$ ， $A ξ_{i} = β$ ，则 $A (c_{1} ξ_{1} + c_{2} ξ_{2} + \dots + c_{s} ξ_{s}) = c_{1} A ξ_{1} + c_{2} A ξ_{2} + \dots + c_{s} A ξ_{s} = (c_{1} + c_{2} + \dots + c_{s}) β$ .
当 $ξ_{1}, ξ_{2}$ 是 $A x = β$ 的两个解时， $ξ_{1} - ξ_{2}$ 是 $A x = 0$ 的解.
如果 $ξ_{0}$ 是 $A x = β$ 的解，则 $n$ 维向量 $ξ$ 也是 $A x = β$ 的解 $\Leftrightarrow ξ - ξ_{0}$ 是 $A x = 0$ 的解。

2. 解的情况判别

对于 $A x = β$ ，即 $x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + c \dots + x_{n} α_{n} = β$ ：

有解，则以下命题等价
- $\Leftrightarrow β \to α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ .
- $\Leftrightarrow r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}, β) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})$ .
- $\Leftrightarrow r (A ∣ β) = r (A)$ .
无解 $\Leftrightarrow r (A ∣ β) > r (A)$ .
唯一解 $\Leftrightarrow r (A ∣ β) = r (A) = n$ .
无穷多解， $\Leftrightarrow r (A ∣ β) = r (A) < n$ .

若方程的个数为 $m$ ， $r (A ∣ β) \leq m$ ， $r (A) \leq m$ ，此时：

当 $r (A) = m$ 时， $r (A ∣ β) = m$ ，有解.
当 $m < n$ 时， $r (A) < n$ ，不会是唯一解.

对于齐次线性方程组 $A x = 0$ ：

只有零解 $\Leftrightarrow r (A) = n$ （即 $A$ 满秩）.
有非零解 $\Leftrightarrow r (A) < n$ .

推论1：如果 $A$ 列满秩，则 $A$ 有左消去律（① $A B = 0 \Rightarrow B = 0$ ，② $A B = A C \Rightarrow B = C$ ）

①证：记 $B = (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s})$ ，则 $A B = (A β_{1}, \dots, A β_{s})$ ， $A B = 0$ ，则 $\forall i$ ， $A β_{i} = 0$ ，即 $β_{i}$ 是 $A x = 0$ 的解。 $A x = 0$ 只有零解，故 $β_{i} = 0$ .

②证： $A (B - C) = 0$ ， $B - C = 0$ ，代入①的结论得证。

推论2：如果 $A$ 列满秩，则 $r (A B) = r (B)$

证：可以改为证 $A B x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解。

设 $η$ 是 $A B x = 0$ 的解， $A B η = 0$ ，故 $B η = 0$ ，即 $η$ 是 $B x = 0$ 的解。

3. 基础解系和通解

齐次线性方程（当 $A x = 0$ 有非零解时）

记 $J$ 是 $A x = 0$ 的全部解的集合，称 $J$ 的极大无关组为 $A x = 0$ 的基础解系。

$η_{1}, η_{2}, \dots, η_{s}$ 是 $A x = 0$ 的基础解系的条件：

（1）每个 $η_{i}$ 都是 $A x = 0$ 的解.

（2） $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{s}$ 线性无关.

（3） $A x = 0$ 的每个解 $η \to η_{1}, η_{2}, \dots, η_{s}$ .

此时， $A x = 0$ 的通解为 $c_{1} η_{1} + c_{2} η_{2} + \dots + c_{s} η_{s}$ （ $c_{i}$ 为任意常数）.

定理： $r (J) = n - r (A)$ .

基础解系的求法（齐次方程）：

例：对于 $A x = 0$

$A = () \to 行 100010 - \frac{9}{4} \frac{3}{4} 0 - \frac{3}{4} - \frac{7}{4} 0 \frac{1}{4} \frac{5}{4} 0$

根据矩阵写出 ${x_{1} = \frac{9}{4} x_{3} + \frac{3}{4} x_{4} - \frac{1}{4} x_{5} x_{2} = - \frac{3}{4} x_{3} + \frac{7}{4} x_{4} - \frac{5}{4} x_{5}$ ，因此 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ 、 $x_{5}$ 是自由未知量

由于基础解系要求线性无关，利用线性无关向量的接长向量也线性无关的性质，令 $x_{3} x_{4} x_{5}$ 取 $100$ 、 $010$ 、 $001$

故基础解系 $η_{1} = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} 100$ 、 $η_{2} = \frac{3}{4} \frac{7}{4} 010$ 、 $η_{3} = - \frac{1}{4} - \frac{5}{4} 001$ .

此时 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} = \frac{9}{4} x_{3} + \frac{3}{4} x_{4} - \frac{1}{4} x_{5} - \frac{3}{4} x_{3} + \frac{7}{4} x_{4} - \frac{5}{4} x_{5} x_{3} + 0 x_{4} + 0 x_{5} 0 x_{3} + x_{4} + 0 x_{5} 0 x_{3} + 0 x_{4} + x_{5} = \frac{9}{4} x_{3} - \frac{3}{4} x_{3} x_{3} 0 x_{3} 0 x_{3} + \frac{3}{4} x_{4} \frac{7}{4} x_{4} 0 x_{4} x_{4} 0 x_{4} + - \frac{1}{4} x_{5} - \frac{5}{4} x_{5} 0 x_{5} 0 x_{5} x_{5} = x_{3} η_{1} + x_{4} η_{2} + x_{5} η_{3}$ .

观察可知， $r (A) = 3$ ，而解中的极大无关组是 $η_{1}$ 、 $η_{2}$ 、 $η_{3}$ ，即 $r (J) = 3$ ，故 $r (J) + r (A) = n$ （ $n$ 是未知数的数量），前面定理得证。

非齐次线性方程

对于 $A x = β$ ：如果 $ξ_{0}$ 是 $A x = β$ （ $β \neq = 0$ ）的一个解， $η \to η_{1}, η_{2}, \dots, η_{s}$ 是 $A x = 0$ 的基础解系，则 $A x = β$ 的通解为 $ξ_{0} + c_{1} η_{1} + c_{2} η_{2} + \dots + c_{s} η_{s}$ （ $c_{i}$ 为任意常数）.

如果 $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 都是 $A x = β$ 的解，那么 $α_{1} - α_{2}$ 是 $A x = 0$ 的解.

基础解系的求法（非齐次方程）：

例：对于 $A x = β$ ，对 $A$ 做增广，变成 $(A ∣ β)$ ，记作 $\overline{A}$

$\overline{A} = 1131 5 - 2 8 - 9 - 1 1 - 1 3 - 1 317 - 1 317 \to 行 10000100 \frac{3}{7} - \frac{2}{7} 00 \frac{13}{7} - \frac{4}{7} 00 \frac{13}{7} - \frac{4}{7} 00$ .

根据矩阵写出 ${x_{1} = \frac{13}{7} - \frac{3}{7} x_{3} - \frac{13}{7} x_{4} x_{2} = - \frac{4}{7} + \frac{2}{7} x_{3} + \frac{4}{7} x_{4}$ ，因此 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ 是自由未知量

求特解：令 $(x_{3} x_{4}) = (00)$ ，代入得 $ξ_{0} = \frac{13}{7} - \frac{4}{7} 00$ 是特解

求齐次时的通解：写出 $A x = 0$ ，得到 ${x_{1} = - \frac{3}{7} x_{3} - \frac{13}{7} x_{4} x_{2} = \frac{2}{7} x_{3} + \frac{4}{7} x_{4}$ ，令 $(x_{3} x_{4})$ 为 $(10)$ 、 $(01)$ ，得 $η_{1} = - \frac{3}{7} \frac{2}{7} 10$ 、 $η_{2} = - \frac{13}{7} \frac{4}{7} 01$ .

故通解为 $ξ_{0} + x_{3} η_{1} + x_{4} η_{2}$ .

五、特征向量与特征值、相似与对角化

1. 特征向量和特征值

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $η$ 是 $n$ 维非零列向量， $A η$ 与 $η$ 是否相关？

定义：如果 $η \neq = 0$ ，并且 $A η$ 与 $η$ 线性相关，则称 $η$ 是 $A$ 的一个特征向量。此时，存在 $λ$ ，使得 $A η = λ η$ ，称 $λ$ 为 $η$ 的特征值。

设 $A$ 是数量矩阵 $λ E$ ，则对每个 $n$ 维列向量 $η$ ， $A η = λ η$ ，于是，任何非零列向量都是 $λ E$ 的特征向量，特征值都是 $λ$ 。

性质：

（1）特征值是有限的，特征向量无穷多.

若 $A η = λ η$ ，则 $A (cη) = c A η = c λ η = λ (cη)$ .

若 $A η_{1} = λ η_{1}$ 、 $A η_{2} = λ η_{2}$ ，可得 $A (c_{1} η_{1} + c_{2} η_{2}) = c_{1} A η_{1} + c_{2} A η_{2} = λ (c_{1} η_{1} + c_{2} η_{2})$ .

（2）每个特征向量都有对应的一个特征值，而且不同的特征向量可以有相同的特征值。

计算（一般先求出特征值，然后再求特征向量）：

对于 $n$ 阶方阵，由于 $A η = λ η$ （ $η \neq = 0$ ），故 $(λ E - A) η = 0$ ，由于 $η \neq = 0$ ，故对于方程 $(λ E - A) x = 0$ ，要使 $∣ λ E - A ∣ = 0$ 才有非零解，且此时 $η$ 是 $(λ E - A) x = 0$ 的非零解。

称 $∣ x E - A ∣$ 为 $A$ 的特征多项式。

命题：

（1） $λ$ 是 $A$ 的特征值 $\Leftrightarrow ∣ λ E - A ∣ = 0$ .

（2） $λ$ 是 $A$ 的特征值 $\Leftrightarrow λ$ 是 $A$ 的特征多项式 $∣ x E - A ∣$ 的根（ $λ$ 的重数就是 $λ$ 作为 $∣ x E - A ∣$ 的根的重数）.

（3） $η$ 是属于 $λ$ 的特征向量 $\Leftrightarrow η$ 是 $(λ E - A) x = 0$ 的非零解.

（4） $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值有 $n$ 个， $λ_{1}, λ_{2} \dots, λ_{n}$ ，其中有的可能不是实数，有的可能是多重的。

计算步骤：

（1）写出特征多项式 $∣ x E - A ∣$ ，并解出它的根，得到特征值。

（2）对每个特征值 $λ_{i}$ ，求 $(λ_{i} E - A) x = 0$ 的非零解，得到属于 $λ_{i}$ 的特征向量。

例： $1 - 2 2 - 2 - 2 4 24 - 2$

解： $∣ λ E - A ∣ = λ - 1 2 - 2 2 λ + 2 - 4 - 2 - 4 λ + 2 \to r_{3} = r_{3} + r_{2} λ - 1 20 2 λ + 2 λ - 2 - 2 - 4 λ - 2 = (λ - 2) (λ - 2) (λ + 7)$

$∴ λ_{1} = - 7, λ_{2} = λ_{3} = 2$

对于 $λ_{1} = - 7$ ， $λ_{1} E - A = - 8 2 - 2 2 - 5 - 4 - 2 - 4 - 5 \to 行 \dots$ ，得 $η_{1} = c_{1} 12 - 2$ （ $c_{1} \neq = 0$ ）

对于 $λ_{2} = λ_{3} = 2$ ， $λ_{2} E - A = 12 - 2 24 - 4 - 2 - 4 4 \to 行 \dots$ ，得 $c_{2} - 2 10 + c_{3} 201$ （ $c_{2}$ 、 $c_{3}$ 不同时为0）

两种特殊的情形：

（1） $A$ 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

$A = λ_{1} 00 * λ_{2} 0 * * λ_{3}$ ， $∣ x E - A ∣ = x - λ_{1} 00 - * x - λ_{2} 0 - * - * x - λ_{3} = (x - λ_{1}) (x - λ_{2}) (x - λ_{3})$ .

（2） $r (A) = 1$ 时， $A$ 的特征值为 $tr (A)$ .

特征值的性质

命题： $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值 $λ$ 的重数 $\geq n - r (λ E - A)$ .

命题：设 $A$ 的特征值为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ，则

（1） $λ_{1} \cdot λ_{2} \dots λ_{n} = ∣ A ∣$ .

（2） $λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n} = tr (A)$ ,

证明：若 $x_{a}^{3} x^{2} + b x + c = 0$ 的根是 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，那么方程可以写成 $(x - k_{1}) (x - k_{2}) (x - k_{3}) = 0$ 。同理，如果 $∣ x E - A ∣ = 0$ 的解为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ，由于它展开后是关于 $x$ 的 $n$ 次方程，那么可以写成以下形式：

$x - a_{11} - a_{21} - a_{31} - a_{41} - a_{12} x - a_{22} - a_{32} - a_{42} - a_{13} - a_{23} x - a_{33} - a_{43} - a_{14} - a_{24} - a_{34} x - a_{44} = (x - λ_{1}) (x - λ_{2}) (x - λ_{3}) (x - λ_{4})$

比较两边的常数项部分，得（1）的结论。（令 $x = 0$ 即可得到常数项，要注意 $∣ - A ∣ = (- 1)^{n} ∣ A ∣$ ）

比较两边 $x^{3}$ 的系数，得（2）的结论。（右边根据莱布尼兹定理展开后得出系数为 $- (λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4})$ ，左边按行展开，会出现 $x^{3}$ 的项只有 $(x - a_{11}) (x - a_{22}) (x - a_{33}) (x - a_{44})$ ），其系数为 $- (a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{44}) = - tr (A)$ .

与 $A$ 相关的矩阵的特征向量与特征值

命题：设 $η$ 是 $A$ 的特征向量，对应的特征值为 $λ$ ，即 $A η = λ η$ ，则

（1）对于 $A$ 的每个多项式 $f (A)$ ， $f (A) η = f (x) η$ 。

证： $A η = λ η \to k A η = kλ η$ ，即 $kλ$ 是 $k A$ 的特征根； $AA η = λ A η = λ^{2} η$ ，即 $λ^{2}$ 是 $A^{2}$ 的特征很；类似的，线性的证明同理。

例： $(A^{5} - 4 A^{3} + 2 A^{2} - E) η = (λ^{5} - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} - 1) η$ .

（2）当 $A$ 可逆时， $A^{- 1} η = \frac{1}{λ} η$ ， $A^{*} η = \frac{∣ A ∣}{λ} η$ .

证： $A η = λ η \to η = λ A^{^{- 1}} η \to A^{- 1} η = \frac{1}{λ} η$ ； $∣ A ∣ η = λ A^{*} η \to A^{*} η = \frac{∣ A ∣}{λ} η$ .

命题：设 $A$ 的特征值为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ，则

（1） $f (A)$ 的特征值为 $f (λ)_{1}$ 、 $f (λ_{2})$ 、 $\dots$ 、 $f (λ_{n})$ .

（2） $A$ 可逆时， $A^{- 1}$ 的特征值为 $\frac{1}{λ}_{1}$ 、 $\frac{1}{λ}_{2}$ 、 $\dots$ 、 $\frac{1}{λ}_{n}$ ， $A^{*}$ 的特征值为 $\frac{∣ A ∣}{λ _{1}}$ 、 $\frac{∣ A ∣}{λ _{2}}$ 、 $\dots$ 、 $\frac{∣ A ∣}{λ _{n}}$ .

（3） $A^{T}$ 的特征值还是 $λ_{1}$ 、 $λ_{2}$ 、 $\dots$ 、 $λ_{n}$ ，但特征向量不一定相同。

证明： $∣ x E - A^{T} ∣ = ∣ x E^{T} - A^{T} ∣ = ∣ (x E - A)^{T} ∣ = ∣ x E - A ∣$

（4）若 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ 不互相同，则每个 $λ$ 对应的特征向量 $η_{1}, \dots, η_{s}$ 线性无关，并且无论一个 $λ$ 对应多少个 $η$ ，所有的 $η$ 之间也线性无关。

（5） $k$ 重特征根对应的线性无关特征向量个数 $\leq k$ 个，对于单根，至少对应一个特征向量。

特征值的应用：

（1）求矩阵的行列式的值， $∣ A ∣ = λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n}$ .

（2）判别可逆性.

$λ$ 是 $A$ 的特征值 $\Leftrightarrow ∣ λ E - A ∣ = 0 \Leftrightarrow A - λ E$ 或 $A - λ E$ 不可逆.
$A - λ E$ 可逆 $\Leftrightarrow λ$ 不是 $A$ 的特征值.
当 $f (A) = 0$ 时，如果 $f (c) \neq = 0$ ，则 $A - c E$ 可逆.
若 $λ$ 是 $A$ 的特征值，则 $f (λ)$ 是 $f (A)$ 的特征值， $\Rightarrow f (λ) = 0$ .
$f (c) \neq = 0 \Rightarrow c$ 不是 $A$ 的特征值 $\Leftrightarrow A c E$ 可逆.

2. 矩阵的相似

设 $A$ 、 $B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶可逆矩阵 $U$ ，使得 $U^{- 1} A U = B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A \sim B$ .

相似的性质

（1）对称性： $U^{- 1} A U = B$ ，则 $A = U B U^{- 1}$ .

（2）传递性： $A \sim B$ ， $B \sim C$ ，则 $A \sim C$ .

证明： $U^{- 1} A U = B$ ， $V^{- 1} B V = C$ ，则 $(U V)^{- 1} A (U V) = V^{- 1} U^{- 1} A U V = V^{- 1} B V = C$ .

（3）特别地，若 $A$ 相似于一个对角阵 $Λ$ ， $A = U^{- 1} Λ U$ ，则 $A^{k} = U^{- 1} Λ^{k} U$ （对角阵的 $k$ 次方等于对角线上元素的 $k$ 次方）.

当 $A \sim B$ 时， $A$ 和 $B$ 有许多相同的性质：

（1） $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ .

证明： $∣ B ∣ = ∣ U^{- 1} A U ∣ = ∣ U^{- 1} ∣∣ A ∣∣ U ∣ = ∣ A ∣$ .

（2） $r (A) = r (B)$ .

（3） $A$ 、 $B$ 的特征多项式相同，从而特征值完全一致。（从而行列式的值相同，矩阵的迹也相同）

证明： $∣ x E - B ∣ = ∣ x E - U^{- 1} A U ∣ = ∣ x U^{- 1} E U - U^{- 1} A U ∣ = ∣ U^{- 1} (x E - A) U ∣ = ∣ x E - A ∣$ .

（4） $A$ 与 $B$ 特征向量的关系： $η$ 是 $A$ 的属于 $λ$ 的特征向量 $\Leftrightarrow U^{- 1} η$ 是 $B$ 的属于 $λ$ 的特征向量。

证明： $A η = λ η \Rightarrow U^{- 1} A η = λ U^{- 1} η \Rightarrow U^{- 1} A U U^{- 1} η = λ U^{- 1} η$ .

3. 矩阵的对角化

不是所有矩阵都可以对角化的，比如 $A = (1011)$ ，若 $U^{- 1} A U = (λ_{1} 0 0 λ_{2})$ ，则 $λ_{1} = λ_{2} = 1$ ，则 $A = E$ ，显然这时错误的。

若 $A$ 相似于一个对角矩阵，设可逆矩阵 $U = (η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n})$ ，则 $U^{- 1} A U = λ_{1} 000 0 λ_{2} 00 00 ⋱ 0 000 λ_{n}$ ，于是 $A (η_{1}, η_{2}, \dots . η_{n}) = (η_{1}, η_{2}, \dots . η_{n}) λ_{1} 000 0 λ_{2} 00 00 ⋱ 0 000 λ_{n} = (λ_{1} η_{1}, λ_{2} η_{2}, \dots, λ_{n} η_{n})$ ，可见 $A η_{i} = λ_{i} η_{i}$ ，因此 $η_{i}$ 就是 $A$ 的特征向量，即 $U$ 是由 $A$ 的特征向量 $η_{i}$ 按列构成的矩阵，对角矩阵中对角线元素上是 $U$ 中对应列中 $η_{i}$ 对应的特征值 $λ_{i}$ 。

基本定理： $A$ 可对角化 $\Leftrightarrow A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

判别法则： $A$ 可对角化 $\Leftrightarrow$ 对于 $A$ 的每个特征值 $λ$ ， $λ$ 的重数 $= n - r (λ E - A)$ 。当 $λ_{i}$ 是一重特征值时，重数 $1 = n - r (λ E - 1)$ 一定成立，只需对重数 $> 1$ 的特征值检查。

推论：如果 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 一定可对角化。

例： $A = 3 - 2 3 2 - 2 6 - 1 2 - 1$ ，若 $A$ 相似于一个对角矩阵 $Λ$ ，求 $U$ 和 $Λ$ .

解： $∣ λ E - A ∣ = λ - 3 2 - 3 - 2 λ + 2 - 6 1 - 2 λ + 1 = λ - 2 0 λ - 2 - 2 λ + 2 - 6 1 - 2 λ + 1 = (λ - 2)^{2} (λ + 4) = 0$ ，

对于 $λ_{1} = - 4$ ， $(λ_{1} E - A) = 0$ ， $- 7 2 - 3 - 2 - 2 - 6 1 - 2 - 3 \to 行 100010 - \frac{1}{3} \frac{2}{3} 0$ ， ${x_{1} = \frac{1}{3} x_{3} x_{2} = - \frac{2}{3} x_{3}$ ， $x_{3}$ 是自由量，令 $x_{3} = 1$ ，则 $η_{1} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} 1$ .

同理，对于 $λ_{2} = λ_{3} = 2$ ，解得 $η_{2} = 012$ ， $η_{3} = 101$ .

$∴ U = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} 1 012101$ ， $Λ = - 4 00 020002$ .

六、实二次型

1. 二次型、合同矩阵

二次型是多个变量的二次齐次多项式函数。如 $f (x, x_{2}, \dots, x_{3}) = 3 x_{1}^{2} - 2 x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{2} - 6 x_{1} x_{3} + 5 x_{2} x_{3}$ 是一个三元二次型，它的每一项都是二次：或是一个变量的平方，称为平方项；或是两个不同变量的乘积，称为交叉项。

一个 $n$ 元二次型的一般形式为 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{ii} x_{i}^{2} + 2 \sum_{i < j} a_{ij} x_{i} x_{j}$ .

只有平方项的二次型称为标准二次型。（包括 $(x_{i} - x_{j})^{2}$ 形式的平方项）

形如： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{p}^{2} - x_{p + 1}^{2} - \dots - x_{p + q}^{2}$ 的 $n$ 元二次型称为规范二次型。（只有 $x_{i}$ 的平方项，且系数按 $1$ 、 $- 1$ 、 $0$ 的顺序排列）

二次型可以写成矩阵的形式：对每个 $n$ 阶实矩阵 $A$ ，记 $X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{T}$ ，则 $X^{T} A X$ 是一个二次型。

例如 $n = 3$ 时， $A = a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33}$ ，

则 $X^{T} A X = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} x_{1} x_{2} x_{3} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = \sum_{i, j = 1}^{3} a_{ij} x_{i} x_{j}$

其中平方项的系数都是 $A$ 的对角线上元素，而交叉项 $x_{i} x_{j}$ 的系数是 $a_{ij} + a_{ji}$ .

由于一个二次型写成矩阵形式时，交叉项的系数满足 $a_{ij} + a_{ji}$ 即可（对角线上元素是平方项的系数是唯一的），因此对应的矩阵有无穷多个，不方便分析。因此我们规定 $A$ 是一个对称矩阵，这样， $A$ 就是唯一的了。

若 $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ ，我们称这个实对称矩阵 $A$ 为该二次型的矩阵，称 $A$ 的秩 $r (A)$ 为这个二次型的秩。

标准二次型的矩阵是对角矩阵。

可逆线性变量替换

二次型 $X^{T} A X$ ，令 $X = C Y$ ，那么 $Y^{T} (C^{T} A C) Y$ 也是二次型（因为 $C^{T} A C$ 是对称矩阵），如果此时 $C^{T} A C$ 恰好是对角型，这样就能通过换元把普通二次型换为标准二次型。

设有一个 $n$ 元二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，引进新的一组变量 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ ，并把 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 用它们表示

$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = c_{11} y_{1} + c_{12} y_{2} + \dots + c_{1 n} y_{n} x_{2} = c_{21} y_{1} + c_{22} y_{2} + \dots + c_{2 n} y_{n} ⋮ x_{n} = c_{n 1} y_{1} + c_{n 2} y_{2} + \dots + c_{nn} y_{n}$ （要求 $c_{11} c_{21} \dots c_{n 1} c_{12} c_{22} \dots c_{n 2} \dots \dots \dots \dots c_{1 n} c_{2 n} \dots c_{nn}$ 是可逆矩阵）

代入 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，得到 $y_{1}, \dots, y_{n}$ 的一个二次型 $g (y_{1}, \dots, y_{n})$ ，这样的操作称为对 $f (x_{1}, \dots, x_{n})$ 做了一次可逆线性变量替换。

设 $Y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})^{T}$ ，则上面的变换式可以写成 $X = C Y$ ，则 $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X = Y^{T} C^{T} A C Y = g (y_{1}, \dots, y_{n})$ ，于是 $g (y_{1}, \dots, y_{n})$ 的矩阵为 $C^{T} A C$ ， $(C^{T} A C)^{T} = C^{T} A^{T} (C^{T})^{T} = C^{T} A C$ .

实对称矩阵的合同

两个 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 和 $B$ ，如果存在 $n$ 阶实可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{T} A C = B$ ，称 $A$ 于 $B$ 合同，记作 $A ⋍ B$ 。

命题：二次型 $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 可用可逆线性变换替换为 $g (y_{1}, \dots . y_{n}) = Y^{T} B Y \Leftrightarrow A ⋍ B$ .

2. 正交矩阵

向量的内积

定义：两个 $n$ 维实向量 $α$ 、 $β$ 的内积是一个数，记作 $(α, β)$ ，规定为它们对于分量乘积之和。

设 $α = a_{1} a_{2} ⋮ a_{n}$ ， $β = b_{1} b_{2} ⋮ b_{n}$ ，则 $(α, β) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = α^{T} β$ .

内积的性质：

（1）对称性： $(α, β) = (β, α)$ .

（2）双线性性质： $(α_{1} + α_{2}, β) = (α_{1}, β) + (α_{2}, β)$ ， $(α, β_{1} + β_{2}) = (α, β_{1}) + (α, β_{2})$ ， $(c α, β) = c (α, β) = (α, c β)$ .

（3）正交性： $(α, α) \geq 0$ ， $(α, α) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}$ 。若 $(α, α) = 0 \Leftrightarrow α = 0$ ，

向量 $α$ 的长度 $∣∣ α ∣∣ = (α, α) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}$ ， $∣∣ α ∣∣ = 0 \Leftrightarrow α = 0$ .

单位向量：长度为1的向量。比如 $100$ ， $\frac{2}{2} 0 - \frac{2}{2}$ 等。若 $α \neq = 0$ ，则 $\frac{α}{∣∣ α ∣∣}$ 是单位向量，称这个过程为 $α$ 的单位化。

证明： $∣∣ \frac{α}{∣∣ α ∣∣} ∣∣ = \frac{1}{∣∣ α ∣∣} ∣∣ α ∣∣ = 1$ .

两个向量 $α$ 、 $β$ 如果内积为0，即 $(α, β) = 0$ ，则称它们是正交的。

如果 $n$ 维向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。

正交矩阵

一个实 $n$ 阶矩阵 $A$ 如果满足 $A A^{T} = E$ ，就称 $A$ 为正交矩阵，此时 $A^{T} = A^{- 1}$ .

定理： $A$ 是正交矩阵 $\Leftrightarrow A$ 的行向量组是单位正交向量组 $\Leftrightarrow A$ 的列向量组是单位正交向量组。

证明：设 $A = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})$ ，则

$A^{T} A = ∣∣ α_{1} ∣ ∣^{2} (α_{2}, α_{1}) \dots (α_{n}, α_{1}) (α_{1}, α_{2}) ∣∣ α_{2} ∣ ∣^{2} \dots \dots \dots \dots (α_{1}, α_{n}) \dots \dots ∣∣ α_{n} ∣ ∣^{2}$

于是 $A^{T} A = E \Leftrightarrow α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 是单位正交向量组。

如果 $A$ 正交，那么 $A^{T}$ 和 $A^{- 1}$ 也是正交的。

证明： $A^{T} (A^{T})^{T} = A^{- 1} A = E$ ， $A^{- 1} (A^{- 1})^{T} = A^{T} (A^{- 1})^{T} = (A^{- 1} A)^{T} = E$ .

施密特正交化方法

这时一个把线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。

实二次型-施密特正交化-01 实二次型-施密特正交化-02

$β_{1}$ 的系数即 $β_{1}$ 与 $α_{2}$ 的 $cos$ 夹角。相当于 $α_{2}$ 减 $β_{1}$ 在其方向上的投影，向量相减由后面向量指向前面向量。

设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{3}$ 线性无关，施密特正交化方法步骤：

（1）正交化

$β_{1} = α_{1}$ .

$β_{2} = α_{2} - \frac{( β _{1} , α _{2} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1}$ （设 $β_{2} = α_{2} - k β_{1}$ ， $(β_{2}, β_{1}) = (α_{2}, β_{1}) - k (β_{1}, β_{1})$ ，当 $k = \frac{( α _{2} , β _{1} )}{( β _{1} . β _{1} )}$ 时， $β_{2}, β_{1}$ 正交）.

$β_{3} = α_{3} - \frac{( β _{1} , α _{3} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1} - \frac{( β _{2} , α _{3} )}{( β _{2} , β _{2} )} β_{2}$ .

（2）单位化

令 $η_{1} = \frac{β _{1}}{∣∣ β _{1} ∣∣}$ ， $η_{2} = \frac{β _{2}}{∣∣ β _{2} ∣∣}$ ， $η_{3} = \frac{β _{3}}{∣∣ β _{3} ∣∣}$ ，则 $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 是与 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 等价的单位正交向量组。

实对称矩阵的对角化

设 $A$ 是一个实对称矩阵，则

（1） $A$ 的每个特征值都是实数。

（2）对每个特征值 $λ$ ，重数 $= n - r (λ E - A)$ ，即 $A$ 一定可以对角化。

（3）属于不同特征值的特征向量相互正交。（因此在实际找正交矩阵时，只需对同一特征值对应的特征向量之间施密特正交化即可，不同特征对应的特征向量本来就是正交的，无需再正交化）

于是，存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{- 1} A Q$ 是对角矩阵。（若 $Q$ 是正交矩阵，则称为正交相似）

3. 二次型的标准化和规范化

每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。也就是说每个矩阵都会合同于对角矩阵和规范对角矩阵。

设 $A$ 是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $D = Q^{- 1} A Q$ 是对角矩阵。（ $Q^{T} A Q = Q^{- 1} A Q = D$ ， $A \sim D$ ， $A ⋍ D$ ）

标准化和规范化的方法

（1）正交变换法

步骤：①求特征值②找特征向量③将特征向量按列构成的矩阵 $U$ （此时 $U^{- 1} A U = B$ ），正交化，单位化变成 $C$ ，利用正交矩阵 $C^{- 1} = C^{T}$ 的性质，把原来的 $C^{- 1} A C = B$ 转化为 $C^{T} A C = B$ .

二次型 $X^{T} A X$ ，令 $X = C Y$ ，那么 $Y^{T} (C^{T} A C) Y$ 也是二次型，且此时 $C^{T} A C$ 是一个对角阵（对角线上是对应的特征值 $λ_{i}$ ）。

（2）配方法

比如： $x_{1}^{2} - 3 x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} - 6 x_{2} x_{3} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} (x_{2} - x_{3}) + (x_{2} - x_{3})^{2} - (x_{2} - x_{3})^{2} - 3 x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} - 6 x_{2} x_{3} = (x_{1} - x_{2} + x_{3})^{2} - (4 x_{2}^{2} + 4 x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}) + x_{3}^{2} + 3 x_{3}^{2} = (x_{1} - x_{2} + x_{3})^{2} - (2 x_{2} + x_{3})^{2} + 4 x_{3}^{2} = y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + 4 y_{3}^{2}$

于是 $⎩ ⎨ ⎧ y_{1} = x_{1} - x_{2} + x_{3} y_{2} = 2 x_{2} + x_{3} y_{3} = x_{3}$ ，写出 $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = \dots x_{2} = \dots x_{3} = \dots$ ，然后根据方程写出 $X = C Y$ 的替换矩阵 $C$ .

特别地，对于只有交叉项无法配方的二次型，比如

$2 x_{1} x_{2} - 4 x_{1} x_{3} + 10 x_{2} x_{3} + 5 x_{3} x_{4} + x_{1} x_{4}$ ，令 $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = y_{1} - y_{2} x_{2} = y_{1} + y_{2} x_{3} = y_{3} x_{4} = y_{4}$ 再进行配方。

（3）初等变换法

根据左乘初等矩阵 $P_{i}^{'}$ 可看作是做初等行变换，右乘初等矩阵 $P_{i}$ 可看作是做初等列变换的性质，合同的操作实际上就是对 $A$ 同时作初等行变换及对应的初等列变换，如果我们对 $E$ 只做和 $A$ 相同的初等列变换，那就可以得到替换矩阵 $C$

$P_{s}^{T} \dots P_{1}^{T} A P_{1} \dots P_{s} = Λ$ ，而 $E P_{1} \dots P_{s} = C$

对 $A$ 作增广，变成 $(A E)$ ，再对增广矩阵的行和列同时相应的变换

变换准则：对 $A$ 、 $E$ 同时作初等列变换，只对 $A$ 做相应的初等行变换，这样，当 $A$ 化成对角矩阵时， $E$ 就化为了 $C$ .

所谓对应，举例来说，就是：

（1）交换1、3列，交换1、3行

（2） $\frac{1}{2}$ 乘以第3列， $\frac{1}{2}$ 乘以第3行

（3） $\frac{1}{2}$ 乘以第2列加到第3列上， $\frac{1}{2}$ 乘以第2行加到第3行上

例：

惯性定理与惯性指数

定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A会同于唯一规范对角矩阵。二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。

4. 正定二次型与正定矩阵

定义：如果当 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 不全为0时， $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) > 0$ ，则称二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 称为正定二次型。

例如，标准二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = d_{1} x_{1}^{2} + d_{x} x_{2}^{2} + \dots + d_{n} x_{n}^{2}$ 正定 $\Leftrightarrow d_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, n$ .

实对称矩阵正定，即二次型 $X^{T} A X$ 正定，也就是：当 $x \neq = 0$ 时， $X^{T} A X > 0$ .

例如实对角矩阵 $λ_{1} 000 0 λ_{2} 00 00 ⋱ 0 000 λ_{n}$ 正定 $\Leftrightarrow λ_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, n$ .

性质

（1）可逆线性变换替换保持正定性。

比如 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 变为 $g (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，则它们同时正定或不正定。

（2） $A ⋍ B$ ，则 $A$ 、 $B$ 同时正定，或同时不正定。

比如 $B = C^{T} A C$ ，如果 $A$ 正定，则对每个 $X \neq = 0$ ， $X^{T} BX = X^{T} C^{T} A CX = (CX)^{T} A (CX) > 0$ .

（3）若 $A$ 正定，则以下命题是等价的

$A ⋍ E$ .
存在实可逆矩阵 $C$ ，使得 $A = C^{T} C$ .
$A$ 的正惯性指数 $= n$ .
$A$ 的特征值全大于0.
$A$ 的每个顺序主子式全大于0.

设 $A$ 是一个 $n$ 阶矩阵，记 $A_{r}$ 是 $A$ 的西北角的 $r$ 阶小方阵，称 $∣ A_{r} ∣$ 为 $A$ 的第 $r$ 个顺序主子式（或 $r$ 阶顺序主子式）

判别 $A$ 正定的三种方法：

（1）顺序主子式法。

（2）特征值法。

（3）定义法。

附录：向量空间

$n$ 维向量空间及其子空间

记为 $R^{n}$ 由全部 $n$ 维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为 $n$ 维向量空间.

设 $V$ 是 $R^{n}$ 的一个子集，如果它满足

（1）当 $α_{1}, α_{2}$ 都属于 $V$ 时， $α_{1} + α_{2}$ 也属于 $V$ 。

（2）对 $V$ 的每一个元素 $α$ 和任何实数 $c$ ， $c α$ 也在 $V$ 中。

则称 $V$ 为 $R^{n}$ 的一个子空间。

例如 $n$ 元齐次线性方程组 $A X = 0$ 的全部解构成 $R^{n}$ 的一个子空间，称为 $A X = 0$ 的解空间

但是非齐次方程组 $A X = β$ 的全部解则不构成 $R^{n}$ 的子空间。

对于 $R^{n}$ 中的一组元素 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ ，记它们的全部线性组合的集合为 $L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) = {c_{1} α_{1} + c_{2} α_{2} + \dots + c_{s} α_{s} ∣ c_{i} 任意}$ ，它也是 $R^{n}$ 的一个子空间。

基、维数、坐标

设 $V$ 是 $R^{n}$ 的一个非0子空间（即它含有非0元素），称 $V$ 的秩为其维数，记作 $dim V$ .

称 $V$ 的排了次序的极大无关组为 $V$ 的基。

例如 $A X = 0$ 的解空间的维数为 $n - r (A)$ ，它的每个有序的基础解系构成基。

又如 $dim [L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})] = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})$ .

设 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 是 $V$ 的一个基，则 $V$ 的每个元素 $α$ 都可以用 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 唯一线性表示： $α = c_{1} η_{1} + c_{2} η_{2} + \dots + c_{k} η_{k}$ 。c称其中的系数 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k})$ 为 $α$ 关于基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 的坐标，它是一个 $k$ 维向量。

坐标有线性性质：

（1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和：

如果向量 $α$ 和 $β$ 关于基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 的坐标分别维 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k})$ 和 $(d_{1}, d_{2}, \dots, d_{k})$ ，则 $α + β$ 关于基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 的坐标为 $(c_{1} + d_{1}, c_{2} + d_{2}, \dots, c_{k} + d_{k}) = (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}) + (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{k})$ .

（2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数

如果向量 $α$ 关于基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 的坐标为 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k})$ ，则 $c α$ 关于基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 的坐标为 $(c c_{1}, c c_{2}, \dots, c c_{k}) = c (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k})$ .

坐标的意义：设 $V$ 中的一个向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{t}$ 关于基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 的坐标依次为 $γ_{1}, γ_{2}, \dots, γ_{t}$ ，则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{t}$ 和 $γ_{1}, γ_{2}, \dots, γ_{t}$ 有相同的线性关系。

于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等。

过渡矩阵、坐标变换公式

设 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 和 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{k}$ 都是 $V$ 的一个基，并设 $ξ_{1}$ 在 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 中的坐标为 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k})$ ，构造矩阵 $C = c_{11} c_{21} \dots c_{k 1} c_{12} c_{22} \dots c_{k 2} \dots \dots \dots \dots c_{1 k} c_{2 k} \dots c_{kk}$ ，称 $C$ 为 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 到 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{k}$ 的过渡矩阵。 $(ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{k}) = (η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}) C$ .

如果 $V$ 中向量 $α$ 在其 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 和 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{k}$ 中的坐标分别为 $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})^{T}$ 和 $y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{k})^{T}$ ，则 $α = (η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}) x$ ， $α = (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{k}) y = (η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}) C y$ ，于是关系是 $x = C y$ 称为坐标变换公式。

规范正交基

如果 $V$ 的一基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 是单位正交向量，则称为规范正交基。

两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。

设 $α$ 的坐标为 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k})$ ， $β$ 的坐标为 $(d_{1}, d_{2}, \dots, d_{k})$ ，则 $(α, β) = c_{1} d_{1} + c_{2} d_{2} + \dots + c_{k} d_{k}$ 。

两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。